智取“黑白配”

KeyTo9_Fans

$13$局赢$9$局能成，但是策略比$9$局赢$6$局复杂多了，要分很多情况讨论。

大致方案如下。

第$1$局用来传递信号，以后每$3$局为一组，一共$4$组。

按照$2$楼的套路，第$1$局$C$出什么，$B$在第$2$、$3$、$4$局就跟着出什么。

如果$B$按照$C$的提示，在第$2$、$3$、$4$局里面的某局与$A$的出手不同，$C$就利用这局提示$B$在下一组的$3$局里出什么，依次类推。

我们按照$A$在$4$组里的出手，将所有情况分类如下。

$1$、第$1$组的$3$次出手相同。

$2$、第$1$组的$3$次出手不同，第$2$组的$3$次出手相同。

$3$、第$1$组的$3$次出手不同，第$2$组的$3$次出手不同，第$3$组的$3$次出手相同。

$4$、第$1$组的$3$次出手不同，第$2$组的$3$次出手不同，第$3$组的$3$次出手不同，第$4$组的$3$次出手相同。

$5$、第$1$组的$3$次出手不同，第$2$组的$3$次出手不同，第$3$组的$3$次出手不同，第$4$组的$3$次出手不同。

然后分别解决之：

情况$1$在前$4$局里拿下了$3$局，只需要在后$9$局里拿下$6$局即可，走$17$楼的流程就可以解决。

情况$2$在前$7$局里拿下了$5$局，需要在后$6$局里拿下$4$局，而$6$局赢$4$局是无解的，需要用特殊的手段解决。

情况$3$在前$10$局里拿下了$7$局，需要在后$3$局里拿下$2$局，而$3$局赢$2$局是无解的，需要用特殊的手段解决。

情况$4$在$13$局里拿下了$9$局，已解决。

情况$5$在$13$局里只能拿下$8$局，需要用特殊的手段解决。

也就是说，如果遇到情况$1$和情况$4$，$C$只要按套路出手即可，

但是如果遇到了情况$2$、$3$、$5$，$C$就不能按套路出手了。

我们接下来讨论这些情况如何不按套路出手。

按照套路，情况$2$在前$7$局里可以拿下$5$局，需要在后$6$局里拿下$4$局，

而$6$局赢$4$局只能解决掉$f_2(6)=56$种情况，还差$2^6-56=8$种情况不能赢下$4$局。

于是如果遇到$6$局不能赢下$4$局的$8$种情况，$C$就在本来可以赢下第$2$组的$3$局的情况下，故意不按套路出手，输掉其中的$1$局或$2$局。

然后$B$看到$C$在本来能赢的$3$局里故意出相反的手输掉后，就知道后面的$6$局是无法赢下$4$局的$8$种特殊情况。

而故意输掉$2$局有$3$种输法，分别对应$8$种特殊情况里的$3$种。

于是$B$和$C$在第$1$组赢$2$局、第$2$组只赢$1$局的不利局面下，锁定了最后$6$局，一共赢得$9$局。

而故意输掉$1$局也有$3$种输法，分别对应$8$种特殊情况里的其余$5$种，其中$1$种输法对应$1$种特殊情况，另外$2$种输法各对应$2$种特殊情况。

于是$B$和$C$在第$1$组赢$2$局、第$2$组赢$2$局的局面下，将最后$6$局锁定在了$2$种特殊情况里。

于是最后$6$局利用第$1$局区分$2$种情况，然后赢下最后$5$局，一共赢得$9$局。

于是情况$2$就解决掉了。

按照套路，情况$3$在前$10$局里可以拿下$7$局，需要在后$3$局里拿下$2$局。

而$3$局赢$2$局只能解决掉$f_1(3)=6$种情况，还差$2^3-6=2$种情况不能赢下$2$局。

于是如果遇到$3$局不能赢下$2$局的$2$种特殊情况，$C$就在本来可以赢下第$3$组的$3$局的情况下，故意不按套路出手，输掉其中的$1$局，但是不能在第$3$组的第$1$局里故意输掉，这种输法后面还要利用。

