求方程32(x^2+y^2+z^2)=17(x+y+z)^2的本原解

northwolves

求丢番图方程$$32(x^2+y^2+z^2)=17(x+y+z)^2$$在 $1≤x≤y≤z≤10^n$以内的本原解数量`f(n)`.  所谓本原解，即要求`\gcd(x,y,z)=1`.

类似问题十年前曾讨论过一个 ：求方程的互质解

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已解得方程的本原解为\[\begin{cases}x=2ab+5b^2\\y=3a^2-2ab\\z=5a^2+8ab+3b^2\\\end{cases}\gcd(a,b)=1\]那么
1、怎样遍历$(a,b)$来计数 $1≤x≤y≤z≤10^n $内的解?
2、如何计算全部解的和$S(n)=\sum8(a^2+ab+b^2)$?

容易确定\[\begin{split}1<&=a<=\frac{\sqrt{1+5·10^n}-1}{5}\\1<&=b<=\frac{(\sqrt{19}+3)}{2}a\end{split}\]

mathe

根据通解容易判断不存在$x=y$解。
其次，`(-a,-b)`和`(a,b)`对应的`(x,y,z)`是相等的，我们不妨只考虑`a>0`的情况。

先不考虑`x,y`的大小顺序和符号，那就是双曲线$5a^2+8ab+3b^2\le10^n$内部坐标互素的整数点`(a,b)`的数目。
然后将范围划至$0 \lt x \lt y \lt z$，也就是$0 \lt 2ab+5b^2 \lt 3a^2-2ab \lt 5a^2+8ab+3b^2$
二元齐次式都可以分解为两个一次因式之积，故所划范围都是直线边界，也就是
\(\begin{cases} \frac ba\gt 0 或 \frac ba\lt -0.4\\
-1.2717797887081\lt \frac ba \lt 0.471779788708\\
\frac ba\gt-0.2137003521531或\frac ba \lt -3.1196329811802
\end{cases}\)
得到结果为
\(0 \lt \frac ba \lt 0.471779788708\)

如上图，红色曲线代表$5a^2+8ab+3b^2=10^3$对应的曲线，所以红绿黄三色曲线包围的部分就是所求的范围。
由于改变N的大小相当于相似放缩图像，所以不管N是多少，对应图像的形状都是一样的，我们只需要分析其中第一象限部分互素的(a,b)的数目。
看图形可以看出枚举b比枚举a更加容易，然后对于给定的b,我们可以轻易求出对应的a的上界和下界，然后因子分解b,根据b的素因子的情况淘汰掉其中和b不互素的候选a数目，最后累加即可。
其中交点坐标\(a=\sqrt{\frac{10^n}{9.4419668167655543785054198219227695382}}, b=\sqrt{\frac{10^n}{42.421283723976626255380800809980343222}}\)

至于第2问中`S(n)`, 对于每个给定的`b`, 在上下界内让`a`遍历`kb+Z_b^*`(`b`的最小简余系），就可以把所有互素对`(a,b)`对应的和$8(a^2+ab+b^2)$计算出来。

最后遍历`b`, 把这些和累加即可。

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$0 \lt 2ab+5b^2 \lt 3a^2-2ab$加上这个条件似乎有漏解的可能，如:
a=1 b=1 [7, 1, 16]
a=2 b=1 [9, 8, 39]
a=3 b=1 [11, 21, 72]
a=3 b=2 [32, 15, 105]
a=3 b=4 [104, 3, 189]
a=4 b=1 [13, 40, 115]
a=4 b=3 [69, 24, 203]
a=4 b=5 [165, 8, 315]
a=5 b=1 [15, 65, 168]
a=5 b=2 [40, 55, 217]
a=5 b=3 [75, 45, 272]
a=5 b=4 [120, 35, 333]

wayne

如果设$x^2+17xy+y^2=c^2,z^2+17zx+x^2=b^2,y^2+17yz+z^2=a^2$，那么容易得到$19(x^2+y^2+z^2)=2(a^2+b^2+c^2)$, 且 $17(x+y+z) =8(c+4z)=8(b+4y) =8(a+4x)$
能表达成三个数平方和的

wayne

其实，直接开干就行。 最重要的算法是 将一个数表示成三个数的平方和。 $x^2+y^2+z^2=34t^2$ 对于任意的$t>1$的整数, 总是有符合$x+y+z=8t$的整数解。
过滤一下，发现对于奇数的$t$, 正整数解总存在。同时，对于偶数不存在正整数解。

1. ans=Table[{i,Select[Select[PowersRepresentations[34i^2,3,2],Min[#]>0&],GCD@@#==1&&Mod[Total[#],8]==0&]},{i,500}]

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以下只列出$x^2+y^2+z^2<=34*1400^2$所有本原解

