求方程32(x^2+y^2+z^2)=17(x+y+z)^2的本原解

hujunhua

从30#的表来看，参数解就两个了。对于每个解`(x,y,z)`,它的6个排列当然也是解，这就是那些被忽略的`ε_i`所对应的公式了。
两个参数解，每个有6个排列，共是12个参数解，怎么取舍呢？
如果以${x,y,z}$来表示方程的无序解，那么这12个参数解还是归结为2个。
考虑其中一个与另一个的6种排列有重合解的条件后，我们得到方程的无重无漏的本原解如下：\[
\begin{cases}x\\y\\z\end{cases}=\begin{cases}
(2a-b) (8a\ -\ b)\\(a-2b) (7a-8b)\\(a\ +\ b) (\ a\ +7 b)\end{cases}
,
\begin{cases}\ \ \ \ \ \ \ b·(5b-2a)\\(a-b)(5a-3b)\\\ \ \ \ \ \ \ a·(3a+2b)
\end{cases},\text{as}\begin{cases}b≥a>0\\\gcd(a,b)=1\\\ \ 3\nmid a+b\\19\nmid a+7b\end{cases}\ \ \
\]

hujunhua

上述所谓无重，是指前后两个公式之间在所给过滤条件下无重合解，但是，如果突破`b>a>0`的范围，同一个公式自身的每个解会重复出现3次。重复变换是
\[\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}(a,b)=\begin{bmatrix}y\\z\\x\end{bmatrix}(b,b-a)=\begin{bmatrix}z\\x\\y\end{bmatrix}(a-b,a)\]这是因为$(a+bω)/(a+b\barω)=ω(b+(b-a)ω)/(b+(b-a)\barω)=\barω((a-b)+aω)/((a-b)+a\barω)$.

如果再加上`(a,b)`可取`(-a,-b)`而不变的重复，那就是旋转6次重复。

hujunhua

消除旋转6次重复的方法是保持`0<a<b`.
1、保持`a>0`, 可以消除乘以`-1`的重复。
2、对于`0<a<b`本身, 其余5个：(-a,-b),(b,b-a),(a-b,a),(-b,a-b),(b-a,-a)都不满足`0<#1<#2`的要求。
3、若`0<b<a`, 6个只有`(a-b,a)`满足`0<#1<#2`的要求。
4、若`a>0>b`, 6个只有`(-b,a-b)`满足`0<#1<#2`的要求。

在`0<a<b`的前提下，
${(2a-b) (8a-b),(a-2b) (7a-8b),(a+b) (a+7b)}$取正的区间是`b\in(a,2a)∪(8a,∞)`,
${b·(5b-2a),(a-b)(5a-3b),a·(3a+2b)}$取正的区间是$b\in(5/3a,∞)$

题目要求`1<x<y<z`无非是为了消除置换重复，我们在以上区间已经达到这一要求，所以不再需要`1<x<y<z`的条件。
于是`z<10^n`的范围在无序解的情况下变为`\max(x,y,z)<10^n`,即`x<10^n ∧ y<10^n∧z<10^n`。由此可以确定`(a,b)`的计数区域。

hujunhua

方程中既然出现了`x^2+y^2+z^2`和`x+y+z`的组合，我觉得把上限范围定为`x^2+y^2+z^2 <N`或者`x+y+z<N`更为美观，计算起来简单一些，结果应该也要好看一些。

mathe

我觉得差不多，由于x,y,z不会相等，限制$0\le x \le y\le z\lt N$相当于$max{x,y,z}\lt N$

hujunhua

我们岂不是可以从31#的结果反推出5#和9#的丢番图方程的解来？：\[x^2+17xy+y^2=z^2\]

No.	`x`	`y`	`z`
1	`(2a-b)(8a-b)`	`(a-2b)(7a-8b)`	`|47a^2-83ab+23b^2|`
2	`(a-2b)(7a-8b)`	`(a+b)(a+7b)`	`|13a^2+11ab-47b^2|`
3	`(a+b)(a+7b)`	`(2a-b)(8a-b)`	`|23a^2+37ab-13b^2|`
4	`b(5b-2a)`	`(a-b)(5a-3b)`	`|5a^2-25ab+17b^2|`
5	`(a-b)(5a-3b)`	`a(3a+2b)`	`|-17a^2+9ab+3b^2|`
6	`a(3a+2b)`	`b(5b-2a)`	`|-3a^2+15ab+5b^2|`

`0<a<b, \gcd(a,b)=1, 3\nmid(a+b),19\nmid(a+7b)`
可是这也太多了吧，怎么取舍、合并呢？

王守恩

王守恩 发表于 2022-5-13 18:53
三个数,总有一个数是8的倍数，不妨记x=8k，方程(x^2+y^2+z^2)/(x+y+z)^2=17/32的本原解就完整了。

Tab ...

Table[Solve[{\(\frac{x^2+y^2+z^2}{(x+y+z)^2}=\frac{a^2+b^2}{(a+b)^2}\),x=k,x<y<z,GCD[x,y,z]=1},{x,y,z},Integers],{k,1,n}]

解方程可以遍历本原解(没问题)，困惑的是这些解好像与\(\frac{a^2+b^2}{(a+b)^2}\)有关联？

譬如：主帖\(\ \frac{17}{32}=\frac{a^2+b^2}{(a+b)^2}=\frac{5^2+3^2}{(5+3)^2}\)

主帖本原解=1,3,5,7,9,11,.....间隔是5-3=2

譬如：\(\frac{29}{49}=\frac{a^2+b^2}{(a+b)^2}=\frac{5^2+2^2}{(5+2)^2}\)

本原解=2,5,8,11,14,17,20,.....间隔是5-2=3

譬如：\(\frac{37}{49}=\frac{a^2+b^2}{(a+b)^2}=\frac{6^2+1^2}{(6+1)^2}\)

本原解=6,11,16,21,26,31,.....间隔是6-1=5

王守恩

王守恩 发表于 2022-5-21 10:53
Table[Solve[{\(\frac{x^2+y^2+z^2}{(x+y+z)^2}=\frac{a^2+b^2}{(a+b)^2}\),x=k,x

若 \(x,y,n\) 是整数, \(\D\gcd(x,y)=1,\ \ \frac{x^2+y^2+n+1}{\ (x+y+n-1)^2\ }=\frac{n-2}{n+2}\) 有解吗？

若 \(x,y,n\) 是正整数, \(\D\gcd(x,y)=1,\ \ \frac{x^2+y^2+n+1}{\ (x+y+n-1)^2\ }=\frac{n-2}{n+2}\) 有解吗？

wayne

hujunhua 发表于 2022-5-20 20:54
我们岂不是可以从31#的结果反推出5#和9#的丢番图方程的解来？：\[x^2+17xy+y^2=z^2\]

多项式 和 埃森斯坦整数 都是欧几里得整环，满足 辗转相除法， 不知道能不能找到 等价变换的关系

葡萄糖

不知道如下朴实无华的解是不是所有解
\begin{align*}
\left\{
\begin{split}
x&=4 a b\\
y&=(a-5 b) (3 a-19 b)\\
z&=(a-3 b) (5 a-19 b)
\end{split}
\right.
\end{align*}

1. 32 (x^2 + y^2 + z^2) - 17 (x + y + z)^2 /. {x -> 4 a b,
   
2.    y -> (a - 5 b) (3 a - 19 b),
   
3.    z -> (a - 3 b) (5 a - 19 b)} // Factor

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