求 1^2+2^2+3^2+...+n^2 = m^2 的正整数解

mathematica

我也知道是椭圆曲线..................

Dream

<1,1><24,70><384,905736><6154,615105>等等

Dream

100万以内解还是比较多的

Dream

1. #include <stdio.h>
2. #define MAX_Seach 1000000
3. void main()
4. {
5. long int n,m;
6. for (n=1;n<=MAX_Seach;n++)
7. {
8. for (m=1;m<=MAX_Seach;m++)
9. {
10. if ((n+3*n*n+2*n*n*n)==6*m*m)
11. {
12. printf("n=%d,m=%d \n",n,m);
13. }
14. }
15. }
16. };

复制代码

gxqcn

<1,1><24,70><384,905736><6154,615105>等等 Dream 发表于 2012-12-17 16:53

结果有问题，至少 m 值应该随 n 递增而递增吧？ 44# Dream 你的代码中，似乎有整数乘法溢出的bug.

郭先抢

dream 不知道啥叫椭圆曲线,也不知道非退化的椭圆曲线只能有有限组的解

xiaoshuchong

补充几点。

1. 很多人反复提到了椭圆曲线，这个问题对应的曲线是$E:y^2=x^3-36x$

令$n,m=\frac{x}{12}-\frac{1}{2},\frac{y}{72}$, 则原等式成立

曲线E一共有13个整点，分别为[-6, 0], [-3, 9], [-3, -9], [-2, 8], [-2, -8],

[0, 0], [6, 0], [12, 36], [12, -36], [18, 72], [18, -72], [294, 5040], [294, -5040]。

其中，[294, 5040]即对应n,m=24,70。

2. $1^2+\cdots+24^2=70^2$与Leech Lattice紧密关联。

高维球密堆积是一个很有意思、不容易又不太热门的领域。我们知道二维球密

堆积是正六边形网格，三维是在二维的基础之上进行错排，形成面心立方、体

心立方等密堆积结构。而Leech Lattice是24维球的密堆积结构，由Leech在1967

年得到，随后Conway从这个结构导出了一个散在单群$Co1$(Sporadic simple group) 。

再之后，1988年，Conway和 N.J.A Sloane出版了一本书，"sphere packings: lattices and groups"，

详细介绍了球密堆积与群（尤其是散在单群）以及模形式之间的联系。大家对于Sloane老爷子也

许没什么印象，但想必对数列网站OEIS(https://oeis.org)很熟悉，Sloane老爷子是该

网站的创始人。

        好像有点扯远了，但是这个恒等式实在是很有意思。再扯远一点，sporadic group和

modular form之间的联系被称为魔群月光猜想，可以跟超弦理论联系在一起。这一块内容很难，

论坛里好像没人讨论这个问题。


链接：
关于Leech Lattice 简介
https://pi.math.cornell.edu/~bazse/leechlattice.pdf
https://encyclopediaofmath.org/wiki/Leech_lattice
散在单群
https://encyclopediaofmath.org/wiki/Sporadic_simple_group