智取“黑白配”

小铃铛

看门的把客人送来的橘子都剥了皮，再拿来给主人，还振振有词地说，剥了皮的橘子和原来的橘子是一样的，还“”黑白配“，真太搞笑了！

KeyTo9_Fans

关于$n$轮游戏（$n=0,1,2,...$）最多能胜多少轮，可以参考以下数列：

http://oeis.org/search?q=0%2C0%2 ... glish&go=Search

由于上述数列的定义与楼主的问题不一致，

我猜测楼主的问题对应的数列是一个尚未被收录的新数列，

该数列在第$14$项开始与上述数列不同。

Sirius

这个问题直接处理不太容易，可以先从简单的做起。先考虑5轮赢3轮，7轮赢4轮，8轮赢5轮，9轮赢6轮，最后利用前面的铺垫，13轮赢9轮。题目有点像俄罗斯数学风格。

hujunhua

有些听起来政治正确的东西，过于坚守反而真的很搞笑。楼主如此气盛，想必还年轻，衷心祝愿您品味越长越高上，目光渐行渐远大。

小铃铛

也不脸红。真是无耻无敌

王守恩

下面的策略，算不算犯规，我也不知道。
第 2 轮： B 可以知道，后面的 12 轮只要出同 1 种颜色就能能确保赢取 6 轮。
还剩 6 轮，按 1：1 可以赢取 3 轮。是否允许 B 和 C 先算计好，2 种颜色各代表什么数。

