椭球面和三正交切线

lsr314

如果是三维的，可以求出它的边界。

hejoseph

mathe 发表于 2018-11-27 07:48
设$P(x_0,y_0,z_0)$,三个切点分别为$A(x_1,y_1,z_1),B(x_2,y_2,z_2),C(x_3,y_3,z_3)$
于是有方程组
\(\be ...

还有切平面的法向量与切线的方向垂直的三个条件可列三个方程。但是这些方程有可能不是独立的，有可能点 $P$ 在某个曲面上。

wayne

我们可以放开讨论。楼主所说的轨迹不一定是线，也不一定是 曲面，甚至有可能是 点。然后我们讨论一下可行性。

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想到了一个物理方法
找几根钢筋，焊出一个由3根相互垂直的钢筋组成的角，然后把椭球怼到这个角上……
我们总能得到一个P点
然后我们随便转动铁架子，每一个角度都对应一个P点
于是可以看出P点的轨迹应该是一个曲面
至于表达式……
渣渣就不算了，反正统计系的渣渣根本算不出来

mathe

看来应该是三维区域。球面情况，虽然P点是一个球面，但是对于每个固定的P点，三条切线的方向的选择有两个自由度。
所以对应椭球面情况，P点可以在三维某个区域之内，只是对于每个固定的P点，切线方向的选择可能只有一个自由度或者只有有限种选择

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mathe 发表于 2018-11-27 13:08
看来应该是三维区域。球面情况，虽然P点是一个球面，但是对于每个固定的P点，三条切线的方向的选择有两个自 ...

如果看做是，固定铁架旋转椭圆，每一个旋转角度$(\theta,\tau)$都对应一个P点
这样P点的轨迹可以看做$(\theta,\tau)$的函数，这个函数只有两个自由度，因而曲面应该是分布在三维空间上面的，二维的曲面

hejoseph

得到一个更一般的结论：已知二次面 $S$，其方程为 $ax^2+by^2+cz^2=1$，$l_1$、$l_2$、$l_3$ 是 $S$ 的切线，$l_1$、$l_2$、$l_3$ 两两互相垂直且相交于点 $P$，那么 $P$ 的轨迹方程方程是 $a(b+c)x^2+b(a+c)y^2+c(a+b)z^2=a+b+c$。解法稍后整理，大家可以验证下。

风云剑

.·.·. 发表于 2018-11-27 12:33
想到了一个物理方法
找几根钢筋，焊出一个由3根相互垂直的钢筋组成的角，然后把椭球怼到这个角上……
我 ...

我也是这个想法，求出距离椭球两个焦点的距离，但我也不知道怎么算，凭感觉，很大可能还是个椭球。

风云剑

看到了，呵呵。
我在想，有没有三正交垂线轨迹？

zeroieme

我在方程组提取出一个因子，就是这个结果，见8#。还没得到出结论证明其他因子必然非\(0\)，就是\(P\)没有其他可行区域。

等待楼主的方法