解函数方程

gxqcn

$f((x+y)/2)=(f(x)+f(y))/2\quad<=>\quadf(x)=kx+b$

mathe

结论还是不对。 实数空间R可以看成有理数空间Q上的无限维线性空间。 于是g是R上的线性变换。 如果添加条件函数f是连续函数，那么可以得到$f(x)=x^2+ax+b$. 不然只能写成$f(x)=x^2+g(x)$,其中g(x)是线性空间R中的任意一个线性变换。 如果假设选择公理成立，那么我们可以找到一个集合H,对于H中任意有限个$h_1,h_2,...,h_t$以及非零有理数$q_1,q_2,...,q_t$, 那么必然有$q_1h_1+q_2h_2+...+q_th_t!=0$.而且对于任意一个实数r,必然存在H的一个有限子集${h_1,h_2,...,h_t}$以及唯一的有理数$q_1,q_2,...,q_t$使得$r=q_1h_1+...+q_th_t$ 于是只要任意定义一个函数G:H->R,然后对于任意实数$r=q_1h_1+...+q_th_t$,定义$g(r)=q_1G(h_1)+...+q_tG(h_t)$,那么函数g就可以满足条件

northwolves

原帖由 mathe 于 2009-1-17 11:33 发表 结论还是不对。 实数空间R可以看成有理数空间Q上的无限维线性空间。 于是g是R上的线性变换。 如果添加条件函数f是连续函数，那么可以得到$f(x)=x^2+ax+b$. 不然只能写成$f(x)=x^2+g(x)$,其中g(x)是线性空间R中的 ...

已经超出我的理解范围了。高一的代数没有这么高深吧？

mathe

所以说题目有问题，或者将定义域改成有理数即可

shshsh_0510

这个就是在非连续的实数才有意思 上边mathe的构造十分巧妙，但还有两个问题： 1）H存在性的证明？ 2）是否还有其他解？

mathe

H存在性需要假设选择公理成立，这个时候就可以使用佐恩引理来证明H的存在性。 所有的解应该写成$f(x)=x^2+g(x)+c$,其中c为任意常数，g为实数集R(看成有理数集Q上的线性空间)上的线性变换。 而证明这一点，我们只需要证明$f(x)-x^2-f(0)$是线性变换就可以了，这个很简单。 证明变换h(x):R->R为关于域Q的线性变换，那么只需要证明对于任意的$x_1 in R, x_2 in R, q_1 in Q, q_2 in Q$都有$h(q_1x_1+q_2x_2)=q_1h(x_1)+q_2h(x_2)$就可以了。

shshsh_0510

对于H存在的问题，还是不懂：当然用选择公理可以选取一个H，但对于每个给定的H,对于任意r都存在H的一个有限子集作为有理基，这个似乎不是那么显然呀。我感觉对于给定的H，似乎应该总可以构造出这样的r，使得它不能表示为H的有限子集的线性组合才对。这个证明起来肯定比较复杂，mathe给个参考文献也成啊。 对于第2个问题，也不太理解。怎么证明f(x)-x^2-c是线性变换？谁帮我解释一下？

mathe

是说通过选择公理，可以选择一个几何H,满足上面的性质（任何实数可以表示成H中有限的线性组合）。当然不是很明显，可以通过佐恩引理来证明，记得这个是我的实变函数教程中一个习题。 对于$u(x)=f(x)-x^2-f(0)$,我们直接有性质$u(x+y)+u(x-y)=2u(x)$而且$u(0)=0$ 让$x=ny$代入，可以得到 $u((n+1)y)-u(ny)=u(ny)-u((n-1)y)=...=u(y)-u(0)=u(y)$ 所以我们可以得到对于任意整数n,$u(ny)=n u(y)$ 另$y=t/m$，其中m为另外一个整数，得到$u(n/m t)=n/m u(t)$ 也就是对于任意有理数p,$u(pt)=pu(t)$ 此外，另$s=x+y,t=x-y$得到$u(s)+u(t)=u(x+y)+u(x-y)=2u(x)=u(2x)=u(s+t)$ 所以对于任意的有理数p,q和实数s,t,我们有$u(ps+qt)=u(ps)+u(qt)=pu(s)+qu(t)$ 由此证明了函数u是线性变换。

shshsh_0510

谢谢mathe的解答。 但是，第一个问题和俺的认识差别太大，我想好好学习一下，不知能否给讲具体一些。 第二个问题，你证明了：如果对两个有理想域线性无关的超越元素$s,t$，如果指定了$g(s),g(t)$，那么$g(x)$对所有型如$ps+qt $的实数$Q[s,t]$是线性的。只是局部空间是线性，但是对整个R上还不好说。

mathe

关于第二个问题，这里s,t的选择是任意的，这个就是线性空间的定义（当然可能不是完备的） 至于第一个问题，我想你应该看一下实变函数或泛函分析的书，找一找介绍佐恩引理的章节。实际上它是通过构造集合簇（集合的集合）中的一个偏序关系来证明的。不过关于选择公理本身，就是属于一个可选而不是必须的公理，所以和它相关的结论难于理解也是正常的