九宫格

王守恩

(1)在九宫格里填入1, 2, 3, ..., 9

a1	a3	a6
a2	a5	a8
a4	a7	a9

等和约束改为：
a1+a2+a3=15
a4+a5+a6=15
a7+a8+a9=15
a1+a5+a9=15
a2+a4+a7=15
a3+a6+a8=15
问：有几种不同的填法？通过旋转后相同的只算同一种。

(2) 在（1）的基础上增加：
a2+a5+a8=15
a3+a5+a7=15
后呢？

dlpg070

140?

王守恩

先做(2)。

8个约束中，a1,a4,a6,a9 出现2次，a2,a3,a7,a8 出现3次，a5 出现4次。
而15分解为3个不同的整数之和刚好8组：
15=1+5+9=1+6+8=2+4+9=2+5+8=2+6+7=3+4+8=3+5+7=4+5+6
累计1,3,7,9 出现2次，2,4,6,8 出现3次，5 出现4次。
所以必定1,3,7,9在角，2,4,6,8在边，5占中。
在旋转、反射去重的意义下，只有以下唯一解：

1	8	3
6	5	4
7	2	9

再来做(1)

6个约束中1～9每个数各出现2次。
在上述15的八个3分和式，不含5的4个中，1, 3, 7, 9各出现1次，2, 4, 6, 8各出现2次。
所以含5的4个和式中，只能选取1+5+9和3+5+7。故6个约束的和式集是唯一的。
中间数选定后，四角随定（在旋转、反射去重的意义下），四边亦随定，故共有9解。

538 714 629

486 321 759

495 231 786

273 645 819

183 654 729

192 564 738

243 978 516

153 987 426

162 897 435

王守恩

4×4 方格，填入1, 2, 3, —, 16,

a11	a12	a13	a14
a21	a22	a23	a24
a31	a32	a33	a34
a41	a42	a43	a44

等和约束改为：
a11+a22+a33+a44=34
a12+a23+a34+a41=34
a13+a24+a31+a42=34
a14+a21+a32+a43=34

a11+a23+a31+a43=34
a12+a24+a32+a44=34
a13+a21+a33+a41=34
a14+a22+a34+a42=34

a11+a24+a33+a42=34
a12+a21+a34+a43=34
a13+a22+a31+a44=34
a14+a23+a32+a41=34

a11+a32+a13+a34=34
a12+a33+a14+a31=34
a21+a42+a23+a44=34
a22+a43+a24+a41=34

问：有多少种不同的填法？通过旋转后可重合的只算同一种。

dlpg070

王守恩 发表于 2019-12-29 05:46
4×4 方格，填 16 个数(1——16)。

    a11，a12，a13，a14

有2点没明白：
1  (2)的结果好像不完全满足给定的8个条件 ，
2  (1)比(2)少2个约束条件，似乎不可能是唯一解，请给出具体解.
请再审查

王守恩

dlpg070 发表于 2019-12-29 09:46
有2点没明白：
1  (2)的结果好像不完全满足给定的8个条件 ，
2  (1)比(2)少2个约束条件，似乎不可能是 ...