KeyTo9_Fans

王守恩 发表于 2018-4-29 18:11
KeyTo9_Fans！可否给9轮赢取6轮的解法？谢谢！

$9$局胜$6$局的策略如下。

我们用$1$表示黑，用$0$表示白。

除去第$1$局，$A$的出手有$2^8=256$种情况。

如果是以下$128$种情况，那么第$1$局$C$出$1$，否则出$0$：

1.     1: 00101001
   
2.     2: 00101010
   
3.     3: 00110101
   
4.     4: 00110110
   
5.     5: 01001001
   
6.     6: 01001010
   
7.     7: 01010101
   
8.     8: 01010110
   
9.     9: 01100000
   
10.    10: 01100001
    
11.    11: 01100010
    
12.    12: 01100011
    
13.    13: 01100100
    
14.    14: 01100101
    
15.    15: 01100110
    
16.    16: 01100111
    
17.    17: 01101000
    
18.    18: 01101011
    
19.    19: 01101100
    
20.    20: 01101101
    
21.    21: 01101110
    
22.    22: 01101111
    
23.    23: 01110000
    
24.    24: 01110001
    
25.    25: 01110010
    
26.    26: 01110011
    
27.    27: 01110100
    
28.    28: 01110111
    
29.    29: 01111000
    
30.    30: 01111001
    
31.    31: 01111010
    
32.    32: 01111011
    
33.    33: 01111100
    
34.    34: 01111101
    
35.    35: 01111110
    
36.    36: 01111111
    
37.    37: 10001001
    
38.    38: 10001010
    
39.    39: 10010101
    
40.    40: 10010110
    
41.    41: 10100000
    
42.    42: 10100001
    
43.    43: 10100010
    
44.    44: 10100011
    
45.    45: 10100100
    
46.    46: 10100101
    
47.    47: 10100110
    
48.    48: 10100111
    
49.    49: 10101000
    
50.    50: 10101011
    
51.    51: 10101100
    
52.    52: 10101101
    
53.    53: 10101110
    
54.    54: 10101111
    
55.    55: 10110000
    
56.    56: 10110001
    
57.    57: 10110010
    
58.    58: 10110011
    
59.    59: 10110100
    
60.    60: 10110111
    
61.    61: 10111000
    
62.    62: 10111001
    
63.    63: 10111010
    
64.    64: 10111011
    
65.    65: 10111100
    
66.    66: 10111101
    
67.    67: 10111110
    
68.    68: 10111111
    
69.    69: 11000000
    
70.    70: 11000001
    
71.    71: 11000010
    
72.    72: 11000011
    
73.    73: 11000100
    
74.    74: 11000101
    
75.    75: 11000110
    
76.    76: 11000111
    
77.    77: 11001000
    
78.    78: 11001011
    
79.    79: 11001100
    
80.    80: 11001101
    
81.    81: 11001110
    
82.    82: 11001111
    
83.    83: 11010000
    
84.    84: 11010001
    
85.    85: 11010010
    
86.    86: 11010011
    
87.    87: 11010100
    
88.    88: 11010111
    
89.    89: 11011000
    
90.    90: 11011001
    
91.    91: 11011010
    
92.    92: 11011011
    
93.    93: 11011100
    
94.    94: 11011101
    
95.    95: 11011110
    
96.    96: 11011111
    
97.    97: 11100000
    
98.    98: 11100001
    
99.    99: 11100010
    
100.   100: 11100011
     
101.   101: 11100100
     
102.   102: 11100101
     
103.   103: 11100110
     
104.   104: 11100111
     
105.   105: 11101000
     
106.   106: 11101001
     
107.   107: 11101010
     
108.   108: 11101011
     
109.   109: 11101100
     
110.   110: 11101101
     
111.   111: 11101110
     
112.   112: 11101111
     
113.   113: 11110000
     
114.   114: 11110001
     
115.   115: 11110010
     
116.   116: 11110011
     
117.   117: 11110100
     
118.   118: 11110101
     
119.   119: 11110110
     
120.   120: 11110111
     
121.   121: 11111000
     
122.   122: 11111001
     
123.   123: 11111010
     
124.   124: 11111011
     
125.   125: 11111100
     
126.   126: 11111101
     
127.   127: 11111110
     
128.   128: 11111111

复制代码

如果$C$第$1$局出了$1$，那么$B$第$2$、$3$、$4$局都出$1$。

然后$C$在第$2$、$3$、$4$局的出手和结果如下：

1.     1: 00101001, 出001, 赢1局
   
2.     2: 00101010, 出011, 赢1局
   
3.     3: 00110101, 出101, 赢1局
   
4.     4: 00110110, 出111, 赢1局
   
5.     5: 01001001, 出010, 赢1局
   
6.     6: 01001010, 出011, 赢1局
   
7.     7: 01010101, 出110, 赢1局
   
8.     8: 01010110, 出111, 赢1局
   
9.     9: 01100000, 出011, 赢2局
   
10.    10: 01100001, 出011, 赢2局
    
11.    11: 01100010, 出011, 赢2局
    
12.    12: 01100011, 出011, 赢2局
    
13.    13: 01100100, 出011, 赢2局
    
14.    14: 01100101, 出011, 赢2局
    
15.    15: 01100110, 出011, 赢2局
    
16.    16: 01100111, 出011, 赢2局
    
17.    17: 01101000, 出011, 赢2局
    
18.    18: 01101011, 出011, 赢2局
    
19.    19: 01101100, 出111, 赢2局
    
