2008年江西数学高考题

kastin

前几天看新闻说2008年江西数学高考最后一题很难，此题十几万考生无一人拿满分，据说张景中院士觉得此题难度对于高中生来说太难，看了一下，原来考的是不等式，不知有无简洁法？
`x,a > 0`，证明 `\D1< \frac{1}{\sqrt{1+x}}+\frac{1}{\sqrt{1+a}}+\sqrt{\frac{ax}{ax+8}} < 2`

王守恩

没有得分的解法。
1，当x与a是“0”时，和是“2”，
2，当x与a是充分大数时，和是“1”，
3，当x与a是正数时，和的范围是在“2”——“1”之间，
4，我们大胆设x=8，后面的解法就简单了。
原式=1/3+1/(1+a)^(&#189;)+(a/(1+a))^(&#189;)
       =1/3+(1+a^(&#189;))/(1+a)^(&#189;)
       =1/3+(1+2a^(&#189;)/(1+a))^(&#189;)
       =1/3+2^(&#189;)

kastin

原不等式为非齐次，故先转化为齐次式比较方便。令 `b=x,\D c=\frac{8}{ax}`，于是转化为已知 `a,b,c>0`，`abc=8`，证明\[1< \sum_{cyc}\frac{1}{\sqrt{1+a}} < 2\]继续代换 `\D a=\frac{2v}{u},b=\frac{2w}{v},c=\frac{2u}{w}`，故变为齐次不等式\[1< \sum_{cyc}\sqrt{\frac{u}{u+2v}} < 2\]证明方法类似http://bbs.emath.ac.cn/forum.php ... 29&fromuid=8865中的7、8两题。

mathe

现在高中生有没有学过拉格朗日乘数法？这个题目用拉格朗日乘数法还是很方便的
\(F(a,b,c)=\frac{1}{\sqrt{1+a}}+\frac{1}{\sqrt{1+b}}+\frac{1}{\sqrt{1+c}}+\lambda abc\)
分别对$a,b,c$求偏导要求偏导数为0，再利用$abc=8$可以得出
\(\frac{a}{(1+a)^{\frac{3}{2}}}=\frac{b}{(1+b)^{\frac{3}{2}}}=\frac{c}{(1+c)^{\frac{3}{2}}}\)
所以平方后得
\(\frac{(1+a)^3}{a^2}=\frac{(1+b)^3}{b^2}=\frac{(1+c)^3}{c^2}\)
分析函数$\(\frac{(1+x)^3}{x^2}\)单调性可以知道$a,b,c$中必须至少有两个数相等，不妨设$a=b$
于是\(\frac{(1+a)^3}{a^2}=\frac{(1+c)^3}{c^2}\)而且\(c=\frac{8}{a^2}\)
代入就可以得出$a=b=c=2$是唯一极值情况，对应\(\frac{1}{\sqrt{1+a}}+\frac{1}{\sqrt{1+b}}+\frac{1}{\sqrt{1+c}}=\sqrt{3}\)
而边界情况必须$a,b,c$中至少一个(比如a)趋向0，一个(比如c)趋向$+\infty$,于是结果就趋向\(1+\frac{1}{\sqrt{1+b}}\),显然在1和2之间

mathe

这个题可以通过逐步调整法来做。假设对于两变量情况，就是给定$ab=M^2$,求$T=1/{sqrt(1+a)}+1/{sqrt(1+b)}$的最值。
设$y=sqrt{(1+a)(1+b)},x=1/y$
$T^2={y^2-M^2+1+2y}/{y^2}=1+2x+(1-M^2)x^2$
容易看出在a趋向0,b趋向无穷时，x趋向最小值0,而a=b=M时，x取到最大值$1/{M+1}$,所以上面二次方程极值点是$x=1/{M^2-1}$，这个要在$M>\sqrt{2}$才能渠道，不然只能在x的边界取到T的最值，也就是a,b一个无穷一个0或两者相同时T才取到最值。
而$x=1/{M^2-1}$对应$(1+a)(1+b)=M^4-2M^2+1$,得出$a+b=M^4-3M^2, ab=M^2$, 所以$a+b=a^2b^2-3ab$,也就是${(a+1)^3}/{a^2}={(b+1)^3}/{b^2}$
由于a和b相等时也满足等式${(a+1)^3}/{a^2}={(b+1)^3}/{b^2}$，所以除了边界条件（部分趋向0和无穷），余下的相互之间都要满足上面的等式
而函数${(x+1)^3}/{x^2}$先减后增，对于任意a之多只能还有一个不同的b,
所以对于三个变量情况必然有两个相等,后面步骤就和前面用拉格朗日法相同了

王守恩

主帖与下面的题目有区别吗？
  x,a>0  证明： 1 < 1/(1+x) + 1/(1+a) + ax/(ax+8) < 2

kastin

王守恩 发表于 2017-10-16 09:47
主帖与下面的题目有区别吗？
  x,a>0  证明： 1 < 1/(1+x) + 1/(1+a) + ax/(ax+8) < 2

不懂你所谓的“区别”指的是什么，如果指的是值域是否一样，经MMA软件验证结论是一样的。

王守恩

kastin 发表于 2017-10-16 11:58
不懂你所谓的“区别”指的是什么，如果指的是值域是否一样，经MMA软件验证结论是一样的。

主帖与下面题目的值域是一样的吗？
  x,a,b,c >0  证明： 1 < 1/(1+x)^c + 1/(1+a)^c + (ax/(ax+b))^c < 2

kastin

王守恩 发表于 2017-10-16 12:44
主帖与下面题目的值域是一样的吗？
  x,a,b,c >0  证明： 1 < 1/(1+x)^c + 1/(1+a)^c + (ax/(ax+b))^c ...

并不成立，反例太多了。比如 `a=1,x=1,b=1,c=1/3` 函数值约为 `2.3811...`
像这样可以转换为带有约束条件的函数极值问题，极值大多跟约束条件以及变量数目有关，并不能随意推广。
论坛里面已经有好几个帖子讨论类似的问题，比如http://bbs.emath.ac.cn/forum.php ... 96&fromuid=8865
http://bbs.emath.ac.cn/thread-5642-1-1.html以及http://bbs.emath.ac.cn/thread-2488-1-1.html

至于8楼的命题，如果想要成立，须满足：若 `c` 较小(<1)，那么 `b` 必须足够大；若 `c` 较大(>1)，那么 `b` 必须足够小。应该可以用拉格朗日乘子法来定量分析。

王守恩

kastin 发表于 2017-10-16 13:31
并不成立，反例太多了。比如 `a=1,x=1,b=1,c=1/3` 函数值约为 `2.3811...`
像这样可以转换为带有约束条 ...

  还是没有得分的解法。  证明分3步走。
第1步。 设 a ≥ x＞0     (求助)
  证明：  2/(1+a)^(&#189;)+a/(a^2+8)^(&#189;)＜1/(1+a)^(&#189;)+1/(1+x)^(&#189;)+(ax/(ax+8))^(&#189;)＜2/(1+x)^(&#189;)+x/(x^2+8)^(&#189;)
第2步。 设 a=x=无穷大
  证明：  2/(1+a)^(&#189;)+a/(a^2+8)^(&#189;)＞1
第3步。 设 a=x=无穷小
  证明：  2/(1+x)^(&#189;)+x/(x^2+8)^(&#189;)＜2
综合1,2,3，得：  1＜1/(1+a)^(&#189;)+1/(1+x)^(&#189;)+(ax/(ax+8))^(&#189;)＜2