一道数论题：1+3d, 1+4d, 1+6d不可能都是平方数

mathe

4# gxqcn 显然，楼上语焉不详的椭圆曲线方法无人喝采。但是，可以确认，本题不会有初中数学范围内的巧妙解法。 摈弃椭圆曲线方法，也就是说不把3个式子相乘，那也得把两个式子相乘(乘比线性组合要好，少绕弯 ... hujunhua 发表于 2010-2-4 17:47

呵呵，曲高而和寡，很正常，希望必要介意

zgg___

Re 18层hujunhua “这个属于著名的椭圆曲线簇En：y^2==x^3-n^2 x。而E6则是该簇中之尤其著名者，盖因其整点较多矣。” 如果修习椭圆曲线用的是Neal Koblitz的GTM97，那么对En的感情将尤其的强烈，因为它和Congruent number的密切联系。 而E6很可能就是第一个学习的对象，因为E6对应于“钩三股四弦五面积六”。呵呵。 其实椭圆曲线是一个数学工具（方法），是一个强大的数学工具（这个问题就可以证明吧），是一个美妙的数学工具（它把许多有意思的东西连在了一起）。这种工具将象求导数、三角函数、复变函数（列举不全呦）那样，慢慢为大家所熟悉，逐渐成为居家旅行杀人灭口的必备良药。

wayne

hujunhua 的数论功夫很是了得啊~~

haizhou

设${(1+3d=x^2),(1+4d=y^2),(1+6d=z^2):}$ 4x^2-3y^2=1,4x^2-1=3y^2; (2x+1)(2x-1)=3y^2; 2x+1=3u^2 2x-1=v^2或2x+1=u^2 2x-1=3v^2； v^2+2=3u^2或u^2-2=3v^2; 对v^2+2=3u^2设 u=v+r v^2+2=3(v+r)^2 v^2+2=3v^2+6vr+3r^2

hujunhua

hujunhua 的数论功夫很是了得啊~~ wayne 发表于 2010-4-2 10:35

业余爱好，不敢托大。何况丢弃良久，积少忘多，惭愧。 郭大的这个题目，按说用mathe提议的递推序列法是可以凑效的，只是这种方法没有一定之规，需要熟练和运气。等有空碰碰运气吧。递推序列法可能需要预备很多引理，过程不会很简明。

manthanein

\(y^2=(ax+b)(cx+d)(ex+f)\)
\(y^2=(acx^2+bcx+adx+bd)(ex+f)\)
\(y^2=acex^3+bcex^2+adex^2+bdex+acfx^2+bcfx+afdx+bdf\)
\(y^2=acex^3+(bce+ade+acf)x^2+(bde+bcf+afd)x+bdf\)

manthanein

\(y^2=acex^3+(bce+ade+acf)x^2+(bde+bcf+afd)x+bdf\)
\((acey)^2=(acex)^3+(bce+ade+acf)(acex)^2+ace(bde+bcf+afd)(acex)+a^2bc^2de^2f\)
令\(u=acey\)，\(v=acex\)：
\(u^2=v^3+(bce+ade+acf)v^2+ace(bde+bcf+afd)v+a^2bc^2de^2f\)
\(729u^2=729v^3+729(bce+ade+acf)v^2+729ace(bde+bcf+afd)v+729a^2bc^2de^2f\)
令\(U=27u\)，\(V=9v\)：
\(U^2=V^3+9(bce+ade+acf)V^2+81ace(bde+bcf+afd)V+729a^2bc^2de^2f\)

manthanein

令\(V=X-3(bce+ade+acf)\)，
\(V^3=X^3-27(bce+ade+acf)^3+27X(bce+ade+acf)^2-9X^2(bce+ade+acf)\)


\(9(bce+ade+acf)V^2=9(bce+ade+acf)X^2+81(bce+ade+acf)^3-54X(bce+ade+acf)^2\)

manthanein

\(V^3+9(bce+ade+acf)V^2\)
\(=X^3+54(bce+ade+acf)^3-27X(bce+ade+acf)^2\)

manthanein

\(81ace(bde+bcf+afd)V\)
\(=81ace(bde+bcf+afd)[X-3(bce+ade+acf)]\)
\(=81ace(bde+bcf+afd)X-243ace(bce+ade+acf)\)

\(Y^2=X^3+54(bce+ade+acf)^3-27X(bce+ade+acf)^2+81ace(bde+bcf+afd)X-243ace(bce+ade+acf)+729a^2bc^2de^2f\)