求方程32(x^2+y^2+z^2)=17(x+y+z)^2的本原解

northwolves

mathe 发表于 2022-5-12 09:54
$x^2+17xy+y^2=w^2$
于是
$(2x+17y)^2-285y^2=4w^2$

1140的因子有24个：

1
2
3
4
5
6
10
12
15
19
20
30
38
57
60
76
95
114
190
228
285
380
570
1140

这些解之间理论上有不少重复

mathe

$32(x^2+y^2+z^2)=17(x+y+z)^2$
即$15z^2-34(x+y)z+32(x^2+y^2)-17(x+y)^2=0$
得出$z=\frac{17(x+y)\pm8\sqrt{x^2+17xy+y^2}}{15}$
由$0\le x\le y\le z$得出$z=\frac{17(x+y)+8\sqrt{x^2+17xy+y^2}}{15}$
而且$x^2+17xy+y^2$必须是完全平方数，设$w^2=x^2+17xy+y^2$
前面分析已经得出$5|(x,y)$,
我们可以先仅求$(x,y)=1$时$w^2=x^2+17xy+y^2$的解，而且要求$x,y,w$都是正整数。
对于所有这样的解，x,y同时乘上5就可以得出(x,y)=5的解。

前面分析已经得出
\(\begin{cases}2x+17y-2w=a u^2\\ 2x+17y+2w = b v^2\\ a|570\\b|570\\ ab=285 s^2\\
   y=u v s \end{cases}\)
即
\(\begin{cases}w=\frac{b v^2 - a u^2}4\\
  y=u v s \\
x=\frac{b v^2 + a u^2-34u v s}4\\ a|570\\b|570\\ ab=285 s^2
\end{cases}\)
上面表达式中我们要求a,b都不包含任何素数的平方项，这样给定x,y,w以后,a,b,u,v就可以唯一确定，而且a,b,u,v都是正整数。
那么a,b的选择总共只有16种，要么两者都是奇数，乘积285,s=1；要么两者都是偶数，乘积1140，s=2.

其中由于$2x+17y+2w \gt 0$, 所以只能$2x+17y-2w\gt 0$, 所以上面分析过程中a,b必然也是正整数而且是570的因子。
由于数目有些多，我们需要设计一种适合计算机分析的方案。
由于$(u,b v^2 + a u^2-34u v s)=(u,bv^2)， (v,bv^2+au^2-34uvs)=(v,au^2)$
而我们要求(x,y)=1, 所以$(y,4x)|4$, 所以要求$(u,bv^2)|4, (v,au^2)|4$, 所以$(u,v)|4$, 但是(u,v)是4的倍数代入显然不符合要求，所以$(u,v)|2$.

我们需要让计算机分析对于给定的a,b,那些u,v可以使得(x,y)=1.
我们首先要求x是整数，所以$4|b v^2 + a u^2-34u v s$, 这个只要穷举u,v模4的所有可能即可。
另外由于我们只考虑$(u,v)=2$的情况，所以$(u,b v^2 + a u^2-34u v s)=(u,bv^2)|4b$, $(v,bv^2+au^2-34uvs)=(v,au^2)|4a$
所以穷举过程中产生的x,y最大公因子不超过16abs, 我们最大情况只要穷举u,v关于模64abs的所有同余项，找出在这个同余情况下计算得出x必须是整数，而且x,y同余16abs后的余数的公因子不能是16abs的因子，找出所有的这些选项，就是候选所有可选的u,v,分别表示为\(u=u_i \pmod {64 a b s}, v=v_i \pmod {64 abs}\)形式。
得到这些候选解后，我们可以将$u=u_i + 64abs m, v=v_i+64abs n$代入，分别计算出x,y,w,z关于m,n的表达式。
而计算过程中还需要判断z是否是15的倍数，如果不是15的倍数但是是3的倍数，可以将x,y,z同时再乘上5得到一种候选解。
但是由于上面得出的z表达式中，是m,n的二次多项式，有可能根据系数不能判断是否是15的倍数，我们可以再根据m,n关于15的模进行分类，共225类，每类分别判断是否是15的倍数，或3的倍数但不是5的倍数。同样对于各分类可以写成形如$m=15m'+m_i$等形式
经过上面两轮刷选后，我们会得出一批x,y,z表示为$m',n'$的二次多项式的表达式。
需要注意的是上面方案中已经确保了不同分类之间求出的解互不相同(交换x,y被看成不同的解)，唯一需要检查的就是u,v都是正整数，而且x大于0，z不超过给定范围。
至于x小于y的约束我们可以考虑进去，也可以不考虑，最后总结过除以2.