20.    20: 01101101, 出101, 赢1局
    
21.    21: 01101110, 出110, 赢1局
    
22.    22: 01101111, 出111, 赢2局
    
23.    23: 01110000, 出011, 赢2局
    
24.    24: 01110001, 出001, 赢1局
    
25.    25: 01110010, 出010, 赢1局
    
26.    26: 01110011, 出011, 赢2局
    
27.    27: 01110100, 出111, 赢2局
    
28.    28: 01110111, 出111, 赢2局
    
29.    29: 01111000, 出111, 赢2局
    
30.    30: 01111001, 出111, 赢2局
    
31.    31: 01111010, 出111, 赢2局
    
32.    32: 01111011, 出111, 赢2局
    
33.    33: 01111100, 出111, 赢2局
    
34.    34: 01111101, 出111, 赢2局
    
35.    35: 01111110, 出111, 赢2局
    
36.    36: 01111111, 出111, 赢2局
    
37.    37: 10001001, 出100, 赢1局
    
38.    38: 10001010, 出101, 赢1局
    
39.    39: 10010101, 出110, 赢1局
    
40.    40: 10010110, 出111, 赢1局
    
41.    41: 10100000, 出101, 赢2局
    
42.    42: 10100001, 出101, 赢2局
    
43.    43: 10100010, 出101, 赢2局
    
44.    44: 10100011, 出101, 赢2局
    
45.    45: 10100100, 出101, 赢2局
    
46.    46: 10100101, 出101, 赢2局
    
47.    47: 10100110, 出101, 赢2局
    
48.    48: 10100111, 出101, 赢2局
    
49.    49: 10101000, 出101, 赢2局
    
50.    50: 10101011, 出101, 赢2局
    
51.    51: 10101100, 出111, 赢2局
    
52.    52: 10101101, 出011, 赢1局
    
53.    53: 10101110, 出110, 赢1局
    
54.    54: 10101111, 出111, 赢2局
    
55.    55: 10110000, 出101, 赢2局
    
56.    56: 10110001, 出001, 赢1局
    
57.    57: 10110010, 出100, 赢1局
    
58.    58: 10110011, 出101, 赢2局
    
59.    59: 10110100, 出111, 赢2局
    
60.    60: 10110111, 出111, 赢2局
    
61.    61: 10111000, 出111, 赢2局
    
62.    62: 10111001, 出111, 赢2局
    
63.    63: 10111010, 出111, 赢2局
    
64.    64: 10111011, 出111, 赢2局
    
65.    65: 10111100, 出111, 赢2局
    
66.    66: 10111101, 出111, 赢2局
    
67.    67: 10111110, 出111, 赢2局
    
68.    68: 10111111, 出111, 赢2局
    
69.    69: 11000000, 出110, 赢2局
    
70.    70: 11000001, 出110, 赢2局
    
71.    71: 11000010, 出110, 赢2局
    
72.    72: 11000011, 出110, 赢2局
    
73.    73: 11000100, 出110, 赢2局
    
74.    74: 11000101, 出110, 赢2局
    
75.    75: 11000110, 出110, 赢2局
    
76.    76: 11000111, 出110, 赢2局
    
77.    77: 11001000, 出110, 赢2局
    
78.    78: 11001011, 出110, 赢2局
    
79.    79: 11001100, 出111, 赢2局
    
80.    80: 11001101, 出011, 赢1局
    
81.    81: 11001110, 出101, 赢1局
    
82.    82: 11001111, 出111, 赢2局
    
83.    83: 11010000, 出110, 赢2局
    
84.    84: 11010001, 出010, 赢1局
    
85.    85: 11010010, 出100, 赢1局
    
86.    86: 11010011, 出110, 赢2局
    
87.    87: 11010100, 出111, 赢2局
    
88.    88: 11010111, 出111, 赢2局
    
89.    89: 11011000, 出111, 赢2局
    
90.    90: 11011001, 出111, 赢2局
    
91.    91: 11011010, 出111, 赢2局
    
92.    92: 11011011, 出111, 赢2局
    
93.    93: 11011100, 出111, 赢2局
    
94.    94: 11011101, 出111, 赢2局
    
95.    95: 11011110, 出111, 赢2局
    
96.    96: 11011111, 出111, 赢2局
    
97.    97: 11100000, 出111, 赢3局
    
98.    98: 11100001, 出111, 赢3局
    
99.    99: 11100010, 出111, 赢3局
    
100.   100: 11100011, 出111, 赢3局
     
101.   101: 11100100, 出111, 赢3局
     
102.   102: 11100101, 出111, 赢3局
     
103.   103: 11100110, 出111, 赢3局
     
104.   104: 11100111, 出111, 赢3局
     
105.   105: 11101000, 出111, 赢3局
     
106.   106: 11101001, 出111, 赢3局
     
107.   107: 11101010, 出111, 赢3局
     
108.   108: 11101011, 出111, 赢3局
     
109.   109: 11101100, 出111, 赢3局
     
110.   110: 11101101, 出111, 赢3局
     
111.   111: 11101110, 出111, 赢3局
     
112.   112: 11101111, 出111, 赢3局
     
113.   113: 11110000, 出111, 赢3局
     
114.   114: 11110001, 出111, 赢3局
     
115.   115: 11110010, 出111, 赢3局
     
116.   116: 11110011, 出111, 赢3局
     
117.   117: 11110100, 出111, 赢3局
     
118.   118: 11110101, 出111, 赢3局
     
119.   119: 11110110, 出111, 赢3局
     
120.   120: 11110111, 出111, 赢3局
     
121.   121: 11111000, 出111, 赢3局
     
122.   122: 11111001, 出111, 赢3局
     
123.   123: 11111010, 出111, 赢3局
     
124.   124: 11111011, 出111, 赢3局
     
125.   125: 11111100, 出111, 赢3局
     
126.   126: 11111101, 出111, 赢3局
     
127.   127: 11111110, 出111, 赢3局
     
128.   128: 11111111, 出111, 赢3局

复制代码

把赢$1$局的情况挑出来，结果如下：

1.     1: 00101001, 出001, 赢1局
   
2.     2: 00101010, 出011, 赢1局
   
3.     3: 00110101, 出101, 赢1局
   
4.     4: 00110110, 出111, 赢1局
   
5. 
   
