扩展四阶幻方

mathe

扩展四阶幻方通解可以如上图，其中x+y=a+d+2e
通常情况下b,c可以相互交换，a,d可以互换，x,y可以互换，会有另外的8种对称情况。
其中它们全部交换，相对于对幻方做置换，所以29#提到的108中不同情况可以再除以4,于是结果减少到只有27组。
另外我们可以记$f=e+a,g=e+d,h=e+a+d$, 于是我们知道满足条件的方案中间16个数使用了$\{e,f,g,h\} + \{0,b,c,b+c\}$
而边上八数使用${x,y}+{0,b,c,b+c}$, 而且其中$x+y=f+g=e+h$,
由此我们可以知道，对于满足条件的方案中，${x,y},{f,g},{e,h}$三者也可以轮流置换，也就是扩展8格，对角线8格和余下8格可以置换。在这个意义下，我们还需要继续除以3，只有余下9组不等价的解。
另外，对于中间16格的数值e被置换到边上以后，即不在留在中间16格的角上或者中心四格，比如，中间16格的第四行被移动到第一行，而其余三行向下移动一行以后
我们会发现置换前的图上下左右各自扩展数据的和为$\Sigma/2-c,\Sigma/2+c，\Sigma/2-b,\Sigma/2+b $, 但是置换后，要求添加的变成了
$\Sigma/2+c, \Sigma/2-c, \Sigma/2+d,\Sigma/2-d$, 于是我们没法直接将e在角上的情况转化为e在边上的情况。
但是这时，我们可以在此通过将中间16格数据中的所有b和d进行交换，使得扩展数据和的要求也转变为缺$\Sigma/2+c,\Sigma/2-c，\Sigma/2+b,\Sigma/2-b $
于是可以轻松得到一个满足条件的解，如下图。

所以e在边上和e在角上的情况也可以一一对应，由此我们最终必然可以仅通过9组不等价的解给出满足条件的所有的扩展四阶幻方。

hujunhua

mathe 发表于 2020-10-10 15:12
扩展四阶幻方通解可以如上图，其中x+y=a+d+2e
通常情况下b,c可以相互交换，a,d可以互换，x,y可以互换， ...

只要中间4X4所用数组相同，相互之间都可以通过几种简单的规则进行变换。
即使把通过这种变换互通的视为等价，即中间4X4数组相同的视为等价，也有21个本原解。
其中 0 在4X4为10组，0在外围有11组（e=1: 7组，e=2: 3组， e=4：1组）。

所以，你这个9组是不是少了点？除非你把外围和中间4X4也作某种置换等价。
你说的“扩展8格，对角线8格和余下8格可以置换”是分区内置换，还是跨分区置换？

mathe

现在问题等价找找出0<b<c, e=0<f<x<y<g<h, 其中e+h=f+g=x+y,
使得{0,b,c,b+c} + {e,f,x,y,g,h}正好覆盖0~23中所有数的方案。
显然可以得出这时b+c+h=23
于是可以有
b=1,c=2, h=20
   {0,b,c,b+c}+e={0,1,2,3},所以f=4,g=h-f=16, x=8,y=12
b=1,c>2
  {0,b,c,b+c}+e={0,1,c,c+1}, 所以f=2,  {0,b,c,b+c}+f={2,3,c+2,c+3} ,于是要求$c \ge 4$
于是 b=1,c=4, f=2,h=18,g=16时
  {0,b,c,b+c}+e={0,1,4,5}, {0,b,c,b+c}+f={2,3,6,7} ,得出x=8,y=12
于是 b=1,c>4, f=2时
  {0,b,c,b+c}+e={0,1,c,c+1}, 所以f=2,  {0,b,c,b+c}+f={2,3,c+2,c+3} ,于是要求x=4,得出
b=1,f=2,x=4
  {0,b,c,b+c}+e={0,1,c,c+1}, {0,b,c,b+c}+f={2,3,c+2,c+3} ,{0,b,c,b+c}+x={4,5,c+4,c+5}, $c\ge 6$
如果c=6,得出
b=1,f=2,x=4,c=6
  {0,b,c,b+c}+e={0,1,6,7}, {0,b,c,b+c}+f={2,3,8,9} ,{0,b,c,b+c}+x={4,5,10,11}, 所以y=12,g=14,h=16
如果c>6,得出y=6,所以
b=1,f=2,x=4,y=6,g=8,h=10,得出
  {0,b,c,b+c}+e={0,1,c,c+1}, {0,b,c,b+c}+f={2,3,c+2,c+3} ,{0,b,c,b+c}+x={4,5,c+4,c+5},{0,b,c,b+c}+y={6,7,c+6,c+7},{0,b,c,b+c}+g={8,9,c+8,c+9},{0,b,c,b+c}+h={10,11,c+10,c+11},得出c=12
由此手工穷举得出b=1的所有情况
类似可以很容易继续穷举出b>1的情况，这时f=1

