椭圆内接N等边及N等角凸边形问题

数学星空

已知椭圆:$x^2/m^2+y^2/n^2=1$,求内接于椭圆且分别满足下列条件的的凸$N$边形存在的条件：
1.凸$N$边形的每条边长均相等，并求出其长度$L(N)$？
2.凸$N$边形的每个角均相等，并求出其面积$S(N)?$

hujunhua

存在性是显然的，并且都不唯一。
1、椭圆内接等边多边形  以任意顶点为起点，以一定步长在椭圆弧上跨步一周，如果步数小于N，就缩减步长，反之则增加步长，总是存在一个适当的步长，使得正好N步跨一周。
对于不同的起步点，L(N)应该不同。
2、椭圆内接等角多边形  以任意顶点为起点，以一定步长在椭圆弧上跨第一步，以后每步都转过(1-2/N)π弧度角跨到椭圆弧上（步长以跨到弧上为适当），跨过一周，如果步数小于N，就缩减起步步长，反之则增加起步长，总是存在一个适当的起步步长，使得正好N步跨一周。
对于不同的起步点，S(N)应该不同。

hujunhua

对于内接等边N边形，窃以为L(N)不值得研究，由于与位置有关，计算起来非常费力不讨好（得不到什么好结果）。我觉得值得探究一下的是周期性。记起点(acosθ，bsinθ)对应的L(N)为L(N,θ), 这应该是个周期函数，并且2π/T不小于N。

hujunhua

第二个问题，研究椭圆的外切等角多边形与第一个问题更为对偶一些。

hujunhua

N=3时，以椭圆上一点为已知顶点作椭圆的内接等边三角形，解不唯一，最多的有3解（有妙证），不知道这对周期的影响意味着什么。

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以下是取$m=5,n=3$, 在椭圆上取$201$个样本点生成的正三角形

hujunhua

N=3时由于解不唯一，麻团有点乱。
N=4时为内接菱形，对于每一个起点，解都是唯一的，所以应该是最好解决的。
$L(4,t)=sqrt{{((acost)^2+(bsint)^2)(a^4(acost)^2+b^4(bsint)^2)}/{a^2(acost)^2+b^2(bsint)^2}}*sqrt{a^2+b^2}/{ab}$
周期为π，a=4,b=3时图像如下（极坐标系）

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对于N=3,我们可以得到如下结果：
起点为$(m*cos(theta),n*sin(theta))$
设$cos(theta)=(1-s^2)/(1+s^2),sin(theta)=(2*s)/(1+s^2)$
(1)若已知$m,n,theta$,求边长$a$则有
$256*m^4*n^4*(s^2+1)^2*(42*m^2*n^6*s^8+27*n^8*s^8-53*m^4*s^8*n^4-108*n^8*s^6+240*m^2*n^6*s^6+408*m^6*n^2*s^6-$
$476*m^4*n^4*s^6+162*n^8*s^4+210*n^4*s^4*m^4+432*m^8*s^4-144*m^6*n^2*s^4-564*m^2*n^6*s^4-108*n^8*s^2+240*m^2*n^6*s^2+$
$408*m^6*n^2*s^2-476*m^4*n^4*s^2+42*m^2*n^6+27*n^8-53*m^4*n^4)*a^2-48*n^2*m^2*(s^2+1)^4*(m-n)*(m+n)*$
$(108*m^8*s^2+75*m^6*n^2+294*m^6*n^2*s^2+75*m^6*n^2*s^4-65*m^4*n^4+390*m^4*n^4*s^2-65*n^4*s^4*m^4-$
$111*m^2*n^6-111*m^2*n^6*s^4-78*m^2*n^6*s^2-27*n^8*s^4+54*n^8*s^2-27*n^8)*a^4+9*(s^2+1)^6*(m-n)^2*(m+n)^2*(n^2+3*m^2)^2*$
$(3*n^2+m^2)^2*a^6-12288*n^6*m^6*(4*m^2*s^2+n^2*s^4-2*n^2*s^2+n^2)^3=0$

