初中几何题，求矩形面积的最大值

hujunhua

@mathe
凸四边形两组对边平方和相等当且仅当它的两条对角线正交。
现在两组对边平方和相等，故不管四边形如何移变，对角线总保持正交。
当移变至内接于圆时，对角线也不例外地保持正交，所以方法没有问题。

mathematica

https://bbs.emath.ac.cn/thread-17176-1-1.html
已知PA, PB, PC和∠A, 求△ABC的最大面积

hujunhua

mathematica 发表于 2021-5-9 13:16
https://bbs.emath.ac.cn/thread-17176-1-1.html
已知PA, PB, PC和∠A, 求△ABC的最大面积

确实存在 @mathe 所说的，共圆条件与其它条件不能共立，共圆时的最大值不能达到的情况。
比如这里引用的问题，已知条件中包括∠A=60°，那么按三角形中的最值问题36#所用方法（下图），
∠EAF=120°，ΔEAF就是形状大小确定不变的，不能再纳入移变范围，而指望六边形还可以共圆。
现在可调整是五边形BDCEF，但由于只有一个自由度（固定ΔEAF，P在圆弧EPF上滑动，带动BDC），让五点共圆一般达不到。

再比如我们1#中，可以把矩形ABCD减半为直角三角形ABD，再运用上图方法，则
∠EAF=180°，六边形变成了五边形BDCEF, 同样的道理不能指望这个五边形可移变至共圆。
事实上，由于∠FBD+∠DCE=180°，记CE与BF的延长线交点为G，有四边形BDCG共圆。所以E,F只能在圆BDC内部。

yigo

以BD为直径作圆1，BD在以O为圆心，3为半径的圆上，再以O为圆心，2为半径作圆2，圆1与圆2的交点即为A点，当BOD的张角变化时，BD长度及A点的位置都在变化，但是趋势是张角越大，面积越大，直到圆1与圆2相切，不知道为什么论坛上传不了图片。如果OB与OD也不相等，就不太好求，思路是一样的，但是方程解不出来。