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楼主: mathe

[擂台] 和以及平方和固定的四元组

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发表于 2009-1-5 16:15:34 | 显示全部楼层
原帖由 mathe 于 2009-1-5 16:10 发表

也就是说k=8可以用16个数字达到.不过我觉得k=8可以使用更加少的数字


我也这么认为。

不过要想平均数字利用率(见9#)λ>2,有相当难度。

定义 λmax(k) 为 k 组四元组的最大的平均数字利用率,
由7#,我们得到 λmax(1) =1,λmax(2) =8/7,
那么对于所有的 k,λ 可达到的上限 λmax 是多少?
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 楼主| 发表于 2009-1-5 21:27:05 | 显示全部楼层
想到一种比较有意思的构造方法
假设一组4个数$x_1,x_2,x_3,x_4$满足$x_1+x_2+x_3+x_4=0,x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2=1$
记$x_i={sqrt(2)}/2cos(theta_i)$,那么上面表达式可以变化为
$cos(theta_1)+cos(theta_2)+cos(theta_3)+cos(theta_4)=0,cos(2theta_1)+cos(2theta_2)+cos(2theta_3)+cos(2theta_4)=0$
看来可以通过将单位圆等分若干份里面挑选k个点来构造一些比较好的解
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发表于 2009-1-6 07:39:18 | 显示全部楼层
这个构造法思路确实巧妙!

让上述两个三角方程成立的条件是什么?
除了四等分单位圆情形外的还有哪些?

可否让数字平均利用率突破2?
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发表于 2009-1-6 07:49:51 | 显示全部楼层
那不是分圆数域么?
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 楼主| 发表于 2009-1-6 08:17:45 | 显示全部楼层
原帖由 gxqcn 于 2009-1-6 07:39 发表
这个构造法思路确实巧妙!

让上述两个三角方程成立的条件是什么?
除了四等分单位圆情形外的还有哪些?

可否让数字平均利用率突破2?

至少对于k=8不可能突破2.
对于这个问题,我们还可以扩展为每组h个数,要求每组前h-2阶等幂和都相同,然后在给定不同数的总数目下,要求组数尽量多.
而我之所以对这个问题感兴趣是在于它同果树种植问题紧密关联.
比如如果我们能够找到20个实数,它们中间可以选择出24组4个数和都为0,平方和都为1,那么我们就可以构造一个将20棵树种成24行,每行正好4棵树的方案.
同样,对于每组h个数的问题,可以对应果树种植问题中每行h棵数的问题.
也就是说,这个问题是果树种植问题的一个下界.
所以说在当前问题中,由于A006065中第12项为7,那么我们就可以知道,这个问题中,如果要达到k=8,那么至少要13个不同的数字.
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发表于 2009-1-6 08:21:54 | 显示全部楼层


怪不得国外用分圆域解决这个问题呢
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发表于 2009-1-6 08:39:41 | 显示全部楼层

回复 15# mathe 的帖子

我对这个问题感兴趣则是源于等幂和性质。

参考:8 组 3 次 4 阶“等幂和数组链”
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发表于 2009-1-6 09:31:46 | 显示全部楼层
A006065        Maximal number of 4-tree rows in n-tree orchard problem.
(Formerly M0290)  
0, 0, 0, 1, 1, 1, 2, 2, 3, 5, 6, 7, 9, 10, 12, 15, 16, 18


如果沿用 11# 的定义,则

$\lambda_{max}(1)=(4*1)/4=1$
$\lambda_{max}(2)=(4*2)/7=8/7$
$\lambda_{max}(3)=(4*3)/9=4/3$
$\lambda_{max}(5)=(4*5)/10=2$
$\lambda_{max}(6)=(4*6)/11=24/11$
$\lambda_{max}(7)=(4*7)/12=7/3$
$\lambda_{max}(9)=(4*9)/13=36/13$
$\lambda_{max}(10)=(4*10)/14=20/7$
$\lambda_{max}(12)=(4*12)/15=16/5$
$\lambda_{max}(15)=(4*15)/16=15/4$
$\lambda_{max}(16)=(4*16)/17=64/17$
$\lambda_{max}(18)=(4*18)/18=4$

缺少序号为4、8、11、13、14、17的极限值,但不会大于紧跟其后的值。

王兴君的结论,可得
$\lambda_{max}(23)>=(4*23)/20=23/5$
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 楼主| 发表于 2009-1-6 09:42:56 | 显示全部楼层
现在介绍一下我是如何将这两个问题(果树种植问题和等幂和问题)联系起来的.
在S.A Burr, B. Grunbaum and N. J. A. Slone 的一篇论文The Orchard Problem中,给出了果树种植问题每行三棵树情况一个非常良好的下界.他们使用了Weierstrass P函数(椭圆函数):
$y^2=4x^3-g_2x-g_3$
其中$g_2,g_3$是实常数.这个曲线可以利用Weierstrass P函数写成参数方程:
$x=P(u),y=P'(u)$
其中Weierstrass P函数可以定义为
$ u=\int_{P(u)}^{infty}\frac{dx}{sqrt(4x^3-g_2x-g_3)}$
那么,对于这个曲线上三个参数为$u_1,u_2,u_3$,它们共线的充分必要条件为
$u_1+u_2+u_3-=0(mod 2\omega)$,
其中$2\omega$是椭圆函数$P(u)$的一个周期(实周期,而椭圆函数是双周期函数)
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 楼主| 发表于 2009-1-6 09:46:32 | 显示全部楼层
原帖由 gxqcn 于 2009-1-6 09:31 发表


如果沿用 11# 的定义,则

$\lambda_{max}(1)=(4*1)/4=1$
$\lambda_{max}(2)=(4*2)/7=8/7$
$\lambda_{max}(3)=(4*3)/9=4/3$
$\lambda_{max}(5)=(4*5)/10=2$
$\lambda_{max}(6)=(4*6)/11=24/11$
$\lambda_ ...

这个不能确定,我们只能说右面是一个上界.
而王兴君那个结果不能直接使用,也许我们能够利用它构造一个下界
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