扩展四阶幻方

hujunhua

一、扩展四阶幻方
最近有人在@wayne的聊之斋微信群中问到一个填数谜题：
请将1~24不重不漏地填入如图所示24个格子中，使得所有的18个平立正方形，各四角之和皆相等。  

这个图可称之为扩展四阶幻方，因为其中间4×4部分构成一个四阶模幻方。

显然，扩展部分的相邻两格如 A3与A4 可以互换，C1与D1，C6与D6，F3与F4亦是。
仿佛这不是两格，而是在一个长条格中填的两个数。
为了消除这种缺陷，现给它增加一种约束，要求像 {A3,C1,E3,C5}这样的倾斜45°的3×3正方形的四角之和也等于上述规定的和。
我们以下欣赏的就是这种增加了约束的扩展四阶幻方。
                 

hujunhua

【定义1】 （四阶模幻方）指每格填有1个数的无穷大方格网，其上任一4×4正方形都构成一个四阶幻方。
容易证明，四阶模幻方是周期性的，为其上任一个4阶幻方的平铺。因此一般也用其上的任意一个4阶幻方代表该模幻方。
显然，一个4阶模幻方有16个代表幻方。它们是我们拿着一个4×4正方形取景框在同一个模幻方不同位置的平移取景。
这16个代表幻方代表的是同一个模幻方，也就是说，4阶模幻方在4x4平移变换群下是不变的。
为了看到16个4x4的代表幻方，其实不需要遍历无穷大网格，7X7网格刚好够。
如果你的目光能够转弯，7x7网格也不需要，把4x4幻方画在一个轮胎面上就行了，这样对边就相邻了。

【四阶模幻方性质1】 四阶模幻方中任一平立正方形的四角之和等于幻和。

这个性质容易证明，简述如下：
正方形的四角组只有两种：1、2×2正方形的四角，2、3×3正方形的四角。
（或曰还有4×4正方形的四角呀，由于周期性，这个在模幻方中就是一个2×2正方形）
模幻方可以划分为4个2×2方块，或者4个3×3正方形的四角组。
记4块的和为`∑_{11}, ∑_{12}, ∑_{21}, ∑_{22}` , 它们显然构成一个2阶幻方，故`∑_{11}=∑_{12}=∑_{21}=∑_{22}=∑`（幻和）。

反过来，如果按平立正方形等和约束来定义四阶模幻方，也能得出幻方各行、各列和各对角线等和的结论。
因为任意两行（列）之合都是俩平立正方形之合，故行、列皆等和。
任意俩无公共格的正交对角线之合都是俩平立正方形之合，故对角线皆等和。
【推论1】扩展幻方的中间4×4正方形等价于一个4阶模幻方。

如图编号，在四阶模幻方中，按周期性有{A3+A4=E3+E4},{F3+F4=B3+B4}, {C1+D1=C5+D5}, {C6+D6=C2+D2}，
因为本来就是{A3=E3, A4=E4},{F3=B3, F4=B4}, {C1=C5, D1=D5}, {C6=C2, D6=D2}
在扩展幻方中，自然不许{A3=E3, A4=E4},{F3=B3, F4=B4}, {C1=C5, D1=D5}, {C6=C2, D6=D2}，
但是显然保持了{A3+A4=E3+E4},{F3+F4=B3+B4}, {C1+D1=C5+D5}, {C6+D6=C2+D2}
可见扩展幻方的扩展部分保持部分模属性（周期性），是一个不错的构思。

三、扩展部分的额外约束

【定义2】（对径格）四阶模幻方的一条对角线上的相间两格称为彼此的对径格。
    说明：这个定义是合理的，因为在两个方向的对角线上，对径格是同一个，故具有唯一性。
【四阶模幻方性质2】对径格之和等于幻和的一半。
比如：（B2+D4)+(C3+E5)=Σ(一条对角线）,
               (B2+D4)+(B4+D2)=Σ(一个3×3平立正方形的四角），
               (B4+D2)+(C3+E5)=∑(一条对角线）
故  B2+D4=B4+D2=C3+E5=∑/2.
由于模幻方的周期性，所以其它对径格之和同样等于∑/2。
【定义3】（对偶数）和等于∑/2的两数。
    性质1表明对偶数正好处于对径格中。扩展幻方的备选数集大小对称地匹配为12对对偶数，在中间4×4部分包含了8对对偶数。故扩展部分包含了4对对偶数。
    增加的3×3倾斜正方形约束有一边正好是一对对径格，所以扩展部分所含4对对偶数也处于扩展“对径格”中，即
                                  A3+C1=D1+F3=F4+D6=C6+A4=∑/2.
【推论2】 {C1,D2,E3,F4} 这样的扩展对角线四格之和也等于幻和。
PS：扩展格不能向内找对径格，比如C1不能找E3为对径格，否则会使得C1=C5（E3的对径格）.
【扩展部分的对易变换】将扩展对角线的两端同时对易，仍然是一个扩展幻方。
     即 C1+D1=A4+F4，A3+A4=D1+D6, F3+F4=C1+C6, C6+D6=A3+F3.
【四阶模幻方性质3】（对偶变换）将四阶模幻方中每个数同时换成它的对偶数，仍然是一个四阶模幻方。
由于性质2，对偶变换就是同时对调所有对径格中的数。即(+2,+2)的取景平移。
显然，对偶变换也适用于扩展幻方。
由于对径格不是转置对称（斜对称）的，所以对偶变换不同于转置变换。
由于扩展幻方不具有平移对称性，所以对偶变换不再包括在平移重复中。