6.     5: 01001001, 出010, 赢1局
   
7.     6: 01001010, 出011, 赢1局
   
8.     7: 01010101, 出110, 赢1局
   
9.     8: 01010110, 出111, 赢1局
   
10. 
    
11.    20: 01101101, 出101, 赢1局
    
12.    21: 01101110, 出110, 赢1局
    
13.    24: 01110001, 出001, 赢1局
    
14.    25: 01110010, 出010, 赢1局
    
15. 
    
16.    37: 10001001, 出100, 赢1局
    
17.    38: 10001010, 出101, 赢1局
    
18.    39: 10010101, 出110, 赢1局
    
19.    40: 10010110, 出111, 赢1局
    
20. 
    
21.    52: 10101101, 出011, 赢1局
    
22.    53: 10101110, 出110, 赢1局
    
23.    56: 10110001, 出001, 赢1局
    
24.    57: 10110010, 出100, 赢1局
    
25. 
    
26.    80: 11001101, 出011, 赢1局
    
27.    81: 11001110, 出101, 赢1局
    
28.    84: 11010001, 出010, 赢1局
    
29.    85: 11010010, 出100, 赢1局

复制代码

这些情况$B$都可以根据$A$和$C$的出手，唯一确定$A$在剩余$5$局的出手，从而赢下剩余$5$局，一共赢得$6$局。

把赢$3$局的情况挑出来，结果如下：

1.    97: 11100000, 出111, 赢3局
   
2.    98: 11100001, 出111, 赢3局
   
3.    99: 11100010, 出111, 赢3局
   
4.   100: 11100011, 出111, 赢3局
   
5.   101: 11100100, 出111, 赢3局
   
6.   102: 11100101, 出111, 赢3局
   
7.   103: 11100110, 出111, 赢3局
   
8.   104: 11100111, 出111, 赢3局
   
9.   105: 11101000, 出111, 赢3局
   
10.   106: 11101001, 出111, 赢3局
    
11.   107: 11101010, 出111, 赢3局
    
12.   108: 11101011, 出111, 赢3局
    
13.   109: 11101100, 出111, 赢3局
    
14.   110: 11101101, 出111, 赢3局
    
15.   111: 11101110, 出111, 赢3局
    
16.   112: 11101111, 出111, 赢3局
    
17.   113: 11110000, 出111, 赢3局
    
18.   114: 11110001, 出111, 赢3局
    
19.   115: 11110010, 出111, 赢3局
    
20.   116: 11110011, 出111, 赢3局
    
21.   117: 11110100, 出111, 赢3局
    
22.   118: 11110101, 出111, 赢3局
    
23.   119: 11110110, 出111, 赢3局
    
24.   120: 11110111, 出111, 赢3局
    
25.   121: 11111000, 出111, 赢3局
    
26.   122: 11111001, 出111, 赢3局
    
27.   123: 11111010, 出111, 赢3局
    
28.   124: 11111011, 出111, 赢3局
    
29.   125: 11111100, 出111, 赢3局
    
30.   126: 11111101, 出111, 赢3局
    
31.   127: 11111110, 出111, 赢3局
    
32.   128: 11111111, 出111, 赢3局

复制代码

这些情况只需要在剩余$5$局里赢得$3$局即可，可以轻松达成，一共赢得$6$局。

然后对于赢$2$局的情况，可以按照$A$和$C$的出手，划分如下：

1.     9: 01100000, 出011, 赢2局
   
2.    10: 01100001, 出011, 赢2局
   
3.    11: 01100010, 出011, 赢2局
   
4.    12: 01100011, 出011, 赢2局
   
5.    13: 01100100, 出011, 赢2局
   
6.    14: 01100101, 出011, 赢2局
   
7.    15: 01100110, 出011, 赢2局
   
8.    16: 01100111, 出011, 赢2局
   
9.    17: 01101000, 出011, 赢2局
   
10.    18: 01101011, 出011, 赢2局
    
11.    23: 01110000, 出011, 赢2局
    
12.    26: 01110011, 出011, 赢2局
    
13. 
    
