扩展四阶幻方

hujunhua

一、扩展四阶幻方
最近有人在@wayne的聊之斋微信群中问到一个填数谜题：
请将1~24不重不漏地填入如图所示24个格子中，使得所有的18个平立正方形，各四角之和皆相等。

这个图可称之为扩展四阶幻方，因为其中间4×4正方形构成一个四阶模幻方。

显然，扩展部分的相邻两格如 A3与A4 可以互换，C1与D1，C6与D6，F3与F4亦是。
仿佛这不是两格，而是在一个长条格中填的两个数。
为了消除这种缺陷，我们给它增加一种约束，要求像 {A3,C1,E3,C5}这样的倾斜45°的3×3正方形的四角之和也等于上述规定的和。
我们以下欣赏的就是这种增加了约束的扩展四阶幻方。
                 

hujunhua

【定义1】 （四阶模幻方）指每格填有 `\{a_1, a_2, a_3, …, a_{16}\}` 中1个数的无穷大方格网，其上任一4×4正方形中恰好包含`\{a_1, a_2, a_3, …, a_{16}\}`这16个数，并且构成一个四阶幻方。
容易证明，四阶模幻方是周期性的，为其上任一个4阶幻方的平铺。因此一般也用其上的任意一个4阶幻方代表该模幻方。
显然，一个4阶模幻方有16个代表幻方。它们是我们拿着一个4×4正方形取景框在同一个模幻方不同位置的平移取景。

【四阶模幻方性质1】 四阶模幻方中任一平立正方形的四角之和等于幻和。

这个性质容易证明，简述如下：
正方形的四角组只有两种：1、2×2正方形的四角，2、3×3正方形的四角。
（或曰还有4×4正方形的四角呀，由于周期性，这个在模幻方中就是一个2×2正方形）
模幻方可以划分为4个2×2方块，或者4个3×3正方形的四角组。
记4块的和为`∑_{11}, ∑_{12}, ∑_{21}, ∑_{22}` , 它们显然构成一个2阶幻方，故`∑_{11}=∑_{12}=∑_{21}=∑_{22}=∑`（幻和）。

反过来，如果按平立正方形等和约束来定义四阶模幻方，也能得出幻方各行、各列和各对角线等和的结论。
因为任意两行（列）之合都是俩平立正方形之合，故行、列皆等和。
任意俩无公共格的正交对角线之合都是俩平立正方形之合，故对角线皆等和。
这就证明了上述扩展幻方的中间4×4正方形等价于一个4阶模幻方。

如图编号，在四阶模幻方中，按周期性有{A3+A4=E3+E4},{F3+F4=B3+B4}, {C1+D1=C5+D5}, {C6+D6=C2+D2}，
因为本来就是{A3=E3, A4=E4},{F3=B3, F4=B4}, {C1=C5, D1=D5}, {C6=C2, D6=D2}
在扩展幻方中，自然不许{A3=E3, A4=E4},{F3=B3, F4=B4}, {C1=C5, D1=D5}, {C6=C2, D6=D2}，
但是显然保持了{A3+A4=E3+E4},{F3+F4=B3+B4}, {C1+D1=C5+D5}, {C6+D6=C2+D2}
可见扩展幻方的扩展部分保持部分模属性（周期性），是一个不错的构思。

三、扩展部分的额外约束

【定义2】（对径格）四阶模幻方的一条对角线上的相间两格称为彼此的对径格。
    说明：这个定义是合理的，因为在两个方向的对角线上，对径格是同一个，故具有唯一性。
【四阶模幻方性质2】对径格之和等于幻和的一半。
比如：（B2+D4)+(C3+E5)=Σ(一条对角线）,
               (B2+D4)+(B4+D2)=Σ(一个3×3平立正方形的四角），
               (B4+D2)+(C3+E5)=∑(一条对角线）
故  B2+D4=B4+D2=C3+E5=∑/2.
由于模幻方的周期性，所以其它对径格之和同样等于∑/2。
【定义3】（对偶数）和等于∑/2的两数。
    性质1表明对偶数正好处于对径格中。扩展幻方的备选数集大小对称地匹配为12对对偶数，在中间4×4部分包含了8对对偶数。故扩展部分包含了4对对偶数。
    增加的3×3倾斜正方形约束有一边正好是一对对径格，所以扩展部分所含4对对偶数也处于扩展“对径格”中，即
                                  A3+C1=D1+F3=F4+D6=C6+A4=∑/2.
容易证明，这使得 {C1,D2,E3,F4} 这样的扩展对角线四格之和也等于幻和。
PS：扩展格不能向内找对径格，比如C1不能找E3为对径格，否则会使得C1=C5（E3的对径格）.

hujunhua

四阶模幻方中的所有数同时减去1（更大也行），仍然是一个四阶模幻方。所以如果其中包括1，就可以变成包含0。
我们取B2=0的代表幻方，容易证明 D4=E4+D3+C4+D5=∑/2。（有标尺标记格位）
取E4=a, D3=b, C4=c, D5=d, 易得四阶模幻方的其它各格用a,b,c,d表示如下（省略了加号）：

这个参数解妙在16格包含的参数刚好取自{a,b,c,d}的幂集。
所以，要使得各数为0, 1, 2, …, 14, 15，当且仅当{a,b,c,d}={1,2,4,8}.
即各数用二进制表示，幻和=1111的2倍，各符合幻和约束的四数合计刚好各位各含两个1.