hujunhua

四阶模幻方中的所有数同时减去1（更大也行），仍然是一个四阶模幻方。所以如果其中包括1，就可以变成包含0。
我们取B2=0的代表幻方，容易证明 D4=E4+D3+C4+D5=∑/2。（有标尺标记格位）
取E4=a, D3=b, C4=c, D5=d, 易得四阶模幻方的其它各格用a,b,c,d表示如下（省略了加号）：

这个参数解妙在16格包含的参数刚好取自{a,b,c,d}的幂集。
所以，要使得各数为0, 1, 2, …, 14, 15，当且仅当{a,b,c,d}={1,2,4,8}.
即各数用二进制表示，幻和=1111的2倍，各符合幻和约束的四数合计刚好各位各含两个1.
【推论3】一个四阶模幻方在{a,b,c,d}的置换群作用下，还是一个四阶模幻方。

abcd的环排列为6个，再取消环向差别（反射对称），则为3个，所以四阶模幻方在排除旋转、反射对称的重复解后，只有3个本原解。
可以固定a=8, 让 c 取1, 2, 4即可得3个本原解（b,d反射对称，顺序任意）。
用群论的语言，即四阶模幻方集在（旋转，反射）生成群下作用下，分成3条轨道。

如果变换群扩大，把{a,b,c,d}的环排列置换也加进来，那么四阶模幻方就唯一了，因为{a,b,c,d}只有唯一取值{a, b, c, d}.
那么环排列的置换有哪些呢？
【四阶模幻方的置换】
多元置换都是二元置换的积，所以先检查基本的二元置换。
1、(ad)置换   (ad)置换下，有8个不动格，即心田和四角，而四边中间的八格，由相邻边对顶角互易。
2、(ac)置换   (ac)置换下，a, c所在列互换，其它2列不动。这是一个反射变换。把轮胎沿(a,c)行方向剪开，模幻方就视作一个圆筒了，所以反射面跟圆筒的两条母线相交，即两个不动列。

hujunhua

在扩展幻方中，中间的4×4模幻方的取数不是0, 1, 2, 3, …, 14, 15. 因为这时∑=46，不再是30.
所以{a, b, c, d}不能取{1, 2, 4, 8}了。怎么办，二进制要如何兑现？
我们发现 1+2+4+16=23=∑/2, 所以可以取{a, b, c, d}={1, 2, 4, 16}.
也就是中间部分取5位二进数，第4位都是0. 为{0, 1, …, 7, 16, 17, …, 23}
扩展部分取4位二进数，首位都是1. 为{8, 9, …, 15}.
例如，取a=16, b=4, c=2, d=1得到两解如下（中间4x4部分相同，扩展区互为对易，所以可以只展示一个）：


这个特解的外围8格都减去最小数（8），可化成全体3位二进数，即呈3元幂集结构。
容易证明，3元幂集结构确实是一般成立的，我们得到如下参数解：

eff=ad		bef	f
	0	bcd	ac	abd
cf	abc	ad	b	cd	bcef
ef	bd	c	abcd	a	bf
	acd	ab	d	bc
		bcf	cef

hujunhua

由于扩展幻方在整体上不具有模幻方那样的周期性（平移变换），因此中间部分模幻方的变换对外围有着不同的影响，所以中间参数解不能固定0的位置在角上。
0出现在心田，可以用对偶变换，略去。
0出现在边上，用反射或者平移变换都行，可以保持外围不变（因为外围8格对称）调整如下：

eff=ad		bef	f
	d	bc	acd	ab
cf	abcd	a	bd	c	bcef
ef	b	cd	abc	ad	bf
	ac	abd	0	bcd
		bcf	cef

     

