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[讨论] 一道高考数学题

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发表于 2017-7-1 22:10:22 | 显示全部楼层 |阅读模式

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火狐截图_2017-07-01T13-53-06.722Z.png

这里涉及到三个数列,
                    
Concatenate subsequences [2^0, 2^1, ..., 2^n] for n = 0, 1, 2, ...
                    
                                                23                        
                                                                                       
               
                    1, 1, 2, 1, 2, 4, 1, 2, 4, 8, 1, 2, 4, 8, 16, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64


                    
Partial sums of A059268.
                    
                                                0                        
                                                                                       
               
                    1, 2, 4, 5, 7, 11, 12, 14, 18, 26, 27, 29, 33, 41, 57, 58, 60, 64, 72, 88, 120, 121, 123, 127, 135, 151, 183, 247, 248, 250, 254, 262, 278, 310, 374, 502, 503, 505, 509, 517, 533, 565, 629, 757, 1013, 1014, 1016, 1020, 1028, 1044, 1076, 1140, 1268, 1524, 2036

以及讨论之中的A288492
                        
NAME                                                                        
                                                                                    Indices of terms of A288349 that are powers of 2.                                
                                                                    
                        
DATA                                                                        
                                                                                    1, 2, 3, 18, 95, 440, 1897, 7882, 32139, 129804, 521741, 2092046, 8378383, 33533968, 134176785, 536789010, 2147319827, 8589606932, 34359083029, 137437642774, 549753192471, 2199018012696, 8796082536473, 35184351117338, 140737446412315, 562949869535260                                


我最初计算得到的通项公式是  a(k)=(2^k-3)(2^k-2)/2+k,k>=1

遇到两个问题:
1 正如我添加的评论,通项公式为什么算不出2?
                        
                                                
                                                                                    Also,the integer 2 should be in the list,but 2 cann't be calculated by the formula.                                
2. Colin Barker提供的这个函数如何推导出来?有什么巧妙的办法?

FORMULA                                                                        
                                                                                    From Colin Barker, Jun 23 2017: (Start)                                
                                                            
                                                                                    G.f.: x*(1 - 6*x + 8*x^2 + 14*x^3 - 22*x^4 + 8*x^5) / ((1 - x)^2*(1 - 2*x)*(1 - 4*x)).

                                
欢迎大家参与讨论

毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2017-7-1 22:15:21 | 显示全部楼层
问题讨论页面:A288492

谢谢大家!
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2017-7-2 15:02:23 | 显示全部楼层
不难发现其指数规律是 : 0,  0,1,  0,1,2,  0,1,2,3,  0,1,2,3,4,  ... 记为 `b_n`
均加1,得到 1,  1,2,  1,2,3,  1,2,3,4,  1,2,3,4,5, ...,记为 `c_n`
设新数列第 `n` 项落在第 `k` 个循环块中,令 `n=\D\frac{k(k+1)}{2}`,显然该块内最大元素为 `k`,故求出正根并向上取整得到$$k=\lceil\frac{\sqrt{8n+1}-1}{2}\rceil$$此时说明前面有 `k-1` 个完整的周期块,所以$$c_n=n-\frac{k(k-1)}{2}\tag{1}$$于是 `b_n=c_n-1=n-1-\D\frac{k(k-1)}{2}`
从而原数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,...的通项公式为 `a_n=2^{b_n}`.

由 `(1)` 可计算出前 `n` 项的指数,即 `0,~~0,1,~~0,1,2,~~0,1,2,3,~~\cdots,~~0,1,2,...,k-2,~~0,1,2,...,b_n` (注意, `b_n`可能小于 `k-2`,也可能大于 `k-2`)
于是部分和$$\begin{align*}S_n&=2^0+(2^0+2^1)+(2^0+2^1+2^2)+\cdots+(2^0+2^1+2^2+\cdots+2^{b_n})\\
&=(2-1)+(2^2-1)+\cdots+(2^{k-1}-1)+(2^{b_n+1}-1)\\
&=(2+2^2+\cdots+2^{k-1})-k+2^{b_n+1}\\
&=2^k+2^{c_n}-k-2\end{align*}$$
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2017-7-2 15:58:36 | 显示全部楼层
因为题目说 `n>100`,于是可知 `k \geqslant 14`,要使得 `S_n` 为2的整数幂,根据3楼部分和的最后表达式,可知其必要条件为:`k+2` 也是2的整数幂。故 `k=14,30,62...`
检验 `k=14`,`S_n=2^{14}+2^{n-91}-2^4=2^4(2^{10}-1+2^{n-95})`,只能是 `2^{n-95}=1`,否则 `S_n` 不可能是2的整数幂,此时 `n=95<100`,舍去。
检验 `k=30`,`S_n=2^{30}+2^{n-435}-2^5=2^5(2^{25}+2^{n-440}-1)`,只能是 `2^{n-440}-1=0`,否则 `S_n` 不可能是2的整数幂,得到 `n=440>100`,符合要求。即选A.