  

mathe

现在以b=1,c=12,e=0,h=10,f=2,g=8,x=4,y=6为例子给出变换的例子
现在标准结果如下图

在代入数字后就变化为

		7	4
	0	21	14	11
16	15	10	1	20	19
6	9	12	23	2	5
	22	3	8	13
		17	18

我们可以通过置换{e,h}->{f,g}->{x,y},改变为
b=1,c=12,e=2,h=8,f=4,g=6,x=0,y=10,于是得出结果

		11	0
	2	19	16	9
12	17	8	3	18	23
10	7	14	21	4	1
	20	5	6	15
		13	22

当然我们还可以使用简单的仅交换e和h等方案也可以得出很多不同的解，这些解的{e,h,f,g,x,y}的最小值可以在扩展部分，也可以在角上，也可以在中心四格。4*4部分的最小值只能在角上或中心四格。
我们还可以采用32#的轮换4*4的四行并且交换d=g-e和b的值得出4*4部分最小值即不在角上，也不在中心的方案

使用参数b=1,c=12,e=0,h=10,f=2,g=8,x=4,y=6得到

		18	17
	15	10	1	20
5	0	21	14	11	6
19	22	3	8	13	16
	9	12	23	2
		4	7

mathe

前面穷举b=1得出4种，
对于b>1,有f=1,于是
f=1,b=2时
  {0,b,c,b+c}+e={0,2,c,c+2},  {0,b,c,b+c}+f={1,3,c+1,c+3}，所以$c\ge 4$
  如果c=4,得出x=8,h=17,g=16,y=9.
  如果c>4,得出x=4,{0,b,c,b+c}+x={4,6,c+4,c+6},可以得出$c\gt 5$,所以y=5,g=8,h=9,c=12
f=1,b>2时,x=2.
   如果b=3,那么
  {0,b,c,b+c}+e={0,3,c,c+3},  {0,b,c,b+c}+f={1,4,c+1,c+4}，{0,b,c,b+c}+x={2,5,c+2,c+5}， 所以$c\ge 6$
如果f=1,x=2,b=3,c=6,得出y=12,g=11,h=12
如果f=1,x=2,b=3,c>6,得出y=6,g=7,h=8,c=12
   如果b>3,那么f=1,x=2,y=3,g=4,h=5,b+c=18,得出b=6,c=12


综上所述，所有9种情况为：

b	c	e	f	x	y	g	h
1	2	0	4	8	12	16	20
1	4	0	2	8	10	16	18
1	6	0	2	4	12	14	16
1	12	0	2	4	6	8	10
2	4	0	1	8	9	16	17
2	12	0	1	4	5	8	9
3	6	0	1	2	10	11	12
3	12	0	1	2	6	7	8
6	12	0	1	2	3	4	5

另外不满足扩展约束条件的解，由于不可以对{e,h},{f,g},{x,y}进行置换，可用变换较少，产生的等价类较多，还余有61种不同的分类

  

hujunhua

这两天偶然翻到这个旧帖，仔细阅读了mathe后面的几个回帖，感觉其中的跨区调换比起前面很有突破。
但是对于变元的非独立性是否会带来问题仍然有所疑虑， 所以化成零和幻方改进了一下参数解。
对于任一填好的幻方，可把所有的数乘以2，再减去23，结果还是一个幻方，但是幻和等于零，填入的数变成了{-23, -21, , ..., -3, -1, 1, 3, ..., 21, 23}。
这样就消除了 0 这个特殊数，参数解统一变成了

其中黑色和红色的相同字母表示相反数，但是不指定某种颜色为负。
这个通解的好处一是参数之间是独立的，二是高度对称一致。这样便于讨论变换群。
直接由前面的结果可转换得到全部的解{a,b,c,d,e}如下(省略了5个数字所带的±号）：