14.    19: 01101100, 出111, 赢2局
    
15.    22: 01101111, 出111, 赢2局
    
16.    27: 01110100, 出111, 赢2局
    
17.    28: 01110111, 出111, 赢2局
    
18.    29: 01111000, 出111, 赢2局
    
19.    30: 01111001, 出111, 赢2局
    
20.    31: 01111010, 出111, 赢2局
    
21.    32: 01111011, 出111, 赢2局
    
22.    33: 01111100, 出111, 赢2局
    
23.    34: 01111101, 出111, 赢2局
    
24.    35: 01111110, 出111, 赢2局
    
25.    36: 01111111, 出111, 赢2局
    
26. 
    
27.    41: 10100000, 出101, 赢2局
    
28.    42: 10100001, 出101, 赢2局
    
29.    43: 10100010, 出101, 赢2局
    
30.    44: 10100011, 出101, 赢2局
    
31.    45: 10100100, 出101, 赢2局
    
32.    46: 10100101, 出101, 赢2局
    
33.    47: 10100110, 出101, 赢2局
    
34.    48: 10100111, 出101, 赢2局
    
35.    49: 10101000, 出101, 赢2局
    
36.    50: 10101011, 出101, 赢2局
    
37.    55: 10110000, 出101, 赢2局
    
38.    58: 10110011, 出101, 赢2局
    
39. 
    
40.    51: 10101100, 出111, 赢2局
    
41.    54: 10101111, 出111, 赢2局
    
42.    59: 10110100, 出111, 赢2局
    
43.    60: 10110111, 出111, 赢2局
    
44.    61: 10111000, 出111, 赢2局
    
45.    62: 10111001, 出111, 赢2局
    
46.    63: 10111010, 出111, 赢2局
    
47.    64: 10111011, 出111, 赢2局
    
48.    65: 10111100, 出111, 赢2局
    
49.    66: 10111101, 出111, 赢2局
    
50.    67: 10111110, 出111, 赢2局
    
51.    68: 10111111, 出111, 赢2局
    
52. 
    
53.    69: 11000000, 出110, 赢2局
    
54.    70: 11000001, 出110, 赢2局
    
55.    71: 11000010, 出110, 赢2局
    
56.    72: 11000011, 出110, 赢2局
    
57.    73: 11000100, 出110, 赢2局
    
58.    74: 11000101, 出110, 赢2局
    
59.    75: 11000110, 出110, 赢2局
    
60.    76: 11000111, 出110, 赢2局
    
61.    77: 11001000, 出110, 赢2局
    
62.    78: 11001011, 出110, 赢2局
    
63.    83: 11010000, 出110, 赢2局
    
64.    86: 11010011, 出110, 赢2局
    
65. 
    
66.    79: 11001100, 出111, 赢2局
    
67.    82: 11001111, 出111, 赢2局
    
68.    87: 11010100, 出111, 赢2局
    
69.    88: 11010111, 出111, 赢2局
    
70.    89: 11011000, 出111, 赢2局
    
71.    90: 11011001, 出111, 赢2局
    
72.    91: 11011010, 出111, 赢2局
    
73.    92: 11011011, 出111, 赢2局
    
74.    93: 11011100, 出111, 赢2局
    
75.    94: 11011101, 出111, 赢2局
    
76.    95: 11011110, 出111, 赢2局
    
77.    96: 11011111, 出111, 赢2局

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由于这$6$组划分是同构的，因此解决其中$1$组即可，不妨以这组为例：

