谢尔宾斯基地毯与圆的交集

KeyTo9_Fans

我们把边长为$1$的正方形挖成谢尔宾斯基地毯，如下图所示：

我们假设这个地毯的“面积”【注】为$1$，

然后把该地毯“裁剪”成直径为$1$的圆，变成“谢尔品斯基铜钱”，如下图红色部分所示：


问：这个“谢尔品斯基铜钱”的“面积”【注】是多少？

注：

严格来说，这不能称为【面积】，因为该地毯的维数不足$2$，只有$\log_3 8=1.89...$维，是没有【面积】的。

这里的【面积】指的是【豪斯多夫维积】，也就是它在$\log_3 8=1.89...$维空间里，所占空间的大小。

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lsr314

不是0吗？

zeroieme

lsr314 发表于 2017-9-19 09:14
不是0吗？

看题目意思是把这个点集定义为1。面积维度是2，谢尔宾斯基地毯的分形维(豪斯多夫维)是 log(8)/log(3)，叫面积是有点不合适。

hujunhua

楼主何不先做一个简单一点的示例，比如先求一下依次连接正方形四边中点的正方形的“面积”。

依次连接边的三等分点所成的八边形“面积”=3/4, 这个先不计算，容易拼凑出来。然后再用计算方法，或许也有点示范价值。

hujunhua

依次连接正方形四边中点的正方形的“面积”也能拼凑出来，等于3/7.
也就是说，剪下来的四个大角，每个的“面积”都是1/7.

好意外的结果。而且我算错了一次，3/7相信是正确的。

hujunhua

算错的一次，错在我把左下角的“1/3”的正方形的“面积”一会按几何相似定为1/9. 一会按计数定为1/8.

好诡异的分形。

mathe

可以先数值计算一下看看。
计算各种不同"分辨率"下完全在圆内，圆外和相交的黑色小正方形数目即可。其中关键是相交部分的数目。所有相交小正方形可以按中心方向排序，然后每个拆分为8个，依次判断新分类

hujunhua

待我有空了，编个M10程序来计算一下这个孔方兄的“面积”。初步设想是这样的：
1、面积公式：将正方形划分成3^nX3^n个小方块，则每个非白小方块的“面积”等于1/8^n.设圆内的非白方块数为a(n),则孔方兄的“面积”大于并约等于a(n)/8^n.
2、递进细分：把那些被圆周穿过的非白小方块扔到一个集C中，然后将集C中的每小方块划分为3X3个更小的方块，设这些更小方块位于圆内的非白者数量为d(n). 则孔方兄的面积增量等于d(n)/8^(n+1).
3、重复2. 直到达到指定的精度

wayne

先占个坑。
对于给定分辨率的“孔方兄”，一个像素格子可以由其中心点的坐标以及边长决定。标记成三元组{a,b,s}, 初始状态是一个正方形，即是 {0,0,1}，经过多次迭代。

如此有很多好处，比如计算任意一个像素点到起始点{0,0}的距离 就容易得知其与圆的关系

1. kernel=DeleteCases[Tuples[{-1,0,1},{2}],{0,0}];
   
2. g[points_]:=Module[{pp=points},Flatten[Table[Join[p[[3]]/3 #+p[[1;;2]],{p[[3]]/3}]&/@kernel,{p,pp}],1]];
   
3. Nest[g,{{0,0,1}},5]

复制代码

mathe

由于图像上下左右的四块是一模一样的，我们只要看左下那四分之一部分。以图片左下角为原点，大正方形边长长度为单位做直角坐标系，我们使用三进制表示每个正方形左下角的坐标，于是那个最大空白正方形左下角坐标为(0.1,0.1).而三个次小的其左下角也落在我们分析目标的正方形左下角的坐标分别为(0.01,0.01),(0.01,0.11),(0.11,0.01)
可以看出所有这些空白正方形都是必须坐标的三进制表示最后两位都是1，而其它八种情况都是黑色正方形，而左下角到中心的距离可以用来判断一个正方形是否完全在圆内。而其右上角（两个坐标三进制最后位都加一）到中心距离可以用来判断是否完全在圆外。唯一需要特殊处理的是有些正方形和直线x=1/2,和y=1/2会相交，只能处理一半