解函数方程

shshsh_0510

第二个问题，我似乎明白了，多谢。

shshsh_0510

第一个问题，之所以不理解到不在于选择公理，事实上公理就是要无条件接受嘛，然后再她基础上的合理才叫合理，所以我觉得像那些一分为二的怪球其实没啥好奇怪的 不过你这个为什么不好接受呢，在于以下原因： 如果枚举了H，则可以枚举其有理线性组合。如果其有理线性组合遍历R,则R可数

shshsh_0510

嗯，即使知道H，也枚举不出所有线性组合，看来是没有问题的。

mathe

原帖由 shshsh_0510 于 2009-1-20 11:49 发表 第一个问题，之所以不理解到不在于选择公理，事实上公理就是要无条件接受嘛，然后再她基础上的合理才叫合理，所以我觉得像那些一分为二的怪球其实没啥好奇怪的 不过你这个为什么不好接受呢，在于以下原因： 如 ...

问题在于H是不可数的。至于说公理就是要无条件接受，但是选择公理的确同其它的不同。如果你看过集合论中相关内容，就会知道，通常都是将选择公理单独列出来的。有它，可以形成一个体系，没有它，也可以形成另外一个体系。 实变中还有一个例子，是构造一个不可测的集合，这个也是同样通过选择公理来构造的。

shshsh_0510

实变中还有一个例子，是构造一个不可测的集合，这个也是同样通过选择公理来构造的。

借着过年科普一下 另外，你说 “H是不可数的”。那你的构造岂不基本上等于没有了 ? 对于除0外任意r都没法确定g(x)的附值。 而且，这等于说有不可数多的R到R的函数满足g(x+c)-g(x)=g(x)-g(x-c) .我不太清楚R到R的函数空间有多大，是“几乎所有函数都满足”呢，还是“几乎所有函数都不满足”呢？ 再一个问题，上面那个式子似乎只用到减法，所以不非要Q上的线性空间吧。应该可以从任意对减法封闭的集合开始。 另外一个问题，对于任意n个积元素，总可以构造非线性函数F，使之在n的所有子集上是线性的。比如 $(a*x+b*y+c*z)^2*(a*x*b*y+b*y*c*z+c*z*a*x)/((a*x+b*y)*(b*y+c*z)*(c*z+a*x))$在(x,y),(y,z),(z,x)都是线性的，所以，你选H的同时，我变换F。趋于无穷会如何？似乎也不好说存在不存在非线性的函数满足条件。

mathe

选择公理存在争议，正是在于对于很多问题，它可以证明解的存在性，但是真的要构造一个实实在在的例子，确很难，就如同上面说的构造一个不可测的集合一样，给出一个实实在在的例子也很难。 所以你说的除了0以外任意r都无法确定g(r)的值也是的的确确的。 但是选择公理的一个意义在于说明了对于这类问题，如果你承认选择公理，那么就可以确定这个问题有这样的解；如果不承认，我们无法证明解存在或不存在。 至于说是几乎所有函数满足还是几乎所有函数不满足，这个应该是几乎所有函数不满足，但是也可能都不是，这个我没有去探讨，而且也同“几乎所有”的定义有关系。 我们知道自然数是可数集，其数目用阿列夫-0来表式 实数集是一个不可数集，其数目用阿列夫-1来表示 但是我们还可以构造一个数目更加多的集合，比如R到R上的所有函数数目，这个用阿列夫-2来表示。 至于是否存在一个集合，其数目比阿列夫-0多，比阿列夫-1少，我印象中好像是有人证明了这个是无法知道的，就是说我们无法证明存在这样的集合，也无法证明不存在这样的集合。 而上面R上线性函数的数目，显然也是阿列夫-2,也就是可以同R到R上所有函数的数目一一对映。 但是这个并不是说就是几乎所有函数都满足。 比如我们看自然数集合和正偶数集合也是一一对映的（数目都是阿列夫-0），但是我们不能说几乎所有的自然数都是正偶数（实际上，我们更加能够接受一半的自然数是偶数这个概念）。 而从数学角度来说，通常"几乎所有"这个概念是从测度这个概念来说的。 比如对于函数$1/x$,我们可以所这个函数几乎处处连续，这个是因为其所有不连续点构成的集合测度为0,这个是数学中几乎处处的定义，其补集的测度为0. 当然，这里几乎处处同测度的定义相关（通常意义上的测度可以理解为直线段的长度，二维图形的面积，三维图形的体积，随机事件的概率等），而同样的集合在不同的测度定义下其值可以不同。 所以从这个角度，由于我们没有约定俗成的R到R的函数空间上测度的定义，这个“几乎所有”的定义就很难说。 另外我们可以实变中另外一个我上面提到的例子，就是存在一个不可测的集合；从这个角度来说，上面构造的函数的总数目也可能是不可测的，就更加无法评判是否“几乎所有”了。

shshsh_0510

学习。 想找个人讲清楚并不是很容易，所以向mathe这样的，如果有问题，就不能轻易放过

无心人

上海有个肚爪灰 不爱文学爱数学 遇到问题细钻研 不弄清楚不罢休 天才肚子啊

shshsh_0510

这个需要总结一下： 对于g(x) ,我们只知道 g(x+y)-g(x)=g(x)-g(x-y) , 那么对于g(x)能知道些什么呢？ 我们试图确定任意的特殊值，比如g(0),易知给g(0)附任何值都不会产生矛盾。 由于关系的对称性，知道0并不特殊，于是设定g(0)=a,看看能不能确定g(x) 在g(0)=a的前提下，还是不能约束任何其他的g(x),于是再固定一个，比如g(1)=b. 现在我们可以说些什么了，因为剩下的函数值不能随意了，在所有有理数上，函数值必须在同一直线上 但对于所有非有理数，还是随意定也不会产生矛盾。 继续这一过程，我们选任意非有理数 r,令g(r)=c.于是又有很多点被定下来了，即点(r,c)到每个有理点的连线上有理相关的那些点。 继续这一过程，这样的过程不会产生矛盾，每次为一个点附值就是mathe所说选择H的过程。 于是，对任意有限个对g(x)的附值，我们可以判定这些附值是不是会矛盾，如果不矛盾，则可以构造出一个满足条件的函数 上面提到的一个问题：为什么是Q上的线性变换呢？当然上式只用到减法，所以任意减法封闭的子集上做线性变换都没有矛盾，但我们想根据最少的信息，确定最多的值，对于给定两个点，最多只能确定一个与Q同构的子集上的g(x).

mathe

给个关于佐恩引理的英文链接: http://mathworld.wolfram.com/ZornsLemma.html