1.     9: 01100000, 出011, 赢2局
   
2.    10: 01100001, 出011, 赢2局
   
3.    11: 01100010, 出011, 赢2局
   
4.    12: 01100011, 出011, 赢2局
   
5.    13: 01100100, 出011, 赢2局
   
6.    14: 01100101, 出011, 赢2局
   
7.    15: 01100110, 出011, 赢2局
   
8.    16: 01100111, 出011, 赢2局
   
9.    17: 01101000, 出011, 赢2局
   
10.    18: 01101011, 出011, 赢2局
    
11.    23: 01110000, 出011, 赢2局
    
12.    26: 01110011, 出011, 赢2局

复制代码

对于这组划分，$B$在第$5$、$6$局出$0$，

然后$C$在第$5$、$6$局的出手和结果如下：

1.     9: 01100000, 出00, 赢4局
   
2.    10: 01100001, 出00, 赢4局
   
3.    11: 01100010, 出00, 赢4局
   
4.    12: 01100011, 出00, 赢4局
   
5.    13: 01100100, 出00, 赢4局
   
6.    14: 01100101, 出10, 赢3局
   
7.    15: 01100110, 出01, 赢3局
   
8.    16: 01100111, 出00, 赢4局
   
9.    17: 01101000, 出00, 赢3局
   
10.    18: 01101011, 出01, 赢3局
    
11.    23: 01110000, 出00, 赢3局
    
12.    26: 01110011, 出10, 赢3局

复制代码

把赢$3$局的情况挑出来，结果如下：

1.    14: 01100101, 出10, 赢3局
   
2.    15: 01100110, 出01, 赢3局
   
3.    17: 01101000, 出00, 赢3局
   
4.    18: 01101011, 出01, 赢3局
   
5.    23: 01110000, 出00, 赢3局
   
6.    26: 01110011, 出10, 赢3局

复制代码

这些情况$B$都可以根据$A$和$C$的出手，唯一确定$A$在剩余$3$局的出手，从而赢下剩余$3$局，一共赢得$6$局。

然后对于赢$4$局的情况：

1.     9: 01100000, 出00, 赢4局
   
2.    10: 01100001, 出00, 赢4局
   
3.    11: 01100010, 出00, 赢4局
   
4.    12: 01100011, 出00, 赢4局
   
5.    13: 01100100, 出00, 赢4局
   
6.    16: 01100111, 出00, 赢4局

复制代码

由于$A$和$C$的出手都是$00$，不能进一步划分了，于是$B$在第$7$局一律出$0$，

然后对于以下情况，$C$在第$7$局也出$0$，于是又可以赢下$1$局：

1.     9: 01100000, 出0, 赢5局
   
2.    10: 01100001, 出0, 赢5局
   
3.    11: 01100010, 出0, 赢5局
   
4.    12: 01100011, 出0, 赢5局

复制代码

然后剩余$2$局还可以赢下$1$局，一共赢得$6$局。

而对于以下情况，第$7$局会输：

1.    13: 01100100, 出0, 赢4局
   
2.    16: 01100111, 出1, 赢4局

复制代码

但是$C$可以在第$7$局传递$1$个信号，用来指示最后$2$局$A$是$00$还是$11$，然后赢下最后$2$局，一共赢得$6$局。

其余$5$组划分类似解决。

如果$C$在第$1$局出了$0$，那么对应$A$的另外$128$种情况是同构的，类似解决即可。

综上所述，$B$和$C$对于$A$在$9$局里所有可能的出手都可以赢下$6$局。

KeyTo9_Fans

对于$13$局赢$9$局的问题，我的猜想是无解。

证明无解的大致思路如下：

如果$1$局都不能输，那么只能解决掉$1$种情况。

如果$n$局可以输$1$局，那么这局可以输在$n$个位置的任意一个位置，并且可以传递$1$个信号，用于区分后续的$2$种情况，于是一共可以解决掉$2n$种情况。

如果可以输$2$局，那么枚举第$1$局所输的位置，并枚举传递的信号如何划分剩余情况，使得划分后的情况符合只输$1$局的特征，从而得出$n$局可以输$2$局可以解决的情况数的通项公式。

在此基础上继续推导输$3$局、输$4$局可以解决的情况数的通项公式。

最后得出$13$局输$4$局能解决的情况数不足$2^12=4096$种，从而得出无解的结论。

#####

严格证明如下：

如果$1$局都不能输，那么只能解决掉$1$种情况。

如果$n$局可以输$1$局，那么这局可以输在$n$个位置的任意一个位置，并且可以传递$1$个信号，用于区分后续的$2$种情况，于是一共可以解决掉$2n$种情况。

设$n$局可以输$2$局能解决的情况数是$f_2(n)$，

那么：

如果要拿下第$1$局，那么就会去到$(n-1)$局可以输$2$局的局面，可以解决掉$f_2(n-1)$种情况；

如果不拿下第$1$局，那么就可以传递$1$个信号，把剩余情况一分为二，变成$2$组$(n-1)$局可以输$1$局的情况，一共可以解决掉$2*2(n-1)$种情况；

于是从$f_2(5)=2^5=32$开始，可以推导出$f_2(6)=52$，$f_2(7)=76$，$f_2(8)=104$，$f_2(9)=136$，$f_2(10)=172$，$f_2(11)=212$，$f_2(12)=256$。

