解函数方程

northwolves

$f(x)$ 定义在实数域上，且$f(x+y)+f(x-y)-2f(x)-2y^2=0 $ ，求$f(x)$

这是一道以前见过的题目。

g99

有难度

mathe

另$g(x)=f(x)-x^2$带入即可

gxqcn

northwolves

原帖由 mathe 于 2009-1-16 08:27 发表
另$g(x)=f(x)-x^2$带入即可

Good!

shshsh_0510

还没解完就叫好?

northwolves

$f(x+y)+f(x-y)-2f(x)-2y^2=0 $
Let $g(x)=f(x)-x^2$
$g(x+y)+(x+y)^2+g(x-y)+(x-y)^2-2g(x)-2x^2-2y^2=0$
$g(x+y)+g(x-y)-2g(x)=0$
$g(x+y)-g(x)=g(x)-g(x-y)=g(0)-g(0-0)=0$
$g(x)=C$
$f(x)=x^2+C$

northwolves

当时我的做法是：
$f(x+y)+f(x-y)-2f(x)-2y^2=0 $
$f(x+y)-f(x)-(f(x)-f(x-y))-((x+y)^2-x^2)+2xy-y^2=0$
$f(x+y)-f(x)-((x+y)^2-x^2)=f(x)-f(x-y)-(x^2-(x-y)^2)$
$f(x+y)-f(x)-((x+y)^2-x^2)=f(0)-f(0-0)-(0^2-(0-0)^2)=0$
$f(x+y)-(x+y)^2=f(x)-x^2=f(0)$
$f(x)=x^2+C$

shshsh_0510

g(x+y)-g(x)=g(x)-g(x-y)=g(0)-g(0-0)=0
g(x)=C

为什么？
e.g. :
g(x)=ax+b
g(x+y)-g(x)=ax+ay+b - (ax+b)=ax+b -(ax-ay+b)=g(x)-g(x-y)

northwolves

原帖由 shshsh_0510 于 2009-1-16 17:34 发表

为什么？
e.g. :
g(x)=ax+b
g(x+y)-g(x)=ax+ay+b - (ax+b)=ax+b -(ax-ay+b)=g(x)-g(x-y)

有道理。
思维定势。看来$g(x) $  是一次线性的
$f(x)=x^2+ax+b$, $a,b in RR$