定积分与反正切之差

zeroieme

有理函数积分会积出反正切函数。想把ArcTan(f(x2))-ArcTan(f(x1))合并成一个反正切函数，就要讨论区间。
那么可以把反正切转换成哪个反三角函数能避免讨论直接合并呢？

gxqcn

楼主说的可是如下类似情形？

若 \(f(x)=\dfrac{1}{ax^2+bx+c}\)，

则 \(\D\int f(x)\dif x=\begin{cases}
\dfrac{1}{\sqrt{b^2-4ac}}\ln\dfrac{2ax+b-\sqrt{b^2-4ac}}{2ax+b+\sqrt{b^2-4ac}}, & \text{ if } b^2 \gt 4ac\\[0.5cm]
-\dfrac{2}{2ax+b}, & \text{ if } b^2 = 4ac\\[0.5cm]  
\dfrac{2}{\sqrt{4ac-b^2}}\color{\red}{\arctan}\dfrac{2ax+b}{\sqrt{4ac-b^2}}, & \text{ if } b^2 \lt 4ac
\end{cases}\)

zeroieme

gxqcn 发表于 2017-8-3 16:31
楼主说的可是如下类似情形？

若 \(f(x)=\dfrac{1}{ax^2+bx+c}\)，

有理函数积分，实数域部分分式分解后 当分母仍为二次式时，自然有$b^2-4ac<0$
配方为\(\dfrac{1}{(x-p)^2+q^2}\)积得\(\dfrac{\tan ^{-1}\left(\frac{x-p}{q}\right)}{q}\)


我问的是，怎么把下式合并为仅计算一次反三角函数又不需要讨论分支的表达式。
\(\dfrac{\tan ^{-1}\left(\frac{x_2-p}{q}\right)}{q}-\dfrac{\tan ^{-1}\left(\frac{x_1-p}{q}\right)}{q}\)

wayne

zeroieme 发表于 2017-8-3 17:41
有理函数积分，实数域部分分式分解后 当分母仍为二次式时，自然有$b^2-4ac

一般性的我回答不了。
不过，这个例子比较简单，就是正切函数的 和差公式：

Tan[ArcTan[x] - ArcTan[y]] // TrigExpand // FullSimplify

zeroieme

wayne 发表于 2017-8-4 09:52
一般性的我回答不了。
不过，这个例子比较简单，就是正切函数的 和差公式：

反正切函数的和差公式根据x、y性质有以下不同结果
ArcTan(x)- ArcTan(y)=ArcTan((x-y)/(1+x*y))需要符合x*y>-1
或者Pi+ArcTan((x-y)/(1+x*y)) 条件是x>0,x*y<-1
还有-Pi+ArcTan((x-y)/(1+x*y)) 条件是x<0,x*y<-1。

其他反三角函数的和差公式都有类似选择条件。
我想知道，作为有理函数的定积分结果  能否当成一个条件，避免上面要按x、y选择不同的公式。

gxqcn

你看看积分函数在区间内是否存在变号现象？也许可以借此避免讨论。

zeroieme

\(\tan ^{-1}(x)-\tan ^{-1}(y)=2 \tan ^{-1}\left(\frac{\sqrt{x^2+1}-1}{x}\right)-2 \tan ^{-1}\left(\frac{\sqrt{y^2+1}-1}{y}\right)=2 \tan ^{-1}\left(\frac{-\sqrt{\left(x^2+1\right) \left(y^2+1\right)}+x y+1}{y-x}\right)\)

半角化，用一次开平方换一次反三角运算觉得还是划算的，就是有个x=y时除数0的问题。求各位帮忙解决。


其实作为不变号函数的积分结果x=y基本不可能，除非积分区间为0

wayne

zeroieme 发表于 2017-8-5 12:29
\(\tan ^{-1}(x)-\tan ^{-1}(y)=2 \tan ^{-1}\left(\frac{\sqrt{x^2+1}-1}{x}\right)-2 \tan ^{-1}\left(\f ...

回忆一下曾经使用Mathematica的各种场景，我们会发现很多时候它总是返回一大坨的表达式，而且主要是基于条件的符号表达 占去了大量的篇幅。 所以，我想这个是没有捷径的。

zeroieme

wayne 发表于 2017-8-5 12:34
回忆一下曾经使用Mathematica的各种场景，我们会发现很多时候它总是返回一大坨的表达式，而且主要是基于 ...

从x*y=-1的几何意义和反正切的图片来看，我觉得要避免前后差超过Pi/2，所以从半角入手。半角化后，两新变量积在-1与1之间。

wayne

zeroieme 发表于 2017-8-5 12:42
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/62/Arctan.svg/220px-Arctan.svg.png[\img]
...

原先的是两个都是$ [-\pi/2,\pi/2]$的数相减，最后得到的区间是 $ [-\pi,\pi]$, 所以结果是正弦，余弦，两倍的正弦都是靠谱的