扩展四阶幻方

hujunhua

{a,d}={4,3}, {b,c}={12,2},16解。


e=1第4组{a,b,c,d}={11, 6, 3, 1}, 外围{0, 3, 6, 9, 14, 17, 20, 23}
实际参数变化范围 {a,d}={11,1},{b,c}={6,3}, 16解。

hujunhua

第5组{8, 7, 4, 2}, {0, 2, 4, 6, 17, 19, 21, 23}, 16解

hujunhua

第1组{12, 4, 2, 1}, {0, 1, 10, 11, 12, 13, 22, 23}, 16解
第2组{10, 6, 2, 1}, {0, 1, 6, 7, 16, 17, 22, 23}, 16解
第3组{8, 6, 4, 1}, {0, 1, 4, 5, 18, 19, 22, 23}, 16解

hujunhua

统计：

        0在外围实为144解。
加上 0在中间4×4部分的288解，共432解。

hujunhua

以上各楼中，都有提到参数分组，有的是{a,b,c}{d}，有的是{a,d}{b,c},为什么会这样呢？
这是由剩余的外围数组的结构决定的。
10#提到外部数组可分成上下两组 , 一组为另一组加上b, c或者(g-f)：\[\begin{split}
&\begin{Bmatrix}f&b+f&g&b+g\\f+c&b+f+c&g+c&b+g+c\end{Bmatrix}\\
&\begin{Bmatrix}f&c+f&g&c+g\\f+b&c+f+b&g+b&c+g+b\end{Bmatrix}\\
&\begin{Bmatrix}f&c+f&b+f&b+c+f\\g&c+g&b+g&b+c+g\end{Bmatrix}\end{split}
\]如果 |g-f|∈{a, d}, 那么参数分组就是{a,b,c}{d}, 否则就是{a,d}{b,c}.
由于外围的分组方法只有三种，所以参数分组不可能出现{a,b,c,d}.

mathe

中心16格采用8#方案，而对于边上8个数字，只要满足上面俩数和=$\frac{\Sigma}2-c$, 左边俩数和=$\frac{\Sigma}2-b$，右边俩数和=$\frac{\Sigma}2+b$,下面俩数和=$\frac{\Sigma}2+c$即可。而每个满足条件的方案中，上下左右俩数各自可以任意交换位置，也就是一个结果就对应 16 组不同的解。
另外如果将中心16格划分为左上左下右上右下4个2×2方块，并且对角交换，

如图可以看出同样需要分别加入和标准值差b或c的值，也就是说同样的搜索结果还可以对应另外8组。
于是最后我们只要搜索满足条件的a,b,c,d,e以及四个边上较小的数字就可以了，其中每组对应16个结果。
附件中搜索结果为100组，每组给出了一个例子结果，所以总共结果应该1600组（已经去除对称情况）
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2020-10-8 11:27 上传

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hujunhua

mathe 发表于 2020-10-8 11:28
无额外约束的原扩展幻方的解数
中心16格采用8#方案，而对于边上8个数字，只要满足上面俩数和比标志值($\frac{\Sigma}2=a+b+c+d+2e$)小c,左 ...

对扩展部分增加的额外约束是要求如下图中底色相同的两格之和等于∑/2.
前文中有时称之为强约扩展幻方。前文中所有参数图和数字图都是强约扩展幻方。

增加扩展对径格约束后，扩展幻方多了以下特点：
1、3×3的倾斜45°正方形四角之和等于∑。（mathe在群中指出的）
2、扩展对角线，如上图中的22+7+5+12=∑。

这个原始扩展幻方的搜索结果好像与chyanog在群中透露的数字不同。
chyanog说不去重有117760解，那么去重后应该是920解，见6#。
不知道出入在哪里。

mathe

我统计了一下，扩展部分如同hujunhua这样邻边对偶的有52种，对边对偶的有48种。
如果继续考虑我找出的方案中一种只对应hujunhua方案中两种（可以同时将所有扩展部分数字两两交换），那么应该只对应52*2=104种，如果继续添加2e格子在中心的情况，那么有208种。好像数目偏少？

mathe

前面有bug,应该是230组不等价的解，满足扩展约束的108组。
这下好像和chyanog的匹配了。
每组中心16个格子内外置换可以乘上系数$2$，扩展部分交换位置又可以乘上$2^4$, 旋转和翻转又可以乘上$2^3$，得出结果怎么同chyanog正好差了一倍？还有哪种对称情况没有计数？

hujunhua

mathe 发表于 2020-10-8 18:12
前面有bug,应该是230组不等价的解，满足扩展约束的108组。
这下好像和chyanog的匹配了。
每组中心16个 ...

中间4×4的格子内外置换是5#所说的取景平移的一种（+(2,2)），取景平移还有上两行与下两行对易、左两列与右两列对易两种，所以还要乘以2——这就对上了。