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[擂台] 和以及平方和固定的四元组

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发表于 2009-1-5 08:19:25 | 显示全部楼层 |阅读模式

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请找出k个四元组,其中每组中四个数都不相同,而且它们的和为0,平方和为1.
但是两个不同的四元组之间可以使用相同的数字,如何使得k个四元组中使用的不同数字数目最小?
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2009-1-5 08:56:13 | 显示全部楼层
这些组里的数范围是有理数、实数?

因为若限定为整数,则和为零的四元组必有偶数个奇数,其平方和必为偶数(无法等于1)。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2009-1-5 10:14:58 | 显示全部楼层

或者是复数??
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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 楼主| 发表于 2009-1-5 10:51:59 | 显示全部楼层
均可,不同的情况应该有不同的解.
可以分别限定有理数,实数或复数求解
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 楼主| 发表于 2009-1-5 10:52:41 | 显示全部楼层
而其中有理数情况可以转化为和和平方和相等的四个不同整数组
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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发表于 2009-1-5 11:05:03 | 显示全部楼层
题目中的k,是否是事先任意指定的?
(因为若k不固定,显然最小解在k=1时取得)

我在2#的提问有点笨了,因为若为整数,平方和为1的数只能在0、±1中取,定有重复,
没办法,数论问题研究多了,第一感觉总是整数。
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 楼主| 发表于 2009-1-5 11:21:21 | 显示全部楼层
hehe,k能够解决到越大越好.
当然k=1时显然任意4个数都满足条件,所以需要4个不同的数.
而k=2时,需要7个不同的数.
但是对于更加大的k,问题就要复杂一些了
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发表于 2009-1-5 11:36:07 | 显示全部楼层

k=8时, 可为16

可以通过幻方构造出来。

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发表于 2009-1-5 13:27:56 | 显示全部楼层
记“不同数字的数目”为c,
如果定义每个数字的“平均利用率”为 λ=(4k)/c 的话,
那么,上帖给出的数据“平均利用率”达到了2,比之更高的k至少为多少?
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 楼主| 发表于 2009-1-5 16:10:52 | 显示全部楼层
原帖由 gxqcn 于 2009-1-5 11:36 发表
可以通过幻方构造出来。

**** 本内容被作者隐藏 *****

也就是说k=8可以用16个数字达到.不过我觉得k=8可以使用更加少的数字
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