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楼主: hejoseph

[讨论] 椭球面和三正交切线

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发表于 2018-12-8 10:03:09 | 显示全部楼层
对于更一般的情形:椭球的三条切线两两成固定角\(cos(\theta)=k\)的轨迹问题,我们可以考虑如下计算方案
由于切线轨迹满足

\begin{align*}
&a\left(by_0^2+cz_0^2-1\right)\left(x-x_0\right)^2+b\left(ax_0^2+cz_0^2-1\right)\left(y-y_0\right)^2+c\left(ax_0^2+by_0^2-1\right)\left(z-z_0\right)^2\\
&{}-2abx_0y_0\left(x-x_0\right)\left(y-y_0\right)-2acx_0z_0\left(x-x_0\right)\left(z-z_0\right)-2bcy_0z_0\left(y-y_0\right)\left(z-z_0\right)=0
\end{align*}

另外{x,y,z}还需满足
\(m_1^2+n_1^2+p_1^2=1\)
\(m_2^2+n_2^2+p_2^2=1\)
\(m_3^2+n_3^2+p_3^2=1\)
\(m_1m_2+n_1n_2+p_1p_2=k\)
\(m_1m_3+n_1n_3+p_1p_3=k\)
\(m_3m_2+n_3n_2+p_3p_2=k\)

我们知道当k=0时,切线轨迹满足x^2,y^2,z^2项系数和为0

对于k为已知常数,那切线轨迹的系数应该满足什么条件呢?

我们根据
https://bbs.emath.ac.cn/thread-15614-1-1.html
可以得到
\(m_1,n_1,p_1,m_2,n_2,p_2,m_3,n_3,p_3\)的参数化表示,只涉及三个变量,应该可以通过消元方式得到切线轨迹方程系数需要满足的关系~

注:
\(x-x_0=m_1,y-y_0=n_1,z-z_0=p_1\)
\(x-x_0=m_2,y-y_0=n_2,z-z_0=p_2\)
\(x-x_0=m_3,y-y_0=n_3,z-z_0=p_3\)
满足切线轨迹方程

点评

m_i,n_i,k_i,i=1,2,3,是三条切线的方向向量,可以按标准化处理哈  发表于 2018-12-8 11:18
看不懂,怎么会$m_1^2+n_1^2+p_1^2=1$呢?  发表于 2018-12-8 11:12
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2018-12-8 13:53:30 | 显示全部楼层
将下面
\(x-x_0=m_1,y-y_0=n_1,z-z_0=p_1\)
\(x-x_0=m_2,y-y_0=n_2,z-z_0=p_2\)
\(x-x_0=m_3,y-y_0=n_3,z-z_0=p_3\)
代入下面方程

\begin{align*}
&a\left(by_0^2+cz_0^2-1\right)\left(x-x_0\right)^2+b\left(ax_0^2+cz_0^2-1\right)\left(y-y_0\right)^2+c\left(ax_0^2+by_0^2-1\right)\left(z-z_0\right)^2\\
&{}-2abx_0y_0\left(x-x_0\right)\left(y-y_0\right)-2acx_0z_0\left(x-x_0\right)\left(z-z_0\right)-2bcy_0z_0\left(y-y_0\right)\left(z-z_0\right)=0
\end{align*}

得到三个方程3并相加
然后利用
\(m_1^2+n_1^2+p_1^2=1\)
\(m_2^2+n_2^2+p_2^2=1\)
\(m_3^2+n_3^2+p_3^2=1\)
\(m_1m_2+n_1n_2+p_1p_2=k\)
\(m_1m_3+n_1n_3+p_1p_3=k\)
\(m_3m_2+n_3n_2+p_3p_2=k\)
得到关系式
\(a(by_0^2+cz_0^2-1)+b(ax_0^2+cz_0^2-1)+c(ax_0^2+by_0^2-1)-k(2abx_0y_0+2acx_0z_0+2bcy_0z_0)=0\)
即顶点\(P(x_0,y_0,z_0)\)的轨迹方程
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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