可见内部变换并不改变参数结构。

hujunhua

下面是@chyanog给出的 0（即下图中的1）出现在外围的一例：

不过这个是原弱约扩展幻方，并且此例的外围数组还不具有幂集结构，不能调整为强约扩展幻方。
chyanog计算结果是原弱约扩展幻方不去重有117760个解。
由于存在这种外围非幂集结构的解，无法从中计算强约扩展幻方的数量。

hujunhua

4#所列的零在中间的参数解取定了 a=16, {b,c,d}={1, 2, 4}, e=4, f=8, 这些参数有没有其它数组呢？
按4#和5#的参数解，编程计算如下

1. octagon[abcd_List] := Complement[Range[0, 23], Plus @@@Subsets@abcd]
   
2. powersetQ[oct_List] := MemberQ[oct, Total@oct[[2 ;; 3]] - oct[[1]]]
   
3. bcef[oct_List] := {oct[[2]] - oct[[1]], oct[[3]] - oct[[1]], oct[[-1]] +oct[[1]] -oct[[2]] -oct[[3]],oct[[1]]}
   
4. abcd = Select[IntegerPartitions[23, {4}], DuplicateFreeQ[Plus @@@ Subsets[#]] &&powersetQ@octagon@# &];
   
5. abcdef = {#, bcef@octagon@#} & /@ abcd

复制代码

输出结果为{{a, b, c, d},{b, c, e, f}}, 其中{a,b,c,d}无序，{b,c,e,f}只有f是对位的。b,c 为前后的交，如果交有3个，可任选 2个, 这种情况下{a.d}={e,2f}.。

{{16, 4, 2, 1}, {1, 2, 4, 8}},a=2f, d=e {{14, 6, 2, 1}, {1, 6, 8, 4}}, {{13, 6, 3, 1}, {3, 6, 10, 2}}, {{12, 8, 2, 1}, {1, 2, 12, 4}},a=e, d=2f {{12, 7, 3, 1}, {3, 4, 12, 2}}, {{12, 6, 4, 1}, {1, 6, 12, 2}},a=e, d=2f {{12, 6, 3, 2}, {3, 6, 12, 1}},a=e, d=2f {{12, 5, 4, 2}, {2, 7, 12, 1}}, {{10, 8, 4, 1}, {1, 4, 14, 2}}, {{9, 8, 4, 2}, {2, 4, 15, 1}} 复制代码

hujunhua

表格中上排为相应的参数{a,b,c,d,e,f}. 第1组已在4#，以下是第2至第10组0在角上的一例。

14 6 1 2 8 4 18 4 0 9 15 22 5 21 16 6 3 19 12 8 1 23 14 10 17 20 2 7 11 13	13 6 3 1 10 2 18 2 0 10 16 20 5 22 14 6 4 21 12 7 3 23 13 8 17 19 1 9 11 15	12 2 1 8 12 4 18 4 0 11 13 22 5 15 20 2 9 19 16 10 1 23 12 6 21 14 8 3 7 17
7 12 3 1 4 2 18 2 0 16 10 20 5 22 8 12 4 21 6 13 3 23 7 14 11 19 1 15 17 9	12 6 1 4 12 2 20 2 0 11 13 22 3 19 16 6 5 21 14 10 1 23 12 8 17 18 4 7 9 15	12 6 3 2 12 1 19 1 0 11 15 20 4 21 14 6 5 22 13 8 3 23 12 7 17 18 2 9 10 16
5 12 2 4 7 1 20 1 0 18 7 21 3 19 9 12 6 22 8 16 2 23 5 13 11 17 4 14 15 10	10 4 1 8 14 2 20 2 0 13 11 22 3 15 18 4 9 21 16 12 1 23 10 6 19 14 8 5 7 17	9 4 2 8 15 1 20 1 0 14 11 21 3 15 17 4 10 22 16 12 2 23 9 5 19 13 8 6 7 18

wayne

厉害厉害,excel都用上了.

hujunhua

扩展幻方的中间模幻方不一定有0，假定中间的最小数为e>0,
所有数都减去e后，中间重新变成含0模幻方，其参数解之一即为3楼图。
在含0参数解上全部加上 e， 即得一般解，如下图1所示：

e	bcde	ace	abde
abce	ade	be	cde
bde	ce	abcde	ae
acde	abe	de	bce

然后据此配外围参数得

bcf=23		bf	0
	e	bcde	ace	abde
c	abce	dae	be	cde	bcf
f	bde	ce	abcde	ae	b
	acde	abe	de	bce
		bc	cf

同样可以保持外围，变换中间，参数结构不变。

e=(23-a-b-c-d)/2≤(23-1-2-4-8)/2=4.  e=4显然只有唯一解{a, b, c, d, e, f}={8,2,1,4, 4, 20}

8	2	1	4	4	20
		22	0
	4	11	13	18
1	15	16	6	9	23
20	10	5	19	12	2
	17	14	8	7
		3	21

又 e≠3, 否则1, 2在外，从而 1+2 亦在外，矛盾。
最后剩下e=1,2的两种情况。