故意在第$3$组的第$2$局输掉表示第$1$种特殊情况，故意在第$3$组的第$3$局输掉表示第$2$种特殊情况。

于是$B$和$C$在第$1$组赢$2$局、第$2$组赢$2$局、第$3$组赢$2$局的局面下，锁定了最后$3$局，一共赢得$9$局。

于是情况$3$就解决掉了。

按照套路，情况$5$只能拿下$8$局，需要特殊手段赢下$9$局。

于是如果遇到了情况$5$，$C$在前$2$组通过以下各种不按套路的出手，告诉$B$后$2$组$A$的出手在哪个位置不同。

故意输掉第$1$组本来可以赢的$2$局里的前面那局：第$3$组$A$在第$1$个位置不同，第$4$组$A$在第$1$个位置不同。

故意输掉第$1$组本来可以赢的$2$局里的后面那局：第$3$组$A$在第$1$个位置不同，第$4$组$A$在第$2$个位置不同。

故意输掉第$2$组本来可以赢的$2$局里的前面那局：第$3$组$A$在第$1$个位置不同，第$4$组$A$在第$3$个位置不同。

故意输掉第$2$组本来可以赢的$2$局里的后面那局：第$3$组$A$在第$2$个位置不同，第$4$组$A$在第$1$个位置不同。

第$1$局$C$故意传递错误的信息给$B$，让$B$在第$1$组的$3$局里出了相反的手，本来能赢$2$局却只赢下$1$局，并且额外输掉的那局$C$出了$0$：第$3$组$A$在第$2$个位置不同，第$4$组$A$在第$2$个位置不同。

第$1$局$C$故意传递错误的信息给$B$，让$B$在第$1$组的$3$局里出了相反的手，本来能赢$2$局却只赢下$1$局，并且额外输掉的那局$C$出了$1$：第$3$组$A$在第$2$个位置不同，第$4$组$A$在第$3$个位置不同。

第$2$、$3$、$4$局$C$故意传递错误的信息给$B$，让$B$在第$2$组的$3$局里出了相反的手，本来能赢$2$局却只赢下$1$局，并且额外输掉的那局$C$出了$0$：第$3$组$A$在第$3$个位置不同，第$4$组$A$在第$1$个位置不同。

第$2$、$3$、$4$局$C$故意传递错误的信息给$B$，让$B$在第$2$组的$3$局里出了相反的手，本来能赢$2$局却只赢下$1$局，并且额外输掉的那局$C$出了$1$：第$3$组$A$在第$3$个位置不同，第$4$组$A$在第$2$个位置不同。

前$2$组都按套路出手了，但到了第$3$组却不按套路出手，故意输掉第$3$组的第$1$局：第$3$组$A$在第$3$个位置不同，第$4$组$A$在第$3$个位置不同。

于是情况$5$本来只能拿下$8$局的，但是$C$故意牺牲掉$1$局，挽回了本来要输掉的$2$局，最终拿下了$9$局。

于是情况$5$也解决了。

综上所述，无论遇到多么糟糕的情况，$13$局都能保证赢下$9$局。

#####

虽说是“大致方案”，实际上就差以下$2$个小问题没有交代清楚了：

问题$1$：$3$局去掉$2$种特殊情况后，剩余的$6$种情况如何赢得$2$局？

答：去掉$101$和$110$后，剩余以下$6$种情况：

$000$、$001$、$010$、$011$、$100$、$111$。

约定第$1$局$B$出$0$，于是前$4$种情况就拿下了第$1$局，然后就变成$2$局赢$1$局的局面，轻松解决。

而后$2$种情况会输掉第$1$局，但是第$1$局$C$出$0$表示$100$，出$1$表示$111$，于是后$2$局就拿下了。

所以去掉$101$和$110$后，$3$局就可以赢$2$局了。

问题$2$：$6$局去掉$8$种特殊情况后，剩余的$56$种情况如何赢得$4$局？

答：去掉$101100$、$101101$、$101110$、$101111$、$110000$、$110001$、$110010$、$110011$后，剩余$56$种情况。

