椭圆内接N等边及N等角凸边形问题

wayne

我来加点料。
既然 对于给定的椭圆的 $a,b$，以及长度$L$，我们总能够得到 椭圆的 定长为$L$的包络曲线，那么试问，从该包络曲线 随意一个角度位置$\theta$开始，做包络曲线的切线，然后得到 切线与椭圆的交点，然后以此交点继续做包络曲线的切线，切线又与椭圆相交，如此重复下去，直到这些切线有可能闭合为止。

问题1：任意角度位置$\theta$开始做的一系列切线都有可能构成闭合的简单凸多边形吗，也就是说，构成闭合的简单凸多边形的初始条件或者约束条件是什么？
问题2：如果能够简单凸闭合，那么切线的个数$N$与$\theta$之间的函数关系或者约束条件是什么？
问题3：对于不能简单凸闭合的情况，咱们进一步分类，有可能分成周期的和非周期的。 非周期的话就会形成麻团了（老胡的用词，哈哈哈），那么，对于周期的情况又有哪些呢？

目测答案跟 初始角度是否是$\pi$的有理数倍 有关系。 如果是埃及分数，就能简单凸闭合，如果是非埃及分数，那么就会形成周期性的多圈环绕，如果是无理数倍，那么就是麻团了。咱们关注点应该主要是初始值。

hujunhua

wayne 发表于 2020-8-14 14:18
我来加点料。
既然 对于给定的椭圆的 $a,b$，以及长度$L$，我们总能够得到 椭圆的 定长为$L$的包络曲线， ...

问题1的答案：除非包络线为二次曲线，否则不可能在任意位置都可闭合。对于高次曲线，只可能在特定位置存在闭合，如此一来，探索孤立的特定位置意义就不大了。