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[原创] 九宫格

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发表于 2019-12-28 12:58:52 | 显示全部楼层 |阅读模式

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x
(1)在九宫格里填入1, 2, 3, ..., 9
a1 a3 a6
a2 a5 a8
a4 a7 a9
等和约束改为:
a1+a2+a3=15
a4+a5+a6=15
a7+a8+a9=15
a1+a5+a9=15
a2+a4+a7=15
a3+a6+a8=15
问:有几种不同的填法?通过旋转后相同的只算同一种。

(2) 在(1)的基础上增加:
a2+a5+a8=15
a3+a5+a7=15
后呢?
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2019-12-28 16:27:24 | 显示全部楼层
140?
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
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 楼主| 发表于 2019-12-29 05:32:49 | 显示全部楼层
先做(2)。

8个约束中,a1,a4,a6,a9 出现2次,a2,a3,a7,a8 出现3次,a5 出现4次。
而15分解为3个不同的整数之和刚好8组:
15=1+5+9=1+6+8=2+4+9=2+5+8=2+6+7=3+4+8=3+5+7=4+5+6
累计1,3,7,9 出现2次,2,4,6,8 出现3次,5 出现4次。
所以必定1,3,7,9在角,2,4,6,8在边,5占中。
在旋转、反射去重的意义下,只有以下唯一解:
1 8 3
6 5 4
7 2 9

再来做(1)

6个约束中1~9每个数各出现2次。
在上述15的八个3分和式,不含5的4个中,1, 3, 7, 9各出现1次,2, 4, 6, 8各出现2次。
所以含5的4个和式中,只能选取1+5+9和3+5+7。故6个约束的和式集是唯一的。
中间数选定后,四角随定(在旋转、反射去重的意义下),四边亦随定,故共有9解。
538
714
629
486
321
759
495
231
786
273
645
819
183
654
729
192
564
738
243
978
516
153
987
426
162
897
435

毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2019-12-29 05:46:35 | 显示全部楼层
4×4 方格,填入1, 2, 3, —, 16,
a11a12a13a14
a21a22 a23 a24
a31a32a33 a34
a41 a42a43 a44
等和约束改为:
a11+a22+a33+a44=34
a12+a23+a34+a41=34
a13+a24+a31+a42=34
a14+a21+a32+a43=34

a11+a23+a31+a43=34
a12+a24+a32+a44=34
a13+a21+a33+a41=34
a14+a22+a34+a42=34

a11+a24+a33+a42=34
a12+a21+a34+a43=34
a13+a22+a31+a44=34
a14+a23+a32+a41=34

a11+a32+a13+a34=34
a12+a33+a14+a31=34
a21+a42+a23+a44=34
a22+a43+a24+a41=34

问:有多少种不同的填法?通过旋转后可重合的只算同一种。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2019-12-29 09:46:17 | 显示全部楼层
王守恩 发表于 2019-12-29 05:46
4×4 方格,填 16 个数(1——16)。

    a11,a12,a13,a14

有2点没明白:
1  (2)的结果好像不完全满足给定的8个条件 ,
2  (1)比(2)少2个约束条件,似乎不可能是唯一解,请给出具体解.
请再审查
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2019-12-29 11:35:36 | 显示全部楼层
dlpg070 发表于 2019-12-29 09:46
有2点没明白:
1  (2)的结果好像不完全满足给定的8个条件 ,
2  (1)比(2)少2个约束条件,似乎不可能是 ...


(2)的答案有2个,2#中的及其镜像(镜像不去重)。
(1)的答案有18个,2#中的及其镜像(镜像不去重)。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2019-12-29 13:13:05 | 显示全部楼层
王守恩 发表于 2019-12-29 11:35
(2)的答案有2个,……

(1)在旋转对称不去重的条件下,共 得140解。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2019-12-29 17:26:30 | 显示全部楼层
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2019-12-29 17:42:23 | 显示全部楼层

点评

更贪心一点:同时满足 4 个数的和= 34 有 20 组,24 组....,填法可以有吗?  发表于 2019-12-29 20:46
4×4 方格,填 16 个数(1——16)。同时满足 4 个数的和= 34 有 16 组,详见 4 楼。来 1 种填法也行。  发表于 2019-12-29 20:20
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2019-12-29 21:11:48 | 显示全部楼层
王守恩 发表于 2019-12-29 05:46
4×4 方格,填入1, 2, 3, …, 16

