n^2+(n+1)^2为平方数

mathematica

两个直角三角形,直角边是相邻整数,斜边也是整数,求这样的三角形

1. Clear["Global`*"];(*Clear all variables*)
   
2. Reduce[n^2+(n+1)^2==c^2&&n>0&&c>0,{n,c},Integers]
   

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\[c_1\in \mathbb{Z}\land c_1\geq 2\land n=\frac{1}{4} \left(\sqrt{2} \left(2 \sqrt{2}+3\right)^{c_1}-\left(2 \sqrt{2}+3\right)^{c_1}-\sqrt{2} \left(3-2 \sqrt{2}\right)^{c_1}-\left(3-2 \sqrt{2}\right)^{c_1}-2\right)\land c=\frac{1}{4} \left(-\sqrt{2} \left(2 \sqrt{2}+3\right)^{c_1}+2 \left(2 \sqrt{2}+3\right)^{c_1}+\sqrt{2} \left(3-2 \sqrt{2}\right)^{c_1}+2 \left(3-2 \sqrt{2}\right)^{c_1}\right)\]

mathematica

mathematica 发表于 2017-6-1 09:46
两个直角三角形,直角边是相邻整数,斜边也是整数,求这样的三角形

n,c
3, 5
20, 29
119, 169
696, 985
4059, 5741
23660, 33461
137903, 195025
803760, 1136689
4684659, 6625109
27304196, 38613965
10^8以下的整数值

葡萄糖

证明不定方程\(\,\,x^2+(x+1)^2=z^2\,\,\)的一切正整数解可以写成公式
\begin{align*}
x&=\frac{1}{4}\left|\left(1+\sqrt2\right)^{2n+1}+\left(1-\sqrt2\right)^{2n+1}-2\right|\\
z&=\frac{1}{2\sqrt2}\left|\left(1+\sqrt2\right)^{2n+1}+\left(1-\sqrt2\right)^{2n+1}\right|
\end{align*}
其中n是正整数.
P166
《初等数论 第3版》
作者: 闵嗣鹤，严士健

王守恩

葡萄糖 发表于 2018-11-9 16:34
证明不定方程\(\,\,x^2+(x+1)^2=z^2\,\,\)的一切正整数解可以写成公式
\begin{align*}
x&=\frac{1}{4}\le ...

也可以这样。

\(x+1=[\frac{2+(1+\sqrt{2})^{2n+1}}{4}]\)

  \(z=[\frac{\sqrt{2}×(1+\sqrt{2})^{2n+1}}{4}]=\frac{\sqrt{2}\cosh\left((2n+1)\ln(1+\sqrt{2})\right)}{2}\)

中括号 [ a ] 是 a 取圆整，即四舍五入。