约定第$1$局$B$出$0$，于是$0$开头的$32$种情况就拿下了第$1$局，然后就变成$5$局赢$3$局的局面，轻松解决。

而$1$开头的$24$种情况会输掉第$1$局，此时：

第$1$局$C$出$0$表示以下$12$种情况：

$100000$
$100001$
$100010$
$100011$
$100100$
$100101$
$100110$
$100111$
$101000$
$101001$
$110100$
$110101$

第$1$局$C$出$1$表示以下$12$种情况：

$111111$
$111110$
$111101$
$111100$
$111011$
$111010$
$111001$
$111000$
$110111$
$110110$
$101011$
$101010$

以上$24$种情况由于输掉了第$1$局，因此在后$5$局里最多只能输$1$局。

由于$2$组情况是同构的，解决其中$1$组即可，另$1$组类似解决。

不妨以第$1$组为例：

$100000$
$100001$
$100010$
$100011$
$100100$
$100101$
$100110$
$100111$
$101000$
$101001$
$110100$
$110101$

约定第$2$局$B$出$0$，然后这$2$种情况$C$出$1$，输掉第$2$局：

$100101$
$110101$

然后就锁定了后$4$局，可以全部拿下，一共赢得$4$局。

而这$10$种情况$C$出$0$：

$100000$
$100001$
$100010$
$100011$
$100100$
$100110$
$100111$
$101000$
$101001$
$110100$

于是最后$1$种情况会输掉第$2$局，但是锁定了后$4$局，可以全部拿下，一共赢得$4$局。

而这$9$种情况均可拿下第$2$局：

$100000$
$100001$
$100010$
$100011$
$100100$
$100110$
$100111$
$101000$
$101001$

然后约定第$3$局$B$出$0$，然后这$2$种情况$C$出$1$，输掉第$3$局：

$100110$
$101001$

然后$B$可以根据$A$在第$3$局的出手锁定最后$3$局，然后全部拿下，一共赢得$4$局。

而这$7$种情况$C$出$0$：

$100000$
$100001$
$100010$
$100011$
$100100$
$100111$
$101000$

于是最后$1$种情况会输掉第$3$局，但是锁定了后$3$局，可以全部拿下，一共赢得$4$局。

而这$6$种情况均可拿下第$3$局：

$100000$
$100001$
$100010$
$100011$
$100100$
$100111$

于是就变成了$3$局赢$2$局的$6$种情况，也就是和问题$1$完全一样了，走问题$1$的流程即可解决。

于是$6$局去掉$8$种特殊情况后，剩余的$56$种情况都可以赢得$4$局。

以上就是$13$局赢$9$局的详细解答，不知道楼主对这个解决方案是否满意？

aimisiyou

似懂非懂。以不变应万变。

小铃铛

KeyTo9_Fans 发表于 2018-5-2 15:57
$9$局胜$6$局的策略如下。

我们用$1$表示黑，用$0$表示白。

17楼中，9赢6分6组时只讨论了第一组，你说是同构的。我先看了第6组，情况如下：

   79: 11001100, 出111, 赢2局
   82: 11001111, 出111, 赢2局
   87: 11010100, 出111, 赢2局
   88: 11010111, 出111, 赢2局
   89: 11011000, 出111, 赢2局
   90: 11011001, 出111, 赢2局
   91: 11011010, 出111, 赢2局
   92: 11011011, 出111, 赢2局
   93: 11011100, 出111, 赢2局
   94: 11011101, 出111, 赢2局
   95: 11011110, 出111, 赢2局
   96: 11011111, 出111, 赢2局

其中的90,91，C出111后赢2轮，后一组C怎么出？

王守恩

小铃铛 发表于 2018-5-15 11:06
17楼中，9赢6分6组时只讨论了第一组，你说是同构的。我先看了第6组，情况如下：

   79: 11001100, 出 ...