1. {3,{{1,7,16}}}
   
2. {7,{{8,9,39}}}
   
3. {13,{{11,21,72}}}
   
4. {19,{{15,32,105}}}
   
5. {21,{{13,40,115}}}
   
6. {31,{{15,65,168}}}
   
7. {37,{{3,104,189},{24,69,203}}}
   
8. {39,{{40,55,217}}}
   
9. {43,{{17,96,231}}}
   
10. {49,{{45,75,272}}}
    
11. {61,{{8,165,315},{35,120,333}}}
    
12. {67,{{48,119,369}}}
    
13. {73,{{21,176,387}}}
    
14. {79,{{87,105,440}}}
    
15. {91,{{15,240,473},{23,225,480},{48,185,495}}}
    
16. {93,{{91,136,517}}}
    
17. {97,{{93,144,539}}}
    

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1. For[i=1009,i<10^5,i=i+2,ans=Select[Select[PowersRepresentations[34i^2,3,2],Min[#]>0&],GCD@@#==1&&32Total[#^2]-17Total[#]^2==0&];If[Length[ans]>0,Print[{i,ans}]]]

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wayne

参考 链接 https://mathworld.wolfram.com/DiophantineEquation2ndPowers.html
计算$a x^2+b x y+cy^2=Z^2$的正整数解。根据初始解${m,n,p}$,可以产生全部的解： $x = (a m+b n)u^2+2c n u v-c m v^2,  y =  -a n u^2+2a m u v+(b m+c n)v^2,  Z= p(a u^2+b u v+c v^2)$

取${a,b,c, m,n,p}={1,17,1,-7, -1, 13}$,得到参数解,经检验， 能覆盖楼上的全部整数解(包括本征解)： $ x=(2 u - v) (12 u + 7 v),  y= (20 v - u) (u + 6 v),  z= (3 u + 5 v) (11 u + 27 v)$， 这里的 $u,v$取任意整数值。

取${a,b,c, m,n,p}={1,17,1,1, 16, 23}$,得到参数解： $ x=(39 u-v) (7 u+v),  y= (3 v-2 u) (8 u+11 v),  z= (31 u-12 v) (9 u-2 v)$， 这里的 $u,v$取任意整数值。

王守恩

Solve[{(x^2+y^2+z^2)/(x+y+z)^2=17/32,0<x<y<z,GCD[x,y,z]=1},{x,y,z},Integers]

好像是这样：
x=1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,..有解。
x=8,16,24,32,40,48,56,64,72,...有解。

mathe

$x^2+17xy+y^2=w^2$
于是
$(2x+17y)^2-285y^2=4w^2$
得到
$(2x+17y-2w)(2x+17y+2w)=285y^2$
其中我们要分析$2x+17y-2w,2x+17y+2w$两者可能的最大公因子，通常很小，最好互素
然后两者除了公因子和285的因子，余下部分是一个平方数。我们需要穷举所有这些情况。

首先根据(x,y,z)=1, $32(x^2+y^2+z^2)=17(x+y+z)^2$
设$d=(x,y)$, 我们得出$d|32z^2-17z^2=5z^2$,所以得出$(x,y) |5$

而对于方程$x^2+17xy+y^2=w^2$中x,y互素的解，我们可以得出$(2x+17y-2w,2x+17y+2w)|(2x+17y+2w)-(2x+17y-2w)=4w$
另外$(2x+17y,w)|(2x+17y,w^2)=(2x+17y,x^2+17xy+y^2)=(2x+17y,y^2-x^2)$
$(2x+17y,x+y)=(15y,x+y)=(15,x+y)|15$
$(2x+17y,x-y)=(19y,x-y)|19$
所以得出$(2x+17y-2w,2x+17y+2w)|15\times 19\times 4$
所以得出
$2x+17y-2w$和$2x+17y-2w$
都是一个完全平方数乘上一个570的因子，也就是
\(\begin{cases}2x+17y-2w=a u^2\\ 2x+17y+2w = b v^2\\ a|570\\b|570\\ ab=285 s^2\\
   y=u v s \end{cases}\)
即
\(\begin{cases}w=\frac{b v^2 - a u^2}4\\
  y=u v s \\
x=\frac{b v^2 + a u^2-34u v s}4\\ a|570\\b|570\\ ab=285 s^2
\end{cases}\)

比如取a=15,b=19
可以得出一种情况
\(\begin{cases}x=\frac{15 u^2+19v^2-34uv}4\\ w = \frac{19 v^2-15u^2}4\\
   y=u v  \end{cases}\)

northwolves

wayne 发表于 2022-5-12 01:08
参考 链接 https://mathworld.wolfram.com/DiophantineEquation2ndPowers.html
计算$a x^2+b x y+cy^2=Z^2 ...

这两组参数解是等价的还是互为补充的？