至于为何上面说“只能是……,否则……”,这可以从二进制数中看出来:`2^x-1+2^y=(1\underbrace{000\cdots00}_{x个0})_2+(\underbrace{111\cdots11}_{y个1} )_2`,显然 `y` 只能等于0,否则结果不可能是2的整数幂。
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发表于 2017-7-2 19:23:58 | 显示全部楼层
本帖最后由 zeroieme 于 2017-7-2 22:04 编辑
  1. Table[Array[2^(#-1)&,i],{i,200}]//Flatten//Accumulate//MapIndexed[If[IntegerQ[Log2[#1]],#2,{}]&,#]&//Flatten
复制代码
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 楼主| 发表于 2017-7-2 22:03:13 | 显示全部楼层
按3楼公式:
n=1,k=1,cn=1,sn=1
n=2,k=1,cn=2,sn=3
最终的序列是 1, 2, 3, 18, 95, 440, 1897, 7882,,显然2也是跳过去了。

点评

n=2时k=2,我验算过了前500项,没有问题  发表于 2017-7-3 09:50
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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发表于 2017-7-3 10:07:41 | 显示全部楼层
根据4楼方法,可求出满足 `S_N` 为2的正整数幂的那些 `N` 的通项公式:
令 `k=2^i-2\;(i=0,1,2,3,\cdots)`,那么 `S_n=2^k+2^{N-k(k-1)/2}-2^i=2^i\left(2^{2^i-i-2}+2^{N-2^{2i-1}+5\*2^{i-1}-i-3}\right)`,有$$N=2^{2i-1}-5\*2^{i-1}+i+3~(i=0,1,2,3,\cdots)\tag{2}$$计算得到 `N= 1,\,1,\,3,\,18,\,95,\,440,\,1897,\,7882,\,32139,\,129804,\,521741,\cdots`
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 楼主| 发表于 2017-7-3 23:05:53 | 显示全部楼层
kastin 发表于 2017-7-3 10:07
根据4楼方法,可求出满足 `S_N` 为2的正整数幂的那些 `N` 的通项公式:
令 `k=2^i-2\;(i=0,1,2,3,\cdots)` ...

谢谢Kastin!
第二项应该是2啊。你的第二项也是1
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 楼主| 发表于 2017-7-3 23:06:30 | 显示全部楼层
                                      GP/PARI CALCULATOR Version 2.5.5 (released)
                               i686 running mingw (ix86/GMP-5.0.1 kernel) 32-bit version
                                        compiled: Sep 20 2013, gcc-4.6.3 (GCC)
                                    (readline v6.2 enabled, extended help enabled)

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Type ? for help, \q to quit.
Type ?12 for how to get moral (and possibly technical) support.

parisize = 4000000, primelimit = 500509
? Vec(x*(1 - 6*x + 8*x^2 + 14*x^3 - 22*x^4 + 8*x^5) / ((1 - x)^2*(1 - 2*x)*(1 - 4*x)) + O(x^30))
%1 = [1, 2, 3, 18, 95, 440, 1897, 7882, 32139, 129804, 521741, 2092046, 8378383, 33533968, 134176785, 536789010, 2147319827, 8589606932, 34359083029, 137437642774, 549753192471, 2199018012696, 8796082536473, 35184351117338, 140737446412315, 562949869535260, 2251799645913117, 9007198919196702, 36028796347875359]
?
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 楼主| 发表于 2017-7-3 23:12:56 | 显示全部楼层
您的公式跟我的是一样的:

parisize = 4000000, primelimit = 500509
?
? for(k=0, 20, p=(2^k-3)*(2^k-2)/2+k; print1(p, ", "))
1, 1, 3, 18, 95, 440, 1897, 7882, 32139, 129804, 521741, 2092046, 8378383, 33533968, 134176785, 536789010, 2147319827, 8589606932, 34359083029, 137437642774, 549753192471,
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