Yet another Diophantine Equation

wayne

解方程:$1/p=1/x+1/y+1/z$  其中p,x,y,z均为正整数.


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由于对于方程$1/p=1/x+1/y$ ,可以给出一般的解,所以,我比较关注x,y,z任意两个数倒数和不为1的情况.比如{p,x,y,z}={2,5,5,10}

gxqcn

如果是：$4/n=1/x+1/y+1/z$，则称作 Erdos 方程，
参考见：Erdos猜想之验证数据 - 数学研发网

mathe

给个特解$1/p=1/{p+1}+1/{p^2+p+1}+1/{p(p+1)(p^2+p+1)}$

mathabc

原帖由 mathe 于 2009-5-22 08:03 发表
给个特解$1/p=1/{p+1}+1/{p^2+p+1}+1/{p(p+1)(p^2+p+1)}$

mathe果然强。

wayne

谢谢mathe。。

如果x,y,z中存在有两个数倒数和为1/k。
则这种情况可以通过方程$1/p=1/x+1/y$的解进行迭代产生。

[ 本帖最后由 wayne 于 2009-5-22 11:28 编辑 ]

wayne

我为了解这个方程，先给出了$1/p=1/x+1/y$的解的一般形式：

${p+p_i,p+p^2/p_i},p_i$为$p^2$的所有约数

wayne

本想通过这个一般解来迭代产生三个数倒数和为1的所有解，可后来发现行不通。。。

wayne

01年的，
你给的情况我在wikipedia上也找到了：
Erdős–Straus conjecture

shshsh_0510

这个求几个特解比较容易
例如 设 y=ax ,z=bx
于是 $1/p=(a*b+b+a)/(x*a*b) $
对于任意a,b 只要选$(a*b+b+a)|x$的x即可

mathe

关于gxqcn提到的问题.对于大量的n,可以直接构造特解.
比如如果n是4的倍数,3#已经给出了一组解.
如果n是2的倍数(而不是4的倍数),那么也很简单.$2/n=1/n+1/{n+1}+1/{n(n+1)}$
而如果n模4为3,设n=4k-1
$4/{4k-1}=1/k+1/{k(4k-1)}$,只要再将其中任何一个埃及分数拆分成两个就可以了.