数学研发论坛

 找回密码
 欢迎注册
查看: 640|回复: 86

[讨论] 椭球面和三正交切线

[复制链接]
发表于 2018-11-26 15:01:13 | 显示全部楼层 |阅读模式

马上注册,结交更多好友,享用更多功能,让你轻松玩转社区。

您需要 登录 才可以下载或查看,没有帐号?欢迎注册

x
已知椭球面 $S$,其方程为 $x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2=1$,$l_1$、$l_2$、$l_3$ 是 $S$ 的切线,$l_1$、$l_2$、$l_3$ 两两互相垂直且相交于点 $P$,那么 $P$ 是否存在?若存在,求点 $P$ 形成的轨迹方程。
精华
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2018-11-26 15:02:02 | 显示全部楼层
这个问题我还没能得到结果,估计不是简单的。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2018-11-26 16:07:28 | 显示全部楼层
连续的凸曲面在某个点某个方向的切线是唯一的,都在这一点的切平面上,不可能在某一点三条切线互相垂直吧?
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2018-11-26 17:05:03 | 显示全部楼层
lsr314 发表于 2018-11-26 16:07
连续的凸曲面在某个点某个方向的切线是唯一的,都在这一点的切平面上,不可能在某一点三条切线互相垂直吧?

椭球退化为球体明显有解。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2018-11-26 17:07:24 | 显示全部楼层
lsr314 发表于 2018-11-26 16:07
连续的凸曲面在某个点某个方向的切线是唯一的,都在这一点的切平面上,不可能在某一点三条切线互相垂直吧?

看题目的意思,P点不在椭球面上

点评

哦,看错题目意思了  发表于 2018-11-26 18:06
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2018-11-26 17:11:43 | 显示全部楼层
设\(P\)点为\(\left\{p_1,p_2,p_3\right\}\),三条切线的参数方程为\(\left\{ \text{CosL}_{i,1}*t_i+p_1, \text{CosL}_{i,2}*t_i+p_2, \text{CosL}_{i,3}*t_i+p_3\right\}\)。\(\text{CosL}_{i,j}\)满足代入椭球方程二次判别式\(\Delta =0\) 与 \( \text{CosL}_{i,1}^2+\text{CosL}_{i,2}^2+\text{CosL}_{i,3}^2=1\)。还有切线之间垂直条件,内积为0。还有两个方程才能得到\(P\)点的轨迹
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2018-11-26 21:16:56 | 显示全部楼层
P的轨迹很可能不是一个曲面,而是类似实心面团里面挖掉一块的三维图形,因为S上的一点不足以确定交点P,还需要一个自由度,也就是P的轨迹可能是三维的。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2018-11-27 00:59:28 | 显示全部楼层
设\(P\)在对于原点\({0,0,0}\)对称的曲面上,有\(\left\{p_1=\text{CosP}_1 F,p_2=\text{CosP}_2 F,p_3=\text{CosP}_3 F\right\}\),\(F\)为隐函数。并且\(\text{CosP}_1^2+\text{CosP}_2^2+\text{CosP}_3^2=1\)。
结合#6,解得\(F^2=\frac{a^2 b^2+a^2 c^2+b^2 c^2}{\text{CosP}_3^2 \left(a^2+b^2\right)+\text{CosP}_2^2 \left(a^2+c^2\right)+\text{CosP}_1^2 \left(b^2+c^2\right)}\)

点评

补充---------这是令方程组成为不定方程的条件。。。。。之一  发表于 2018-11-27 10:45
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2018-11-27 07:48:56 | 显示全部楼层
设$P(x_0,y_0,z_0)$,三个切点分别为$A(x_1,y_1,z_1),B(x_2,y_2,z_2),C(x_3,y_3,z_3)$
于是有方程组
\(\begin{cases}\frac{x_1^2}{a^2}+\frac{y_1^2}{b^2}+\frac{z_1^2}{c^2}=1\\
\frac{x_2^2}{a^2}+\frac{y_2^2}{b^2}+\frac{z_2^2}{c^2}=1\\
\frac{x_3^2}{a^2}+\frac{y_3^2}{b^2}+\frac{z_3^2}{c^2}=1\\
\frac{x_1x_0}{a^2}+\frac{y_1y_0}{b^2}+\frac{z_1z_0}{c^2}=1\\
\frac{x_2x_0}{a^2}+\frac{y_2y_0}{b^2}+\frac{z_2z_0}{c^2}=1\\
\frac{x_3x_0}{a^2}+\frac{y_3y_0}{b^2}+\frac{z_3z_0}{c^2}=1\\
(x_1-x_0)(x_2-x_0)+(y_1-y_0)(y_2-y_0)+(z_1-z_0)(z_2-z_0)=0\\
(x_2-x_0)(x_3-x_0)+(y_2-y_0)(y_3-y_0)+(z_2-z_0)(z_3-z_0)=0\\
(x_3-x_0)(x_1-x_0)+(y_3-y_0)(y_1-y_0)+(z_3-z_0)(z_1-z_0)=0
\end{cases}\)
九个变量九条独立的方程,所以通常情况应该是有限个解的,所以必然不存在轨迹问题

点评

方程组也是充分的。多出的一个变量决定了轨迹是三维体空间。  发表于 2018-11-28 10:27
对的,我弄错了,也就是消除一个变量少一个方程,最后留下一个方程时,还可以有一个参数,很不合理。  发表于 2018-11-27 12:46
明明$(x_0,y_0,z_0)$也是变量啊,对每个固定的P,有9个变量9个方程,方程有可能只有复数解于是有的P点不符合要求……所以符合要求的P点可能不是整个三维空间,但轨迹肯定是一个曲面的  发表于 2018-11-27 12:30
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2018-11-27 09:56:43 | 显示全部楼层
mathe 发表于 2018-11-27 07:48
设$P(x_0,y_0,z_0)$,三个切点分别为$A(x_1,y_1,z_1),B(x_2,y_2,z_2),C(x_3,y_3,z_3)$
于是有方程组
\(\be ...

您说“九个变量”是指三个切点么?他们是\(P(x_0,y_0,z_0)\)的函数。不是所有\(P(x_0,y_0,z_0)\)都能给出实数解。令切点有实数解的\(P(x_0,y_0,z_0)\)的集合就是轨迹,或者区域?
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
您需要登录后才可以回帖 登录 | 欢迎注册

本版积分规则

小黑屋|手机版|数学研发网 ( 苏ICP备07505100号 )

GMT+8, 2018-12-11 04:39 , Processed in 0.060856 second(s), 19 queries .

Powered by Discuz! X3.4

© 2001-2017 Comsenz Inc.

快速回复 返回顶部 返回列表