求方程32(x^2+y^2+z^2)=17(x+y+z)^2的本原解

creasson

1. T1 = Table[s*i/j, {s, -1, 1}, {i, 0, 1000}, {j, 1, 1000}] // Flatten // Union // Sort;
   
2. T2 = (#/GCD @@ #) & /@ ({(1 + 3 u) (3 + 5 u), 4 u (1 + 8 u), (1 + 5 u) (5 + 21 u)} /. ({u -> #} & /@ T1));
   
3. T3 = (Sort[#] & /@ T2) // Union;
   
4. T4 = Select[T3, #[[1]] > 0 && #[[2]] > 0 && #[[3]] > 0 &]

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hujunhua

mathe 发表于 2022-5-13 11:53
hujunhua的方法的通解为
\(\begin{cases}
x=(2a-b)(8a-b)\\

由16#的方法先得到的是有理解\[\begin{cases}
\D\frac{x}{σ}=\frac{(2a-b)(8a-b)}{24(a^2-ab+b^2)}\\
\D\frac{y}{σ}=\frac{(7a-8b)(a-2b)}{24(a^2-ab+b^2)}\\
\D\frac{z}{σ}=\frac{(a+b)(a+7b)}{24(a^2-ab+b^2)}
\end{cases}\]直接取右边的分子作为`x,y,z`的互质解,需要它们与分母互素，但这在`3|a+b`时显然不满足。
因为这时原先的`\D\frac{a+bω}{a+b\bar ω}`就不是既约分数，分子分母有公因子`ρ=(1-ω)`.
考虑到 `\gcd(a+bω,a+b\barω)|ρ·\gcd(a,b)`,故在`\gcd(a,b)=1`时，那是唯一的例外情况。
在这种情况下，我们设`a+bω=ρ(a'+b'ω)\to a=a'+b',b=2b'-a'`,代入上式得\[\begin{cases}
\D\frac{x}{σ}=\frac{a'(3a'+2b')}{8(a'^2-a'b'+b'^2)}\\
\D\frac{y}{σ}=\frac{(5a'-3b')(a'-b')}{8(a'^2-a'b'+b'^2)}\\
\D\frac{z}{σ}=\frac{b'(5b'-2a')}{8(a'^2-a'b'+b'^2)}
\end{cases}\]取其右边的分子（去掉 ' 号），便得到遗漏的解\[\begin{cases}
x=a(3a+2b)\\
y=(5a-3b)(a-b)\\
z=b(5b-2a)
\end{cases}，\gcd(a,b)=1,3\nmid a+b\]这正是2#的那个解 (把 `b` 取相反数）。

hujunhua

有没有可能还漏了`(3-2ω)|a+bω`的情况，还需要验算。

王守恩

王守恩 发表于 2022-5-12 09:20
Solve[{(x^2+y^2+z^2)/(x+y+z)^2=17/32,0

三个数,总有一个数是8的倍数，不妨记x=8k，方程(x^2+y^2+z^2)/(x+y+z)^2=17/32的本原解就完整了。

Table[Solve[{(x^2+y^2+z^2)/(x+y+z)^2=17/32,x=8k,0<y<z,GCD[x,y,z]=1},{x,y,z},Integers],{k,1,n}]

northwolves

hujunhua 发表于 2022-5-13 17:34
由16#的方法先得到的是\[\begin{cases}
\D\frac{x}{x+y+z}=\frac{(2a-b)(8a-b)}{24(a^2-ab+b^2)}\\
\ ...

学习了！

hujunhua

（待续……）

mathe

16#的方案应该没有漏解，只是如何表达的问题。
hujunhua的映射`(x,y,z)\to(x_1,y_1)`给出了三维整数集合到二维有理数集合的一一映射关系（除了`x+y+z=0`被映射到无穷远点的特殊情况）。
由于\(Z_1\cdot\bar{Z_1}=\frac{19}{192}\)，其中\(Z_1=x_1-\omega y_1\). 定义\(W=Z_1\cdot \frac{24}{8+\omega}=Z_1\cdot \frac{8(8+\bar{\omega})}{19}\)
所以`W`也可以写成$A+B\omega$的形式，其中`A,B`都是有理数，而且\(W\cdot\overline{W}=1\)
我们只要求出所有的`W`，反代回去就可以求出`(x,y,z)`的所有整数解。

hujunhua

mathe 发表于 2022-5-14 09:46
16#的方案应该没有漏解，只是如何表达的问题。
hujunhua的映射(x,y,z)->(X,Y)给出了三维整数集合到二维有 ...