B,C事先约定：主线是B跟着A的感觉走(或者是反着A的感觉走)，C的信息只起辅助作用。从第1轮起就给A一个压力。
题目没规定第1轮B,C是必输的，譬如：主线是B跟着A的感觉走，当B第1轮第2轮出现相同数字时，已经赢了第1轮了。
我想看看标准答案如何，期待出现更妙的解法。
倒过来想：BC把事先约定好的方案告诉A，让A无牌可出。所谓压力是说让A能出的牌数量越小越好。

小铃铛

小铃铛 发表于 2018-5-15 11:06
17楼中，9赢6分6组时只讨论了第一组，你说是同构的。我先看了第6组，情况如下：

   79: 11001100, 出 ...

我针对A的01101XXX形式来核对后，发现其中有2个不在其中：
01101001
01101010
应该是在另128个中。
也就是B的234出0，C用001,010，000中2个组合来赢1轮并指示后5轮为01001或01010
这里C貌似还有一个剩余组合可用，对吗？

小铃铛

9赢6有比较直观和明瞭的解法，常规分组是1,234,567,89和1,234,5678,9.
但为了理解KEYTO9的13赢9解法，不得不先去理解其9赢6的思路。
简易解法中，其关键是有关6赢4，也就是一个信息+5赢4中还缺几个消息，用增加组数来弥补，9赢6就是用增加一组三轮来完成的，就是   信息+3赢2（6赢4），从而完成9赢6，但到13轮方法似乎行不太通了。

小铃铛

KeyTo9_Fans 发表于 2018-5-4 23:27
$13$局赢$9$局能成，但是策略比$9$局赢$6$局复杂多了，要分很多情况讨论。

大致方案如下。

我看了您的13赢9的解法的前部分。有点疑惑。
提到的第2种情况的6赢4解法，6轮是8,9ab,cd
对于6赢4来说，会有8种情况无法被覆盖，即：
9ab,cd
101,01
101,10
010,01
010,10
011,01
011,10
100,01
100,10
这里的第8轮是作为输轮提供信息用的。借用567轮输2轮或一轮是可以提供8种不同的消息
但是输2轮后前7赢3，后面6轮得全赢，可以拿定最后的5轮，但第8轮任然没法确保。
也就是说8种例外情况是最后5轮的8种。是否可以指点一下。

小铃铛

游戏中的关键策略
-----------------
X+5轮(Y4轮)策略：
5轮轮号：234,56

X表示C明确指出234轮B该连续出的数字的信息,%表示2个互不相同的数字,&表示2个相同的数字
O表示和X相反的数字，Y表示赢：
1. A234=XXX      
   C234=XXX       =>Y3+2Y1=Y4

2. A234=XXO A56=&
   C234=XX&       =>Y2+Y2=Y4

3. A234=XXO A56=%
   C234=OXO       =>C第2轮减赢，提示A234=XXO,A56=XO,Y3456轮，Y4

4. A234=XXO A56=%
   C234=XOO       =>C第3轮减赢，提示A234=XXO,A56=OX,Y2456轮，Y4

5. A234=XOX A56=&
   C234=X&X       =>Y2+Y2=Y4

6. A234=OXX A56=&
   C234=&XX       =>Y2+Y2=Y4

至此，B还需要2个消息来获知A234=XOX,A56=%和A234=OXX,A56=%，这就是6赢4无法完成的原因。
在后5轮前加上一组3轮游戏，C就能通过在其中减赢来传递出2个消息，表示后5轮的这2种形式，从而达成Y5,后5轮从Y4变为Y5,多出一轮弥补上了减赢的这一轮。这就是9赢6的基本策略。

