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楼主: hejoseph

[讨论] 椭球面和三正交切线

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发表于 2018-11-27 10:02:47 | 显示全部楼层
如果是三维的,可以求出它的边界。
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 楼主| 发表于 2018-11-27 10:53:21 | 显示全部楼层
mathe 发表于 2018-11-27 07:48
设$P(x_0,y_0,z_0)$,三个切点分别为$A(x_1,y_1,z_1),B(x_2,y_2,z_2),C(x_3,y_3,z_3)$
于是有方程组
\(\be ...

还有切平面的法向量与切线的方向垂直的三个条件可列三个方程。但是这些方程有可能不是独立的,有可能点 $P$ 在某个曲面上。
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发表于 2018-11-27 11:23:02 | 显示全部楼层
我们可以放开讨论。楼主所说的轨迹不一定是线,也不一定是 曲面,甚至有可能是 点。然后我们讨论一下可行性。


点评

恩恩,而且应该跟椭圆有一定的相似性,怀疑就是椭圆  发表于 2018-11-27 16:48
轨迹应该是曲面的  发表于 2018-11-27 12:34
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发表于 2018-11-27 12:33:51 | 显示全部楼层
本帖最后由 .·.·. 于 2018-11-27 13:13 编辑

想到了一个物理方法
找几根钢筋,焊出一个由3根相互垂直的钢筋组成的角,然后把椭球怼到这个角上……
我们总能得到一个P点
然后我们随便转动铁架子,每一个角度都对应一个P点
于是可以看出P点的轨迹应该是一个曲面
至于表达式……
渣渣就不算了,反正统计系的渣渣根本算不出来

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发表于 2018-11-27 13:08:03 | 显示全部楼层
看来应该是三维区域。球面情况,虽然P点是一个球面,但是对于每个固定的P点,三条切线的方向的选择有两个自由度。
所以对应椭球面情况,P点可以在三维某个区域之内,只是对于每个固定的P点,切线方向的选择可能只有一个自由度或者只有有限种选择
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发表于 2018-11-27 13:20:28 | 显示全部楼层
本帖最后由 .·.·. 于 2018-11-27 19:36 编辑
mathe 发表于 2018-11-27 13:08
看来应该是三维区域。球面情况,虽然P点是一个球面,但是对于每个固定的P点,三条切线的方向的选择有两个自 ...


如果看做是,固定铁架旋转椭圆,每一个旋转角度$(\theta,\tau)$都对应一个P点
这样P点的轨迹可以看做$(\theta,\tau)$的函数,这个函数只有两个自由度,因而曲面应该是分布在三维空间上面的,二维的曲面
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 楼主| 发表于 2018-11-27 14:20:27 | 显示全部楼层
得到一个更一般的结论:已知二次面 $S$,其方程为 $ax^2+by^2+cz^2=1$,$l_1$、$l_2$、$l_3$ 是 $S$ 的切线,$l_1$、$l_2$、$l_3$ 两两互相垂直且相交于点 $P$,那么 $P$ 的轨迹方程方程是 $a(b+c)x^2+b(a+c)y^2+c(a+b)z^2=a+b+c$。解法稍后整理,大家可以验证下。
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发表于 2018-11-27 17:06:47 | 显示全部楼层
.·.·. 发表于 2018-11-27 12:33
想到了一个物理方法
找几根钢筋,焊出一个由3根相互垂直的钢筋组成的角,然后把椭球怼到这个角上……
我 ...

我也是这个想法,求出距离椭球两个焦点的距离,但我也不知道怎么算,凭感觉,很大可能还是个椭球。

点评

根据楼上的方程就是一个椭球。  发表于 2018-11-27 17:08
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发表于 2018-11-27 17:15:44 | 显示全部楼层
看到了,呵呵。
我在想,有没有三正交垂线轨迹?
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发表于 2018-11-27 19:36:07 | 显示全部楼层
我在方程组提取出一个因子,就是这个结果,见8#。还没得到出结论证明其他因子必然非\(0\),就是\(P\)没有其他可行区域。

等待楼主的方法
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