一道数论题：1+3d, 1+4d, 1+6d不可能都是平方数

mathe

2*14*(14+1)=20*(20+1)

northwolves

平方数模4为0，1； 模8为0，1，4 d=4k+1---->6d+1 %4=3---->非平方数 d=4k+2---->3d+1 %4=3---->非平方数 d=4k+3---->3d+1 %4=2---->非平方数 d=8k+4---->3d+1 %8=5---->非平方数 d=8k

gxqcn

看样子仅需排除 d=8k 的情形了， 只是得注意 k=0 是成立的， 就看 k 为正整数时是怎样的了。

mathe

其实我们可以查看，如果d不是素数p的倍数，那么表示 1+3d,1+4d,1+6d都是关于p的平方剩余，也就是$1/d+3,1/d+4,1/d+6$都是平方剩余， 也就是关于p的平方剩余存在$x,x+1,x+3$这样的形式， 5的所有平方剩余为$0,1,4$没有上面的形式，所以我们得到5|d

mathe这里错了

mathe

关于这个题目，我在上面将问题转化为一个递归序列中平方数的问题，其中这个序列满足 $x(1)=1,x(2)=33,x(n+2)=34x(n+1)-x(n)$ 在帖子http://bbs.emath.ac.cn/thread-650-1-5.html中，gxqcn找到一篇分析Fibonacci数列中所有完全平方数的方法，应该可以借鉴。只是那里使用了Lucas数列，而我们这里应该使用辅助序列 $L(0)=0,L(1)=1,L(2)=34,L(n+2)=34L(n+1)-L(n),x(n)=L(n)-L(n-1)$

litaoye

我只懂点初等数学,所以就说些比较小儿科的思路吧！ 设这3个完全平方数的根分别为l,m,n, l = sqrt(1+3d) m = sqrt(1 + 4d) n = sqrt(1 + 6d) 如果l与m是一组整数解的话，可以推出(7l - 6m) (7m - 8l)是更小的一组整数解 （式子比较长，这里不方便写，大家可以把Sqrt(1+3d) 和 Sqrt(1 + 4d) 代入算一下） 同理： 如果l与n是一组整数解的话，可以推出(3l - 2n)与 (3n - 4l)是更小的一组整数解 如果m与n是一组整数解的话，可以推出(5m - 4n) (5n - 6m)是更小的一组整数解 最小的解为l=1 m=1 n=1 反过来也都有更大的一组解 如果l与m是一组整数解的话，可以推出(7l + 6m) (7m + 8l)是更大的一组整数解 如果l与n是一组整数解的话，可以推出(3l + 2n)与 (3n + 4l)是更大的一组整数解 如果m与n是一组整数解的话，可以推出(5m + 4n) (5n + 6m)是更大的一组整数解 因此可以推算出d的递推公式 l,m => d(n) = 97 * d(n-1) + 28 + 28 * sqrt(3*d(n-1) + 1) * sqrt(4*d(n-1) + 1) l,n => d(n) = 17 * d(n-1) + 4 + 4 * sqrt(3*d(n-1) + 1) * sqrt(6*d(n-1) + 1) m,n => d(n) = 49 * d(n-1) + 10 + 10 * sqrt(4*d(n-1) + 1) * sqrt(6*d(n-1) + 1)

wayne

呵呵，怎么又见着了2*x*(x+1) = y*(y+1)这个方程？事实上，这个方程的解有无数个。 3, 20, 119, 696, 4059, 23660, 137903, 803760, 4684659, 。。。

hujunhua

对这个问题，我倒是有一条简明的路子，可惜起点太高，椭圆曲线理论绝对不是任何级别的中学数学竞赛之所能。还是说一下吧。 3d+1, 4d+1, 6d+1是两两互质的，其同为平方数与三者乘积为平方数是等价的。问题就转化为一条椭圆曲线$$y^2=(3d+1)(4d+1)(6d+1)$$上的整点问题，这是近二十年来最热门的方向之一了。 将椭圆曲线$y^2=ax^3+bx^2+cx+d$ 的 $x^3$ 项系数降为 1 的办法是两边乘以$a^2$, 然后分别以x, y代替ax, ay. 搬用此法，以x, y 代替72x+18, 72y，上述椭圆曲线可化为$$y^2=x^3-36x$$这个属于著名的椭圆曲线簇$E_n: y^2=x^3-n^2x$。而$E_6$则是该簇中之尤其著名者，盖因其整点较多矣。 关于椭圆曲线的整点，有塞格尔定理说：椭圆曲线上仅有有限个整点。 这就好办了，将上述曲线上的所有整点都拎出来，看看有无`x\equiv18, y\equiv0\pmod{72}`的就行了。 在本题中，不用去解了，$E_6$是如此有名，它的所有13个整点都在这儿了： (±6,0)，(0, 0), (-3, ±9), (-2, ±8), (12, ±36), (18, ±72), (294, ±5040) 居然有一解(18, ±72)，難道郭大的題有問題，哦，原對應的是d=0.

hujunhua

4# gxqcn 显然，楼上语焉不详的椭圆曲线方法无人喝采。但是，可以确认，本题不会有初中数学范围内的巧妙解法。 摈弃椭圆曲线方法，也就是说不把3个式子相乘，那也得把两个式子相乘(乘比线性组合要好，少绕弯，因为乘保持等价，是全息的)，比如 $x^2z^2=(3d+1)(6d+1)=18d^2+9d+1=18(d^2+d/2}+1=18(d+1/4)^2-1/8$ 两边乘以8化为整式 $2(2xz)^2=9y^4-1$ 关于这类2元4次丢番图方程，Cohn, 曹富珍等人不知写了多少论文。如果初中数学就能解本题，这几个数学工作者也未免太拣轻了。

gxqcn

也难怪，我那两把刷子最多只能应付中学的数学竞赛，但搞了半天也没证出来，所以才发到论坛让大家讨论。 原来还需要这么高深的知识。