abcd的环排列为6个，再取消环向差别，则为3个，所以四阶模幻方在排除旋转、反射对称的重复解后，只有3个本原解。
可以固定a=8, 让 c 取1, 2, 4即可得3个本原解（b,d反射对称，顺序任意）。

hujunhua

在扩展幻方中，中间的4×4模幻方的取数不是0, 1, 2, 3, …, 14, 15. 因为这时∑=46，不再是30.
所以{a, b, c, d}不能取{1, 2, 4, 8}了。怎么办，二进制要如何兑现？
我们发现 1+2+4+16=23=∑/2, 所以可以取{a, b, c, d}={1, 2, 4, 16}.
也就是中间部分取5位二进数，第4位都是0. 为{0, 1, …, 7, 16, 17, …, 23}
扩展部分取4位二进数，首位都是1. 为{8, 9, …, 15}.
例如，取a=16, b=4, c=2, d=1得到两解如下：

我们按3#的4阶模幻方参数解得到的扩展幻方参数解如下：
图中a=16, b=8, {c, d, e}={1, 2, 4}.
把图中的7，8，15，16，23等还原为cde, b, bcde, a, acde,可以观察到参数分布的均匀性。

这两个图的中间部分是相同的，扩展部分有此两配。
原因在于扩展部分8格只有7个独立约束，故配解会比四阶模幻方多出一个参数来，结合连续整数条件，此参数可有两选。
{c, d, e}取{1, 2, 4}的排列为6种，故图中每个参数解实际包含6个数字解，实得12解。

hujunhua

由于扩展幻方在整体上不具有模幻方那样的周期性，因此中间的4×4 模幻方的参数解不能固定为3#那一个代表。
要得到其它解，模幻方的取景框需要进行适当的平移，选取其它代表。
由于a=16, 像C2, D2这样与扩展部分相邻的两格不能同时出现参数 a, 否则C1+D1<46-32=14, 但扩展部分的取数集为{8~15}.
明此限制，根据参数 a 的分布特点可知取景框在水平方向只能以步长2列进行平移。
竖直方向可以取步长1～3行作平移，但是取景框下移 1 行（或者上移 3 行）使 0 位于左下角的结果，只是参数c, e的一个对易+上下反射变换，实为重复解。
同样，取景框上移 1 行（或者下移 3 行）使 16 位于右下角的结果，只是在上移（下移一样）2行的结果+参数c, e的一个对易+上下反射变换，实为上移2行的重复解。
可见不致重复的平移变换群为{+(0, 0), +(2, 0), +(0, 2), +(2, 2)}，故可得到四种中心，每个中心有2种外配，故共有8个参数解。
全部参数解如下图所示：
图中a=16, b=8, {c, d, e}={1, 2, 4}.
图中每个参数解包含6个数字解，共可得48解。

hujunhua

这种增加约束的扩展幻方是否只有这48解，是否存在参数 a 出现在外围、参数 b 出现在内部的解，暂时没有解决。
不增约束的原扩展幻方是有参数 a 出现在外围、参数 b 出现在内部的解的。下面是@chyanog给出的一例：

chyanog计算搜索过原弱约扩展幻方，透露不去重有117760个解。
那么除以8，滤掉旋转、反射对称的重复解后，还有14720解。
再除以16，滤掉扩展部分的相邻两格互换的重复解，还有920解。

也就是说，参数 a 出现在外围、参数 b 出现在内部的解还有920-48=872种，其中是否则存在符合加强约束者有待验证。

hujunhua

利用一个参数解加入调节参数后，可找到参数 a 出外，参数 b 入内的2个新的强约扩展幻方。
以下是利用两个参数解调节得到的4个解。

每个都可以这样调节得到两个解，故又找到16个新的强约扩展幻方。

猜想强约扩展幻方就这64个了。
chyanog搜到的剩下856个解中应该没有强约扩展幻方了。

hujunhua

扩展幻方的中间模幻方不一定有0，假定中间的最小数为e>0,
所有数都减去e后，中间重新变成含0模幻方，其参数解之一即为3楼图。
在含0参数解上全部加上 e， 即得一般解，如下图1所示：

                  图1
然后据此配外围参数得

                           图2a                                                                          图2b
0不在内，就在外围，比较一下可以知道必是e-f, 故取f=e, 代入得

                           图3a                                                                          图3b
取{a,d}={8,4}, {b,c}={2,1}, e=4即得楼上4个数字解。
中间平移，外围随之调整，可得其它3对参数解。

wayne

厉害厉害,excel都用上了.

hujunhua

4#所列的零在中间的参数解取定了 a=16, b=8, {c,d,e}={1, 2, 4}, 可能会漏掉很多其它解，我们重新检查一下。
0在中间4×4幻方左上角时参数解如下（其它位置可由此解如4#那样中间4×4重新取景得到）：

左右两解的中间相同，外围取数范围便相同，只需要作出左边的解，右解调整一下位置而已。
记 ad-f=g, 我们看到外围的取数范围\[
\begin{Bmatrix}f&b+f&g&b+g\\f+c&b+f+c&g+c&b+g+c
\end{Bmatrix}\]亦可排成\[
\begin{Bmatrix}f&c+f&g&c+g\\f+b&c+f+b&g+b&c+g+b
\end{Bmatrix}\]或者\[
\begin{Bmatrix}f&c+f&b+f&b+c+f\\g&c+g&b+g&b+c+g
\end{Bmatrix}\]即8个数分为4节, 每节两数之差相等。
有此特征，就不难计算搜索符合要求的{a, b, c, d}，不需要完整的程序，人机对话足矣。搜索结果如下：