(2)若已知$m,n,a$,求起点$s$,则有
$(2268*a^6*m^2*n^10-2592*a^4*m^2*n^12+22272*a^4*m^8*n^6+378*a^6*m^4*n^8+104448*a^2*m^10*n^6-6264*a^6*m^6*n^6+$
$73728*m^6*n^12-148992*a^2*m^8*n^8+378*a^6*m^8*n^4-23328*a^4*m^10*n^4-147456*m^8*n^10-$
$13824*a^2*m^4*n^12+486*a^6*n^12+486*a^6*m^12+2268*a^6*m^10*n^2-5184*a^4*m^12*n^2+82944*a^2*m^6*n^10+$
$31296*a^4*m^6*n^8-22464*a^4*m^4*n^10)*s^2+(1215*a^6*n^12+589824*m^8*n^10+110592*a^2*m^12*n^4-184320*m^6*n^12-$
$589824*m^10*n^8-20736*a^4*m^12*n^2+1296*a^4*m^2*n^12-6912*a^2*m^4*n^12-203520*a^2*m^8*n^8-$
$53568*a^4*m^4*n^10+5670*a^6*m^2*n^10+28608*a^4*m^8*n^6-10752*a^2*m^6*n^10-60912*a^4*m^10*n^4+$
$5670*a^6*m^10*n^2+105312*a^4*m^6*n^8-15660*a^6*m^6*n^6+172032*a^2*m^10*n^6+945*a^6*m^8*n^4+$
$1215*a^6*m^12+945*a^6*m^4*n^8)*s^4+(-70272*a^4*m^4*n^10+7560*a^6*m^10*n^2-31104*a^4*m^12*n^2-$
$136192*a^2*m^8*n^8+5184*a^4*m^2*n^12-884736*m^8*n^10+1620*a^6*m^12-$
$165888*a^2*m^6*n^10+1260*a^6*m^4*n^8+152448*a^4*m^6*n^8+26112*a^4*m^8*n^6+245760*m^6*n^12-$
$20880*a^6*m^6*n^6+135168*a^2*m^10*n^6-786432*m^12*n^6-$
$82368*a^4*m^10*n^4+7560*a^6*m^2*n^10+1620*a^6*n^12+221184*a^2*m^12*n^4+1260*a^6*m^8*n^4+27648*a^2*m^4*n^12+$
$1179648*m^10*n^8)*s^6+(1215*a^6*n^12+589824*m^8*n^10+110592*a^2*m^12*n^4-184320*m^6*n^12-589824*m^10*n^8-$
$20736*a^4*m^12*n^2+1296*a^4*m^2*n^12-6912*a^2*m^4*n^12-203520*a^2*m^8*n^8-53568*a^4*m^4*n^10+5670*a^6*m^2*n^10+$
$28608*a^4*m^8*n^6-10752*a^2*m^6*n^10-60912*a^4*m^10*n^4+5670*a^6*m^10*n^2+105312*a^4*m^6*n^8-$
$15660*a^6*m^6*n^6+172032*a^2*m^10*n^6+945*a^6*m^8*n^4+1215*a^6*m^12+945*a^6*m^4*n^8)*s^8+(2268*a^6*m^2*n^10-$
$2592*a^4*m^2*n^12+22272*a^4*m^8*n^6+378*a^6*m^4*n^8+104448*a^2*m^10*n^6-6264*a^6*m^6*n^6+73728*m^6*n^12-$
$148992*a^2*m^8*n^8+378*a^6*m^8*n^4-23328*a^4*m^10*n^4-147456*m^8*n^10-13824*a^2*m^4*n^12+486*a^6*n^12+$
$(486*a^6*m^12+2268*a^6*m^10*n^2-5184*a^4*m^12*n^2+82944*a^2*m^6*n^10+31296*a^4*m^6*n^8-22464*a^4*m^4*n^10)*s^10+$
$a^2*m^4+6*m^2*n^2*a^2+9*a^2*n^4-48*n^4*m^2)*(9*a^2*m^4-6*m^2*n^2*a^2-3*a^2*n^4+16*n^4*m^2)^2*s^12+(a^2*m^4+$
$6*m^2*n^2*a^2+9*a^2*n^4-48*n^4*m^2)*(9*a^2*m^4-6*m^2*n^2*a^2-3*a^2*n^4+16*n^4*m^2)^2=0$

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对于$N=4$,内接菱形(即等边)
得到如下结果：
起点为$(m*cos(theta),n*sin(theta))$
设$cos(theta)=(1-p^2)/(1+p^2),sin(theta)=(2*p)/(1+p^2)$
$(-2*p^4*m^4+m^4+4*n^4*p^2+m^4*p^8+8*p^4*n^4+4*p^6*n^4)*a^2+4*p^2*m^6-16*n^6*p^4-m^6-8*m^2*n^4*p^6-4*p^6*m^4*n^2-$
$4*n^2*m^4*p^2-6*p^4*m^6+4*p^6*m^6+10*p^4*m^4*n^2-p^8*m^6-p^8*m^4*n^2-8*n^4*m^2*p^2-n^2*m^4=0$
取$m=5,n=3$可以得到起点$P$与边长$a$之间的关系
$(625*a^2-21250)*p^8+(324*a^2+23800)*p^6+(-602*a^2-49164)*p^4+(324*a^2+23800)*p^2+625*a^2-21250=0 $

可以得到存在四等边凸形的条件：$a=(34*(5*p^2+8*p+5)*(5*p^2-8*p+5))/(sqrt(21250*p^4-31484*p^2+21250)*(p^2+1))$
可以解得$5.830951897>a>5.144957557$

hujunhua

“存在内接菱形的条件”？提问题的角度很独特啊！ 任意的椭圆，在任意的起点都存在内接菱形，所以一般不会有“存在内接菱形的条件”这种提法。 通常的提法是，对给定的椭圆，内接菱形之边长的取值范围。在7#中，这个取值范围非常直观，即那颗“”花生”的长半轴和短半轴（束腰半径） N=4的结果还是以7#的表达方式更好吧。普遍来说，使用万能公式作代换并不是个好的选择，因为不利于表现周期性。