设$n$局可以输$3$局能解决的情况数是$f_3(n)$，

那么：

如果要拿下第$1$局，那么就会去到$(n-1)$局可以输$3$局的局面，可以解决掉$f_3(n-1)$种情况；

如果不拿下第$1$局，那么就可以传递$1$个信号，把剩余情况一分为二，变成$2$组$(n-1)$局可以输$2$局的情况，一共可以解决掉$2*f_2(n-1)$种情况；

于是从$f_3(8)=2^8=256$开始，可以推导出$f_3(9)=464$，$f_3(10)=736$，$f_3(11)=1080$，$f_3(12)=1504$。

当局数为$13$时，

由于第$1$局不可能拿下，只能用来传递信号，把其余$12$局的$2^12=4096$种情况一分为二，变成$2$组$12$局可以输$3$局的情况。

而$12$局可以输$3$局最多只能解决掉$f_3(12)=1504$种情况，因此$2$组$12$局可以输$3$局的局面最多只能解决掉$2*1504=3008$种情况，不足$2^12=4096$种。

因此$13$局赢$9$局无解。

#####

上述推理有误，重新打表，结果如下：

1.    n 1 2  3  4  5  6   7   8   9  10   11   12   13
   
2. f0(n) 1 1 1  1  1  1   1   1   1   1    1    1    1
   
3. f1(n) 2 4 6  9 12 15  18  21  24  27   30   33   36
   
4. f2(n) 2 4 8 16 32 56  94 148 211 283  364  454  553
   
5. f3(n) 2 4 8 16 32 64 128 256 512 934 1590 2682 4044

复制代码

由于$f_3(12)=2682\geq 2048$，因此$12$局输$3$局能解决的情况数量是足够的，不能证明$13$局赢$9$局无解。

但是能解决的情况数量足够不代表可以覆盖$A$所有可能的出手，

需要仔细分配，使得重复部分不能太多，才可以覆盖掉$A$所有可能的出手。

而$f_3(13)=4044<4096$，因此可以证明$14$局赢$10$局无解，楼主的数列是新数列，从第$14$项开始与参考数列不一样。

#####

把表格扩大，结果如下：

1.    n  1 2 3  4  5  6   7   8   9   10   11   12   13    14    15    16    17     18
   
2. f0(n) 1 1 1  1  1  1   1   1   1    1    1    1    1     1     1     1     1      1
   
3. f1(n) 2 4 6  9 12 15  18  21  24   27   30   33   36    39    42    45    48     51
   
4. f2(n) 2 4 8 16 32 56  94 148 211  283  364  454  553   661   778   904  1039   1183
   
5. f3(n) 2 4 8 16 32 64 128 256 512  934 1590 2682 4044  5703  7686 10020 12732  15849
   
6. f4(n) 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 2048 4096 8192 16280 27790 48140 78200 116396

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由于$f_4(17)=78200\geq 65536$，因此该问题的下一个难点是$18$局赢$13$局。