• {16, 1, 4, 2, 1}, {16, 2, 4, 1, 2}, {16, 4, 2, 1, 4}, b=e，第4解的2倍(mod23)
• {14, 2, 6, 1, 8}，第5解的2倍(mod23)
• {13, 1, 6, 3, 10}，
• {8, 1, 12, 2, 1, }, {8, 12, 2, 1, 12 }, {8, 2, 12, 1, 2}, b=e，第6解的2倍
• {7, 1, 12, 3, 4}，
• {4, 1, 12, 6, 1}, {4, 6, 12, 1, 6}, {4, 12, 6, 1, 12}, b=e，第7解的2倍(mod23)
• {2, 3, 12, 6, 3}, {2, 6, 12, 3, 6}, {2, 12, 6, 3, 12}, b=e，第3解的2倍(mod23)
• {5, 4, 12, 2, 7}，第2解的2倍(mod23)
• {10, 8, 4, 1, 14}，第8解的2倍(mod23)
• {9, 8, 4, 2, 15}，第1.3解的2倍(mod23)
• {2, 1, 12, 6, 5}，第14解的2倍(mod23)
• {5, 1, 12, 3, 8}，
• {3, 4, 12, 2, 9}
• {11, 1, 6, 3, 14}
• {8, 7, 4, 2, 17}
• {4, 2, 12, 1, 10}，第11解的2倍(mod23)
• {10, 2, 6, 1, 16}，第12解的2倍(mod23)
• {8, 6, 4, 1, 18}，第13解的2倍(mod23)
  

hujunhua

hujunhua

一般所说的不同的幻方，是指在（旋转、反射）生成群下的等价类。这个生成群是16阶的。
任意这样的两个幻方按格子中的数相同都可以建立一个对应，但这个对应对别的两个幻方不一定成立。
所谓变换，就是对任意两个幻方都成立的对应。

（旋转、反射）生成群只是四阶扩展幻方变换群的一个子群，那么其中还有哪些其它些变换呢？上楼列出的26个代表是在多大变换群下的全部代表呢？
暂时我们能够列出的变换包括：
1、对偶变换，就是把26#参数解图中的某个参数红黑互换。5个参数都可以独立对偶变换，所以对偶变换子群是32阶的。
2、置换(ab),(cd)的生成群，这是个4阶子群。
3、上述诸变换的复合。

发现几个问题：
1、mathe的内外跨区变换显然不在上述范围。内外跨区变换等于e↔(b-a).
2、(c对偶)(d对偶)=旋转180°(中心对称)，这是要摈弃的。
3、(ab置换)(cd置换)(e对偶)=一个斜反射，这是要摈弃的。

hujunhua

26#的通解原来可以通过组合化简，因为其中的参数总是以a+b, a-b, c+d, c-d组合出现，用另外4个变量代之，可使每格只有两个变量。

正如mathe指出的那样，参数为三组，对于对称零和幻方，就是{±a ,±b, ±c}+{±d, ±e}.
除了（旋转、反射）群，幻方的变换群还包括以下变换：
1、对偶变换，32阶子群
2、置换群(abc)(de), 12阶
但这些子群与（旋转、反射）群除了单位元，还有哪些交需要确定。

编程计算结果：{{a,b,c,d,e},  a组正半，b组正半, c组正半}

1. {4, 12, 20, 1, 3}, {1, 3, 5, 7}, {9, 11, 13, 15}, {17, 19, 21, 23},
   
2. {1, 15, 17, 2, 6}, {1, 3, 5, 7}, {9, 13, 17, 21}, {11, 15, 19, 23},
   
3. {2, 14, 18, 3, 5}, {1, 3, 5, 7}, {9, 11, 17, 19}, {13, 15, 21, 23},
   
4. {10,12, 14, 3, 9}, {1, 7, 13, 19}, {3, 9, 15, 21}, {5, 11, 17, 23},
   
5. {8, 12, 16, 5, 7}, {1, 3, 13, 15}, {5, 7, 17, 19}, {9, 11, 21, 23},
   
6. {1,  3, 5, 6, 18}, {5, 7, 17, 19}, {3, 9, 15, 21}, {1, 11, 13, 23},
   
7. {4,  6, 8, 9, 15}, {5, 11, 13, 19}, {3, 9, 15, 21}, {1, 7, 17, 23},
   
8. {1, 7, 9, 10, 14}, {9, 11, 13, 15}, {3, 7, 17, 21}, {1, 5, 19, 23},
   
9. {2, 6, 10,11, 13}, {9, 11, 13, 15}, {5, 7, 17, 19}, {1, 3, 21, 23}

复制代码

与mathe的9个解是对应的。