mathe

比如在$a=6,b=190, s=2, y=2uv, x=(190v^2+6u^2-68uv)/4=(95v^2+3u^2)/2-17uv$,
我们先穷举u,v模4的情况，显然两周都是偶数，那么x=0(mod 2), y=0(mod 2),不符合x,y互素的要求，同样u,v都是奇数时也得出x是偶数，同x,y互素矛盾。而x,y奇偶不同的情况得出x不是整数淘汰。当然计算机计算需要穷举u,v模4所有情况。
类似计算可以发现由于285的两个因子相加必然模4余2，所有s=2的方案必然对应x和y同时是偶数，所以可以淘汰，我们只需要分析8中s=1的情况。
即
\(\begin{cases}w=\frac{b v^2 - a u^2}4\\
  y=u v  \\
x=\frac{b v^2 + a u^2-34u v }4\\
z=\frac5{12}v^2 b -\frac{17}2 uv + \frac3{20}u^2a \\
\\  ab=285
\end{cases}\)
其中显然要求u,v同时为奇数，而这时x,y必然互素，余下还需要判断z的情况，要求z为整数或者5z为整数（这时x,y,z都乘以5），但是5z不是5的倍数。
(x,y)=1的条件表明要求(u,v)=1,(b,u)=1,(a,v)=1.
在此条件下得出的x,y必然互素。由于要求z或5z必须是整数，所以再要求$3|v^2b$，即$3|v b$
另外我们需要添加条件$x\gt 0$,等价于$v \gt 19/b u \gt 0$ 或 $0\lt v \lt 15/b u$.
上面方法求出的所有解不区分x,y的大小，所以所有结果总数需要除以2.

creasson

这个二次曲面的有理解为：
\[\left\{ \begin{array}{l}
x = \frac{{(1 + 3u)(3 + 5u)}}{{{u^2} + v}} \\
y = \frac{{4u(1 + 8u)}}{{{u^2} + v}} \\
z = \frac{{(1 + 5u)(5 + 21u)}}{{{u^2} + v}} \\
\end{array} \right.\]

creasson

简述下参数化过程：
在二次曲面上选取四个整点A,B,C,D, 则曲面上的点P可表示为: $ P = \alpha A + \beta B + \gamma C + \delta D $, 二次曲面方程可转化为重心坐标方程：
\[{\lambda _{12}}\alpha \beta  + {\lambda _{13}}\alpha \gamma  + {\lambda _{14}}\alpha \delta  + {\lambda _{23}}\beta \gamma  + {\lambda _{24}}\beta \delta  + {\lambda _{34}}\gamma \delta  = 0\]
则P点可有理参数化表示为：
\[P = \frac{{{\lambda _{24}}{\lambda _{34}}(1 - u - v) \cdot A + {\lambda _{14}}{\lambda _{34}}u \cdot B + {\lambda _{14}}{\lambda _{24}}v \cdot C - \left( {({\lambda _{12}}{\lambda _{34}}u + {\lambda _{13}}{\lambda _{24}}v)(1 - u - v) + {\lambda _{14}}{\lambda _{23}}uv} \right) \cdot D}}{{{\lambda _{24}}{\lambda _{34}}(1 - u - v) + {\lambda _{14}}{\lambda _{34}}u + {\lambda _{14}}{\lambda _{24}}v - ({\lambda _{12}}{\lambda _{34}}u + {\lambda _{13}}{\lambda _{24}}v)(1 - u - v) - {\lambda _{14}}{\lambda _{23}}uv}}\]