由于$f_4(18)=116396<131072$，由此可以知道$19$局是不可能赢$14$局的。

由此可以猜测该数列的前$20$项如下：

1.   n  0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
   
2. a(n) 0 0 1 1 2 3 3 4 5 6  6  7  8  9  9 10 11 12 13 13 14

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继续把表格扩大，得到$n$局赢$a_n$局的上界如下：

1. n an
   
2. 2 1
   
3. 5 3
   
4. 9 6
   
5. 13 9
   
6. 18 13
   
7. 23 17
   
8. 28 21
   
9. 33 25
   
10. 38 29
    
11. 43 33
    
12. 48 37
    
13. 53 41
    
14. 58 45
    
15. 63 49
    
16. 68 53
    
17. 73 57
    
18. 78 61
    
19. 83 65
    
20. 88 69
    
21. 94 74
    
22. 99 78
    
23. 104 82
    
24. 109 86
    
25. 114 90
    
26. 119 94
    
27. 125 99
    
28. 130 103
    
29. 135 107
    
30. 140 111
    
31. 145 115
    
32. 150 119
    
33. 156 124
    
34. 161 128
    
35. 166 132
    
36. 171 136
    
37. 176 140
    
38. 182 145
    
39. 187 149
    
40. 192 153
    
41. 197 157
    
42. 203 162
    
43. 208 166
    
44. 213 170
    
45. 218 174
    
46. 223 178
    
47. 229 183
    
48. 234 187
    
49. 239 191
    
50. 244 195
    
51. 250 200
    
52. 255 204
    
53. 260 208
    
54. 265 212
    
55. 270 216
    
56. 276 221
    
57. 281 225
    
58. 286 229
    
59. 291 233
    
60. 297 238
    
61. 302 242
    
62. 307 246
    
63. 312 250
    
64. 318 255
    
65. 323 259
    
66. 328 263
    
67. 333 267
    
68. 339 272
    
69. 344 276
    
70. 349 280
    
71. 354 284
    
72. 359 288
    
73. 365 293
    
74. 370 297
    
75. 375 301
    
76. 380 305
    
77. 386 310
    
78. 391 314
    
79. 396 318
    
80. 401 322
    
81. 407 327
    
82. 412 331
    
83. 417 335
    
84. 422 339
    
85. 428 344
    
86. 433 348
    
87. 438 352
    
88. 443 356
    
89. 449 361
    
90. 454 365
    
91. 459 369
    
92. 464 373
    
93. 470 378
    
94. 475 382
    
95. 480 386
    
96. 485 390
    
97. 491 395
    
98. 496 399
    
99. 501 403
    
100. 506 407
     
101. 512 412
     
102. 517 416
     
103. 522 420
     
104. 527 424
     
105. 533 429
     
106. 538 433
     
107. 543 437
     
108. 548 441
     
109. 554 446
     
110. 559 450
     
111. 564 454
     
112. 570 459
     
113. 575 463
     
114. 580 467
     
115. 585 471
     
116. 591 476
     
117. 596 480
     
118. 601 484
     
119. 606 488
     
120. 612 493
     
121. 617 497
     
122. 622 501
     
123. 627 505
     
124. 633 510
     
125. 638 514
     
126. 643 518
     
127. 648 522
     
128. 654 527
     
129. 659 531
     
130. 664 535
     
131. 669 539
     
132. 675 544
     
133. 680 548
     
134. 685 552
     
135. 690 556
     
136. 696 561
     
137. 701 565
     
138. 706 569
     
139. 712 574
     
140. 717 578
     
141. 722 582
     
142. 727 586
     
143. 733 591
     
144. 738 595
     
145. 743 599
     
146. 748 603
     
147. 754 608
     
148. 759 612
     
149. 764 616
     
150. 769 620
     
151. 775 625
     
152. 780 629
     
153. 785 633
     
154. 790 637
     
155. 796 642
     
156. 801 646
     
157. 806 650
     
158. 812 655
     
159. 817 659
     
160. 822 663
     
161. 827 667
     
162. 833 672
     
163. 838 676
     
164. 843 680
     
165. 848 684
     
166. 854 689
     
167. 859 693
     
168. 864 697
     
169. 869 701
     
170. 875 706
     
171. 880 710
     
172. 885 714
     
173. 890 718
     
174. 896 723
     
175. 901 727
     
176. 906 731
     
177. 912 736
     
178. 917 740
     
179. 922 744
     
180. 927 748
     
181. 933 753
     
182. 938 757
     
183. 943 761
     
184. 948 765
     
185. 954 770
     
186. 959 774
     
187. 964 778
     
188. 969 782
     
189. 975 787
     
190. 980 791
     
191. 985 795
     
192. 991 800
     
193. 996 804

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由于能解决的情况数不够就一定无解，因此把上表所列的$n$局赢$a_n$局改成$(n+1)$局赢$(a_n+1)$局后一定无解，

也就是$3$局赢$2$局、$6$局赢$4$局、$10$局赢$7$局、$14$局赢$9$局、$19$局赢$14$局、$24$局赢$18$局、……、一定无解。

但是能解决情况数足够只是有解的必要条件，能否凑出$A$所有可能的出手，还需要进一步验证。

王守恩

KeyTo9_Fans 发表于 2018-5-2 16:23
对于$13$局赢$9$局的问题，我的猜想是无解。

证明无解的大致思路如下：

根据你12楼给出的链接，我猜测链接数列规律可能是这样，
5 局赢 3 局
9 局赢 6 局
14局赢10局
20局赢15局
27局赢21局
35局赢28局
44局赢36局
54局赢45局
65局赢55局
77局赢66局
90局赢78局
问题：
1， 14 局赢 10 局比 13 局赢 9 局还难，
2，反复利用 3 局赢 2 局的方案是不够的
3，要不，就是给出的链接有问题。

小铃铛

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