Yet another Diophantine Equation

数学星空

上面m=2有误(mathe已证) m=3时,哪些n存在正整数解x1,x2,...xn?

yuange1975

      
    最近遇到一个山大校友提出了个关于 ∑1/ai+1/Πai=1的整数解个数的猜想，去研究后否定了校友的猜想。自己独立研究了一下，搜索看都第一项都包含2，疑惑是否有不包含2的解，最后终于搜

索出一个不包含2的结果，解决了心中的疑惑问题。查询原来这是个著名的znam问题，不包含2的解也早有了结果，不过我的这个解项要少，数字也小很多。
    因为搜索小于等于9项的解都没有不包含2的解，再多项的话大数乘积太大，超过long long的范围，所以采用了搜索8层，先算出1-∑1/ai=x/y,第9层取整(y+100)/x过滤不满足互素条件的，选取

余数小于100的打印出来，x/y-1/a9=X/Y,再求解剩下2项的办法。
其实就是求方程1/a+1/b+1/(a*b*Y)=X/Y的解。变化一下
bX=Y+m （1）
a=(bY+1)/(bX-Y) =(bY+1)/m=((bY+1)*X)/(m*X)=(bXY+X)/(X*m)=(Y^2+m*Y+X)/(m*X) （2）
可以看出m必须是Y^2+X的因子和X必须是Y+m的因子，而X越小越容易有解,所以只是为了验证有解的时候，可以过滤出比较小的X，去想办法求解。

程序运行结果如下：

D:\work\math\dwfs3\x64\Debug>dwfs  9 3
(1)  3 4 5 7 17 67 16501 55859917 1026933943   99/(1026933943*440944129325684480)
(2)  3 4 5 7 17 67 16517 12889727 533229950924233   87/(533229950924233*101846920626528416)
(3)  3 4 5 7 17 67 16571 3779231 97360871   19/(97360871*29958852180700380)
(4)  3 4 5 7 17 67 16799 914191 21144008309   29/(21144008309*7346718271053420)
(5)  3 4 5 7 17 67 16867 807497 10470889   19/(10470889*6515560427443620)
(6)  3 4 5 7 17 67 17699 242863 298647863   59/(298647863*2056284013536060)
(7)  3 4 5 7 17 67 17819 223289 43686383   37/(43686383*1903371977240580)
(8)  3 4 5 7 17 67 23827 53657 65913103   13/(65913103*611601816470820)
(9)  3 4 5 7 17 67 26989 42593 10977577   61/(10977577*549918130147260)
(10)  3 4 5 7 17 89 271 16669 92250629   53/(92250629*2870562822540)

第八项 13/(65913103*611601816470820)，去 http://zh.numberempire.com/numberfactorizer.php 查询素数分解

1625103584130183854559202251387833558457891613 ((65913103*611601816470820)^2+13)  因式分解: 11*1973*231694256231107*323181141137883420358766953  
40312573524028255154471 ((65913103*611601816470820)+11)  因式分解: 13*23*134824660615479114229

可以看出m=11是一个解，
b=23*134824660615479114229=3100967194156019627267
a=(3100967194156019627267*65913103*611601816470820+1)/11=11364360728183103878039480347528656428423711

所以得到一个不包含2的11项的不太大解(3,4,5,7,17,67,23827,53657,65913103，3100967194156019627267，11364360728183103878039480347528656428423711)。

   
如果X=1,其实就是前面的项刚好是一个解的情况,这时候m=1,是一个显然的解,b=Y+1,a=Y*(Y+1)+1。如果Y^2+1不是素数,就有别的解。
     

a(n)表示方程的n项的解数，有znam的问题，z(n)=a(n)-a(n-1)。



https://twitter.com/yuange75
yuange ‏@yuange75  · 5月3日  

∑1/ai+1/Πai=1的整数解还是一个出名的数学问题，不包含2的11项不太大的解(3,4,5,7,17,67,23827,53657,65913103，3100967194156019627267，

11364360728183103878039480347528656428423711）。


http://electronicsandbooks.com/e ... )Walter_Stromquist_

(Editor_in_Chief)._75-Mathematical_Association_of_America(2002).pdf
里面第8页给出了不包含2的13项的解，后面的数实在太大了。   
{3,4,5,7,29,41,67,89701,230865947737,5726348063558735709083,172509500849902989281836693100308633431804359,42859683238578687800337972433342243473337413228849288758851441419652

5736338894723726187,4754717350939481607957800419492385085075824146211772113509986641996660938291241829057128592157690457223767635578617952597534252744929680110197649133558287

624332177380360519}.