在13赢9中，需要减赢组的提示同时或者同步影响后2组中B的选择，这样才能确保完成任务。

小铃铛

13Y9:  分组  1,234,5678,9abc,d
A在后12轮中共有4096种选择，其中高3位相同的有1024种，可以达成3+9Y6,所以还剩3072种
其中高3位2:1，接着4位相同的有384种，可以达成2+4+5Y3,所以还剩2688种
其中高3位2:1，接着4位是3:1，后5位是3:1+1的有768种，可以达成2+3+3+1，所以还剩1920种
其中高3位2:1，接着4位是3:1，后5位是4:0+1的有192种，可以达成2+3+4,所以还剩1728种
其中高3位2:1，接着4位是2:2，后5位是4:0+1的有144种，可以达成2+2+4+1,所以还剩1584种

1584种中只包含了下面三种类型：
一.高3位2:1，接着4位是3:1，后5位是2:2+1的有576种
二.高3位2:1，接着4位是2:2，后5位是3:1+1的有576种
三.高3位2:1，接着4位是2:2，后5位是2:2+1的有432种

2:2的形式可分3种：eeff,efef,effe（ef=10或01）.针对eeff形式来说：

在一.中即：高3位2:1，接着4位是3:1，后5位是eeff+d。
这种类型C只需在第9轮和第10轮减赢1轮，以表示后5轮=eeff+d，用减赢轮次的不同来提示不同的d就可以了，2+3+3+1=9，即可再排除192种
在二.中即：高3位2:1，接着4位是2:2，后5位是3:1+1
这种类型C只需在5678=eeff时在第5,6轮减赢1轮，            从而拿定3轮，同时指示出9abc，后面就能获取3+1，即 2+3+3+1=9，可再排除192种
        C只需在5678=efef时在第234轮减赢1轮，            从而拿定4轮，同时指示出9abc，后面就能获取3+1，即 1+4+3+1=9，可再排除192种
        C只需在5678=effe时在第234轮利用反信息来减赢1轮，从而拿定4轮，同时指示出9abc，后面就能获取3+1，即 1+4+3+1=9，可再排除192种
在三.中即：高3位2:1，接着4位是2:2，后5位是2:2+1
这种类型C只需在9abc=eeff时，5678的2:2通过1种和234轮的2种不同的减赢手法，最终拿定前8轮中的5轮并提供出一个信息，这个信息用来指向9abc=eeff中的e，
这个手法会和上面的9abc=3:1时不同，C会在第9，a轮减赢一轮，从而拿定9abc中的3轮加d轮，即5+3+1=9，可可再排除144种

小计：还可以排除144+192X4=912种，还剩下672种，其中包括下面几种类型：

一.高3位2:1，接着4位是3:1，后5位是efef+d或后5位是effe+d的有384种
二.高3位2:1，接着4位是2:2，后5位是efef+d或后5位是effe+d的有288种

接着就是13赢9的关键，如何让减赢等效影响后2组中B的选择

小铃铛

先来总结一下游戏中已经用到的减赢手法：
1.利用反信息减赢：当C指示出B下一组连续X的时候，对3轮组来说A应该有两次出X，但实际上A只有一次X，C的这种错误可以提供给B一个额外的消息，同时利用2轮错轮多提示出1个信息。

2.普通减赢：在B,A的数字相同，同为X时，C选择O,放弃1轮，这能提供给B一个额外的消息，同时利用减赢轮在组内的先后来给出一个确定的信息，加以弥补减赢的影响。

接着来总结上楼已经使用减赢手段的类型，以便避免后面的使用中产生重复，B不可分辨的现象：
分组：    1,234,5678,9abc,d

1. A234=2:1,A5678=3:1,A9abc=eeff,d         C只在第9轮或第a轮减赢1轮----J1

2. A234=2:1,A5678=eeff,A9abc=3:1           C只在第5轮或第6轮减赢1轮-----J2

3. A234=2:1,A5678=efef,A9abc=3:1           C只在第2,3,4轮减赢1轮--------J3

4. A234=2:1,A5678=effe,A9abc=3:1           C只在第2,3,4轮反信息减赢1轮--J4

5. A234=2:1,A5678=2:2,A9abc=eeff           C使用J1+J2,J1+J3,J1+J4各一次

下面可以考虑如何解决剩下的两种类型了。