椭球面和三正交切线

hejoseph

已知椭球面 $S$，其方程为 $x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2=1$，$l_1$、$l_2$、$l_3$ 是 $S$ 的切线，$l_1$、$l_2$、$l_3$ 两两互相垂直且相交于点 $P$，那么 $P$ 是否存在？若存在，求点 $P$ 形成的轨迹方程。

hejoseph

这个问题我还没能得到结果，估计不是简单的。

lsr314

连续的凸曲面在某个点某个方向的切线是唯一的，都在这一点的切平面上，不可能在某一点三条切线互相垂直吧？

zeroieme

lsr314 发表于 2018-11-26 16:07
连续的凸曲面在某个点某个方向的切线是唯一的，都在这一点的切平面上，不可能在某一点三条切线互相垂直吧？

椭球退化为球体明显有解。

风云剑

lsr314 发表于 2018-11-26 16:07
连续的凸曲面在某个点某个方向的切线是唯一的，都在这一点的切平面上，不可能在某一点三条切线互相垂直吧？

看题目的意思，P点不在椭球面上

zeroieme

设\(P\)点为\(\left\{p_1,p_2,p_3\right\}\)，三条切线的参数方程为\(\left\{ \text{CosL}_{i,1}*t_i+p_1, \text{CosL}_{i,2}*t_i+p_2, \text{CosL}_{i,3}*t_i+p_3\right\}\)。\(\text{CosL}_{i,j}\)满足代入椭球方程二次判别式\(\Delta =0\) 与 \( \text{CosL}_{i,1}^2+\text{CosL}_{i,2}^2+\text{CosL}_{i,3}^2=1\)。还有切线之间垂直条件，内积为0。还有两个方程才能得到\(P\)点的轨迹

lsr314

P的轨迹很可能不是一个曲面，而是类似实心面团里面挖掉一块的三维图形，因为S上的一点不足以确定交点P，还需要一个自由度，也就是P的轨迹可能是三维的。

zeroieme

设\(P\)在对于原点\({0,0,0}\)对称的曲面上，有\(\left\{p_1=\text{CosP}_1 F,p_2=\text{CosP}_2 F,p_3=\text{CosP}_3 F\right\}\)，\(F\)为隐函数。并且\(\text{CosP}_1^2+\text{CosP}_2^2+\text{CosP}_3^2=1\)。
结合#6，解得\(F^2=\frac{a^2 b^2+a^2 c^2+b^2 c^2}{\text{CosP}_3^2 \left(a^2+b^2\right)+\text{CosP}_2^2 \left(a^2+c^2\right)+\text{CosP}_1^2 \left(b^2+c^2\right)}\)

mathe

设$P(x_0,y_0,z_0)$,三个切点分别为$A(x_1,y_1,z_1),B(x_2,y_2,z_2),C(x_3,y_3,z_3)$
于是有方程组
\(\begin{cases}\frac{x_1^2}{a^2}+\frac{y_1^2}{b^2}+\frac{z_1^2}{c^2}=1\\
\frac{x_2^2}{a^2}+\frac{y_2^2}{b^2}+\frac{z_2^2}{c^2}=1\\
\frac{x_3^2}{a^2}+\frac{y_3^2}{b^2}+\frac{z_3^2}{c^2}=1\\
\frac{x_1x_0}{a^2}+\frac{y_1y_0}{b^2}+\frac{z_1z_0}{c^2}=1\\
\frac{x_2x_0}{a^2}+\frac{y_2y_0}{b^2}+\frac{z_2z_0}{c^2}=1\\
\frac{x_3x_0}{a^2}+\frac{y_3y_0}{b^2}+\frac{z_3z_0}{c^2}=1\\
(x_1-x_0)(x_2-x_0)+(y_1-y_0)(y_2-y_0)+(z_1-z_0)(z_2-z_0)=0\\
(x_2-x_0)(x_3-x_0)+(y_2-y_0)(y_3-y_0)+(z_2-z_0)(z_3-z_0)=0\\
(x_3-x_0)(x_1-x_0)+(y_3-y_0)(y_1-y_0)+(z_3-z_0)(z_1-z_0)=0
\end{cases}\)
九个变量九条独立的方程，所以通常情况应该是有限个解的，所以必然不存在轨迹问题

zeroieme

mathe 发表于 2018-11-27 07:48
设$P(x_0,y_0,z_0)$,三个切点分别为$A(x_1,y_1,z_1),B(x_2,y_2,z_2),C(x_3,y_3,z_3)$
于是有方程组
\(\be ...

您说“九个变量”是指三个切点么？他们是\(P(x_0,y_0,z_0)\)的函数。不是所有\(P(x_0,y_0,z_0)\)都能给出实数解。令切点有实数解的\(P(x_0,y_0,z_0)\)的集合就是轨迹，或者区域？