(2)的答案有2个，2#中的及其镜像（镜像不去重）。
(1)的答案有18个，2#中的及其镜像（镜像不去重）。

dlpg070

王守恩 发表于 2019-12-29 11:35
(2)的答案有2个，……

(1)在旋转对称不去重的条件下，共 得140解。

mathe

https://oeis.org/A006052

chyanog

n阶幻方全解
https://bbs.emath.ac.cn/thread-1098-1-1.html

四阶幻方全生成问题
https://bbs.emath.ac.cn/thread-224-1-1.html

chyanog

王守恩 发表于 2019-12-29 05:46
4×4 方格，填入1, 2, 3, …, 16

http://oeis.org/A027567
这种也叫全对称幻方，穷举很快，4×4的计算量很小，5×5的也只要1秒

1. {{1,8,10,15},{12,13,3,6},{7,2,16,9},{14,11,5,4}}
   
2. {{1,8,10,15},{14,11,5,4},{7,2,16,9},{12,13,3,6}}
   
3. {{1,8,11,14},{12,13,2,7},{6,3,16,9},{15,10,5,4}}
   
4. {{1,8,11,14},{15,10,5,4},{6,3,16,9},{12,13,2,7}}
   
5. {{1,8,13,12},{14,11,2,7},{4,5,16,9},{15,10,3,6}}
   
6. {{1,8,13,12},{15,10,3,6},{4,5,16,9},{14,11,2,7}}
   
7. {{1,12,6,15},{14,7,9,4},{11,2,16,5},{8,13,3,10}}
   
8. {{1,12,7,14},{15,6,9,4},{10,3,16,5},{8,13,2,11}}
   
9. {{1,12,13,8},{14,7,2,11},{4,9,16,5},{15,6,3,10}}
   
10. {{1,12,13,8},{15,6,3,10},{4,9,16,5},{14,7,2,11}}
    
11. {{1,14,7,12},{15,4,9,6},{10,5,16,3},{8,11,2,13}}
    
12. {{1,14,11,8},{15,4,5,10},{6,9,16,3},{12,7,2,13}}
    
13. {{2,7,9,16},{11,14,4,5},{8,1,15,10},{13,12,6,3}}
    
14. {{2,7,9,16},{13,12,6,3},{8,1,15,10},{11,14,4,5}}
    
15. {{2,7,12,13},{11,14,1,8},{5,4,15,10},{16,9,6,3}}
    
16. {{2,7,12,13},{16,9,6,3},{5,4,15,10},{11,14,1,8}}
    
17. {{2,7,14,11},{13,12,1,8},{3,6,15,10},{16,9,4,5}}
    
18. {{2,7,14,11},{16,9,4,5},{3,6,15,10},{13,12,1,8}}
    
19. {{2,11,5,16},{13,8,10,3},{12,1,15,6},{7,14,4,9}}
    
20. {{2,11,8,13},{16,5,10,3},{9,4,15,6},{7,14,1,12}}
    
21. {{2,11,14,7},{13,8,1,12},{3,10,15,6},{16,5,4,9}}
    
22. {{2,11,14,7},{16,5,4,9},{3,10,15,6},{13,8,1,12}}
    
23. {{2,13,8,11},{16,3,10,5},{9,6,15,4},{7,12,1,14}}
    
24. {{2,13,12,7},{16,3,6,9},{5,10,15,4},{11,8,1,14}}
    
25. {{3,6,9,16},{13,12,7,2},{8,1,14,11},{10,15,4,5}}
    
26. {{3,6,12,13},{16,9,7,2},{5,4,14,11},{10,15,1,8}}
    
27. {{3,6,15,10},{13,12,1,8},{2,7,14,11},{16,9,4,5}}
    
28. {{3,6,15,10},{16,9,4,5},{2,7,14,11},{13,12,1,8}}
    
29. {{3,10,5,16},{13,8,11,2},{12,1,14,7},{6,15,4,9}}
    
30. {{3,10,8,13},{16,5,11,2},{9,4,14,7},{6,15,1,12}}
    
31. {{3,10,15,6},{13,8,1,12},{2,11,14,7},{16,5,4,9}}
    
32. {{3,10,15,6},{16,5,4,9},{2,11,14,7},{13,8,1,12}}
    
33. {{3,13,8,10},{16,2,11,5},{9,7,14,4},{6,12,1,15}}
    
34. {{3,13,12,6},{16,2,7,9},{5,11,14,4},{10,8,1,15}}
    
35. {{4,5,10,15},{14,11,8,1},{7,2,13,12},{9,16,3,6}}
    
36. {{4,5,11,14},{15,10,8,1},{6,3,13,12},{9,16,2,7}}
    
37. {{4,5,16,9},{14,11,2,7},{1,8,13,12},{15,10,3,6}}
    
38. {{4,5,16,9},{15,10,3,6},{1,8,13,12},{14,11,2,7}}
    
39. {{4,9,6,15},{14,7,12,1},{11,2,13,8},{5,16,3,10}}
    
40. {{4,9,7,14},{15,6,12,1},{10,3,13,8},{5,16,2,11}}
    
41. {{4,9,16,5},{14,7,2,11},{1,12,13,8},{15,6,3,10}}
    
42. {{4,9,16,5},{15,6,3,10},{1,12,13,8},{14,7,2,11}}
    
43. {{4,14,7,9},{15,1,12,6},{10,8,13,3},{5,11,2,16}}
    
44. {{4,14,11,5},{15,1,8,10},{6,12,13,3},{9,7,2,16}}
    
45. {{5,4,14,11},{16,9,7,2},{3,6,12,13},{10,15,1,8}}
    
46. {{5,4,15,10},{16,9,6,3},{2,7,12,13},{11,14,1,8}}
    
47. {{6,3,13,12},{15,10,8,1},{4,5,11,14},{9,16,2,7}}
    
48. {{6,3,16,9},{15,10,5,4},{1,8,11,14},{12,13,2,7}}

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