`W·\bar W=1`的有理解是 \[\D W=±\frac{a+bω}{a+b\bar ω},\gcd(a,b)=1,3\nmid(a+b)\tag1\]
16#漏了带负号的解，可能会造成漏解。
记$Z=\frac{x-yω}{x+y+z}$,则\[
Z=Z_1+ρ/3=\frac{8+ω}{24}W+\fracρ3\tag2
\] 由于`(1)`式中`W`所带的`±`符号没有同步出现在`(2)`式的`ρ/3`项，所以`±`的不同选择应会导致不同的参数解。

而且，`W·\bar W=1`的全部有理解包括\[\D W=ε_i\frac{a+bω}{a+b\bar ω},\gcd(a,b)=1,3\nmid(a+b)\tag3
\]这里`ε_i∈\{1,ω,\barω,-1,-ω,-\barω\}`（*`Z(ω)`的单位元集*）.
只是由于$ω=\barω/ω,\barω=ω/\barω$，故当`ε_i=±ω,±\barω`时，`W`仍然可以化归(1)式形式，可见(1)式不失一般性，`ε_i=±ω,±\barω`可以不予考虑。

即使18#的公式用消除公因子的方法是包含全解的，但是引入`-W`得到新的参数解（22#的公式），或者可从代数上消除公因子。

mathe

现在我们可以穷举a,然后对于每个a,限定$\frac{2+\sqrt{19}}5a\lt b \lt 2a$,选定整数b的范围。
另外我们需要确定需要穷举的a的范围，
由于
\(z=\begin{cases}\frac{(a+b)(a+7b)}{171}&57 | b-8a \\
\frac{(a+b)(a+7b)}{19}&\text{elsif }19|b-8a\\
\frac{(a+b)(a+7b)}{9}&\text{elsif } 3|b-8a\\
  (a+b)(a+7b) & \text{else }\end{cases}\)
最大穷举范围为
$\frac{(1+h)(1+7h)a^2}{171} \lt 10^n$, 其中$h=\frac{2+\sqrt{19}}5=1.2717797887081347104473963967719231318$
同样，我们需要对于范围内每个a,除了使用不等式$\frac{2+\sqrt{19}}5a\lt b \lt 2a$限定b的范围以外，还需要用上面z表达式中的表达式让它不超过$10^n$得出四个不同的b的限定范围
比如我们选择n=3, 于是需要穷举的a的最小值为1，最大值为87。
比如选择a=50, 我们首先根据$\frac{2+\sqrt{19}}5a\lt b \lt 2a$，得出$64 \le b \le 99$
另外$z=\frac{(a+b)(a+7b)}{171} \le 1000$ 要求$b\le 129$,
$z=\frac{(a+b)(a+7b)}{19} \le 1000$要求$b\le 27$
$z=\frac{(a+b)(a+7b)}{9} \le 1000$要求$b\le 13$
$z=(a+b)(a+7b) \le 1000$要求$b\le -5$
所以可以判断出上面范围$40 \le b \le 99$我们只需要判断57 | b-8a场景，没有大于64的解。

但是如果选择a=10, 我们首先根据$\frac{2+\sqrt{19}}5a\lt b \lt 2a$，得出$13 \le b \le 19$
另外$z=\frac{(a+b)(a+7b)}{171} \le 1000$ 要求$b\le 150$,
$z=\frac{(a+b)(a+7b)}{19} \le 1000$要求$b\le 46$
$z=\frac{(a+b)(a+7b)}{9} \le 1000$要求$b\le 30$
$z=(a+b)(a+7b) \le 1000$要求$b\le -5$要求$b\le6$
所以第一类要求$b -=80 -=23 (mod 57)$,没有符合要求的解
第二类要求$b -= 80 -=4 (mod 19)$, 也没有符号要求的解
第三类要求$ b -= 80 -= 2 (mod 3)$, 有14,17 （但是由于(a,b)=1的要求淘汰14）
    比如a=10,b=17,得出x=21,y=176,z=387
第四类由于要求$b\le 6$对应无解。

wayne

hujunhua 发表于 2022-5-14 10:00
`W·\bar W=1`的有理解是 \[\D W=±\frac{a+bω}{a+b\bar ω},\gcd(a,b)=1,3\nmid(a+b)\]16#漏了 ...

16#漏的不仅是`-W`，还漏掉了$19/192=c/24·\bar c/24$的其它分解。
事实上，$57=c·\bar c$有6种分解，`c\in\begin{Bmatrix}8+ω,&-1+7ω,&-7-8ω,&-8-ω,&1-7ω,&7+8ω\\7-ω,&1+8ω,&-8-7ω,&-7+ω,&-1-8ω,&8+7ω\end{Bmatrix}`(上下两行共扼对应）
这也是由于`ε_i`有6个单位元可选的缘故。即使如上所述可忽略`±ω,±\barω`, 再整体考虑`cW`的符号随`W`而`c`的符号不变，`c`仍然有`c,\bar c`两选。

所以`\D Z·\bar Z=\frac{19}{192}`可取4解：$Z=±(8+ω)/24W,±(7-ω)/24W$, 其对应解见下表

`Z`	`x`	`y`	`z`
$Z=(8+ω)/24W$	`(2a-b)(8a-b)`	`(a-2b)(7a-8b)`	`(a+b)(a+7b)`
$Z=-(8+ω)/24W$	`b(5b-2a)`	`a(3a+2b)`	`(a-b)(5a-3b)`
$Z=(7-ω)/24W$	`a(5a-2b)`	`(a-b)(3a-5b)`	`b(2a+3b)`
$Z=-(7-ω)/24W$	`(a-2b)(a-8b)`	`(a+b)(7a+b)`	`(2a-b)(8a-7b)`