http://oeis.org/A027567
这种也叫全对称幻方,穷举很快,4×4的计算量很小,5×5的也只要1秒
  1. {{1,8,10,15},{12,13,3,6},{7,2,16,9},{14,11,5,4}}
  2. {{1,8,10,15},{14,11,5,4},{7,2,16,9},{12,13,3,6}}
  3. {{1,8,11,14},{12,13,2,7},{6,3,16,9},{15,10,5,4}}
  4. {{1,8,11,14},{15,10,5,4},{6,3,16,9},{12,13,2,7}}
  5. {{1,8,13,12},{14,11,2,7},{4,5,16,9},{15,10,3,6}}
  6. {{1,8,13,12},{15,10,3,6},{4,5,16,9},{14,11,2,7}}
  7. {{1,12,6,15},{14,7,9,4},{11,2,16,5},{8,13,3,10}}
  8. {{1,12,7,14},{15,6,9,4},{10,3,16,5},{8,13,2,11}}
  9. {{1,12,13,8},{14,7,2,11},{4,9,16,5},{15,6,3,10}}
  10. {{1,12,13,8},{15,6,3,10},{4,9,16,5},{14,7,2,11}}
  11. {{1,14,7,12},{15,4,9,6},{10,5,16,3},{8,11,2,13}}
  12. {{1,14,11,8},{15,4,5,10},{6,9,16,3},{12,7,2,13}}
  13. {{2,7,9,16},{11,14,4,5},{8,1,15,10},{13,12,6,3}}
  14. {{2,7,9,16},{13,12,6,3},{8,1,15,10},{11,14,4,5}}
  15. {{2,7,12,13},{11,14,1,8},{5,4,15,10},{16,9,6,3}}
  16. {{2,7,12,13},{16,9,6,3},{5,4,15,10},{11,14,1,8}}
  17. {{2,7,14,11},{13,12,1,8},{3,6,15,10},{16,9,4,5}}
  18. {{2,7,14,11},{16,9,4,5},{3,6,15,10},{13,12,1,8}}
  19. {{2,11,5,16},{13,8,10,3},{12,1,15,6},{7,14,4,9}}
  20. {{2,11,8,13},{16,5,10,3},{9,4,15,6},{7,14,1,12}}
  21. {{2,11,14,7},{13,8,1,12},{3,10,15,6},{16,5,4,9}}
  22. {{2,11,14,7},{16,5,4,9},{3,10,15,6},{13,8,1,12}}
  23. {{2,13,8,11},{16,3,10,5},{9,6,15,4},{7,12,1,14}}
  24. {{2,13,12,7},{16,3,6,9},{5,10,15,4},{11,8,1,14}}
  25. {{3,6,9,16},{13,12,7,2},{8,1,14,11},{10,15,4,5}}
  26. {{3,6,12,13},{16,9,7,2},{5,4,14,11},{10,15,1,8}}
  27. {{3,6,15,10},{13,12,1,8},{2,7,14,11},{16,9,4,5}}
  28. {{3,6,15,10},{16,9,4,5},{2,7,14,11},{13,12,1,8}}
  29. {{3,10,5,16},{13,8,11,2},{12,1,14,7},{6,15,4,9}}
  30. {{3,10,8,13},{16,5,11,2},{9,4,14,7},{6,15,1,12}}
  31. {{3,10,15,6},{13,8,1,12},{2,11,14,7},{16,5,4,9}}
  32. {{3,10,15,6},{16,5,4,9},{2,11,14,7},{13,8,1,12}}
  33. {{3,13,8,10},{16,2,11,5},{9,7,14,4},{6,12,1,15}}
  34. {{3,13,12,6},{16,2,7,9},{5,11,14,4},{10,8,1,15}}
  35. {{4,5,10,15},{14,11,8,1},{7,2,13,12},{9,16,3,6}}
  36. {{4,5,11,14},{15,10,8,1},{6,3,13,12},{9,16,2,7}}
  37. {{4,5,16,9},{14,11,2,7},{1,8,13,12},{15,10,3,6}}
  38. {{4,5,16,9},{15,10,3,6},{1,8,13,12},{14,11,2,7}}
  39. {{4,9,6,15},{14,7,12,1},{11,2,13,8},{5,16,3,10}}
  40. {{4,9,7,14},{15,6,12,1},{10,3,13,8},{5,16,2,11}}
  41. {{4,9,16,5},{14,7,2,11},{1,12,13,8},{15,6,3,10}}
  42. {{4,9,16,5},{15,6,3,10},{1,12,13,8},{14,7,2,11}}
  43. {{4,14,7,9},{15,1,12,6},{10,8,13,3},{5,11,2,16}}
  44. {{4,14,11,5},{15,1,8,10},{6,12,13,3},{9,7,2,16}}
  45. {{5,4,14,11},{16,9,7,2},{3,6,12,13},{10,15,1,8}}
  46. {{5,4,15,10},{16,9,6,3},{2,7,12,13},{11,14,1,8}}
  47. {{6,3,13,12},{15,10,8,1},{4,5,11,14},{9,16,2,7}}
  48. {{6,3,16,9},{15,10,5,4},{1,8,11,14},{12,13,2,7}}
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