hujunhua

记`σ=x+y+z`,先把方程变形为\[
\left(\frac xσ\right)^2+\left(\frac yσ\right)^2+\left(\frac zσ\right)^2=\frac{17}{32}\tag1
\]Let $x_1=x/σ-1/3,y_1=y/σ-1/3,z_1=z/σ-1/3$，注意到`x_1+y_1+z_1=0`, 原方程可以化为\[
x_1^2+y_1^2+z_1^2=\frac{19}{96}\\x_1^2+x_1y_1+y_1^2=\frac{19}{192}
\]然后令$Z_1=x_1-y_1ω$（`ω`为3次单位根）,上式可分解为\[
Z_1·\overline{Z_1}=\frac{19}{192}\tag2
\]注意到$19/192=\frac{8+ω}{24}·\frac{8+\bar ω}{24}$, 所以上述有理域`Q(ω)`上的方程有一个简明的通解公式\[
Z_1=\frac{8+ω}{24}·\frac{a+bω}{a+b\bar ω}\tag3
\]由此应该可以导出原方程的一种通解公式。

wayne

creasson 发表于 2022-5-13 09:25
这个二次曲面的有理解为：
\[\left\{ \begin{array}{l}
x = \frac{{(1 + 3u)(3 + 5u)}}{{{u^2} + v}} \\ ...

\[\left\{ \begin{array}{l}
x = \frac{{(1 + 3u)(3 + 5u)}}{{{u^2} + v}} \\
y = \frac{{4u(1 + 8u)}}{{{u^2} + v}} \\
z = \frac{{(1 + 5u)(5 + 21u)}}{{{u^2} + v}} \\
\end{array} \right.\]

根据这个表达式,去掉分母,将u换成分数,得到:

\[\left\{ \begin{array}{l}
x = (n + 3 m) (3 n + 5 m) \\
y =4 m (n + 8 m) \\
z =(n + 5 m) (5 n + 21 m) \\
\end{array} \right.\]

mathe

hujunhua的方法的通解为
\[\begin{cases}
x=(2a-b)(8a-b)\\
y=(7a-8b)(a-2b)\\
z=(a+b)(a+7b)
\end{cases},\ \ (a,b)=1, a\ge 0\]根据$0\lt x \lt y \lt z$  应该可以得出    $1.2717... \lt b/a \lt 2$
其中小数是以下方程的根：$$5X^2-4X-3=0$$
记`\gcd(x,y,z)=m`, 由\[\begin{cases}
(2a-b)(8a-b)&=16a^2-10ab+b^2&\equiv0\pmod{m}\\
(7a-8b)(a-2b)&=7a^2-22ab+16b^2&\equiv0\pmod{m}\\
(a+b)(a+7b)&=a^2+8ab+7b^2&\equiv0\pmod{m}
\end{cases}\] 按变元表`a^2,ab,b^2`消去两个元可得`684a^2\equiv684b^2\equiv1368ab\equiv0\pmod{m}`
由`\gcd(x,y,z)\equiv\gcd(b,a,a+b)\equiv1\pmod2`可知`m|171`.
由\(\begin{cases}
16a^2-10ab+b^2&\equiv(4a+\ \ b)^2\pmod{9}\\
7a^2-22ab+16b^2&\equiv(4a+4b)^2\pmod{9}\\
a^2+8ab+7b^2&\equiv(\ \ a+4b)^2\pmod{9}
\end{cases}\)知要么`3\nmid m`,要么 `9|m`
所以`m\in\{1,9,19,171\}`.

creasson

@wayne 没漏啊

mathe

18#的方案现在已经可以用计算来解决了，
通过使用计算机穷举，发现18#公式得出的(x,y,z)只能是1,9,19,171四者之一。
最简单的方案就是穷举a,b关于171的余数，
对于每种$a=171m+a_i, b=171n+b_i$,我们可以计算出这种模式(x,y,z)的值
比如$a_i=1,b_i=2$时,(x,y,z)=9，然后就可以类似前面3#方案批量处理了。