一道数论题：1+3d, 1+4d, 1+6d不可能都是平方数

gxqcn

证明不存在正整数d使1+3d、1+4d、1+6d都是完全平方数。（转自：奥数之家）

northwolves

反证法，

mathe

设${(x^2=1+3d),(y^2=1+4d),(z^2=1+6d):}$
那么$2x^2-z^2=1$这是一个Pell方程，可以非常容易求出所有满足这个方程的x和z.不过再检查是否有对应的y好像不是很容易。

gxqcn

原帖发表在“初中数学竞赛”版块，
不知可有什么巧妙的方法？

northwolves

原帖由 mathe 于 2009-1-13 08:18 发表
设${(x^2=1+3d),(y^2=1+4d),(z^2=1+6d):}$
那么$2x^2-z^2=1$这是一个Pell方程，可以非常容易求出所有满足这个方程的x和z.不过再检查是否有对应的y好像不是很容易。

d=k(k+1)
d%4=0

g99

有必要看看完全平方数的性质了
http://bbs.emath.ac.cn/viewthread.php?tid=967

mathe

这些东西太基本了，应该没有用。
这个题目里面，可以证明，如果d存在，必然是8的倍数,5的倍数，7的倍数和11的倍数。不过光这些性质还是没用。

mathe

原帖由 mathe 于 2009-1-13 08:18 发表
设${(x^2=1+3d),(y^2=1+4d),(z^2=1+6d):}$
那么$2x^2-z^2=1$这是一个Pell方程，可以非常容易求出所有满足这个方程的x和z.不过再检查是否有对应的y好像不是很容易。

通过Pell方程求出d,那么所有可能的4d+1满足
$x(0)=1,x(1)=33,x(2)=1121,x(n+3)=35x(n+2)-35x(n+1)+x(n)$
现在要求证明对于$n>=1,x(n)$不是完全平方数

mathe

得到通项为$x(n)=1/6((1+sqrt(2))^(4n+2)+(1-sqrt(2))^(4n+2))$

sunwukong

奇数的平方 = 1 (mod 8)，偶数的平方 =0 (mod 4)

因为 1+6d 是奇数，又是完全平方数 所以 d 是 4 的倍数，设 d = 4*n，代入，得

1+12*n、1+16*n、1+24*n 是完全平方数

设

(2*x+1)^2 = 1+12*n
(2*y+1)^2 = 1+24*n

化简，得

x*(x+1) = 3*n
y*(y+1) = 6*n

所以

2*x*(x+1) = y*(y+1)

以上方程的正整数解只有 x=2，y=3 （怎么证明还没想好），所以 n = 2，1+16*n = 33 不是完全平方数，证明结束。

这个证法只差一步：证明 2*x*(x+1) = y*(y+1) 只有唯一的一组正整数解.