椭球面和三正交切线

数学星空

对于更一般的情形:椭球的三条切线两两成固定角\(cos(\theta)=k\)的轨迹问题，我们可以考虑如下计算方案
由于切线轨迹满足

\begin{align*}
&a\left(by_0^2+cz_0^2-1\right)\left(x-x_0\right)^2+b\left(ax_0^2+cz_0^2-1\right)\left(y-y_0\right)^2+c\left(ax_0^2+by_0^2-1\right)\left(z-z_0\right)^2\\
&{}-2abx_0y_0\left(x-x_0\right)\left(y-y_0\right)-2acx_0z_0\left(x-x_0\right)\left(z-z_0\right)-2bcy_0z_0\left(y-y_0\right)\left(z-z_0\right)=0
\end{align*}

另外{x,y,z}还需满足
\(m_1^2+n_1^2+p_1^2=1\)
\(m_2^2+n_2^2+p_2^2=1\)
\(m_3^2+n_3^2+p_3^2=1\)
\(m_1m_2+n_1n_2+p_1p_2=k\)
\(m_1m_3+n_1n_3+p_1p_3=k\)
\(m_3m_2+n_3n_2+p_3p_2=k\)

我们知道当k=0时，切线轨迹满足x^2,y^2,z^2项系数和为0

对于k为已知常数，那切线轨迹的系数应该满足什么条件呢？

我们根据
https://bbs.emath.ac.cn/thread-15614-1-1.html
可以得到
\(m_1,n_1,p_1,m_2,n_2,p_2,m_3,n_3,p_3\)的参数化表示，只涉及三个变量，应该可以通过消元方式得到切线轨迹方程系数需要满足的关系～

注:
\(x-x_0=m_1,y-y_0=n_1,z-z_0=p_1\)
\(x-x_0=m_2,y-y_0=n_2,z-z_0=p_2\)
\(x-x_0=m_3,y-y_0=n_3,z-z_0=p_3\)
满足切线轨迹方程

数学星空

将下面
\(x-x_0=m_1,y-y_0=n_1,z-z_0=p_1\)
\(x-x_0=m_2,y-y_0=n_2,z-z_0=p_2\)
\(x-x_0=m_3,y-y_0=n_3,z-z_0=p_3\)
代入下面方程

\begin{align*}
&a\left(by_0^2+cz_0^2-1\right)\left(x-x_0\right)^2+b\left(ax_0^2+cz_0^2-1\right)\left(y-y_0\right)^2+c\left(ax_0^2+by_0^2-1\right)\left(z-z_0\right)^2\\
&{}-2abx_0y_0\left(x-x_0\right)\left(y-y_0\right)-2acx_0z_0\left(x-x_0\right)\left(z-z_0\right)-2bcy_0z_0\left(y-y_0\right)\left(z-z_0\right)=0
\end{align*}

得到三个方程3并相加
然后利用
\(m_1^2+n_1^2+p_1^2=1\)
\(m_2^2+n_2^2+p_2^2=1\)
\(m_3^2+n_3^2+p_3^2=1\)
\(m_1m_2+n_1n_2+p_1p_2=k\)
\(m_1m_3+n_1n_3+p_1p_3=k\)
\(m_3m_2+n_3n_2+p_3p_2=k\)
得到关系式
\(a(by_0^2+cz_0^2-1)+b(ax_0^2+cz_0^2-1)+c(ax_0^2+by_0^2-1)-k(2abx_0y_0+2acx_0z_0+2bcy_0z_0)=0\)
即顶点\(P(x_0,y_0,z_0)\)的轨迹方程

葡萄糖

hejoseph 发表于 2018-11-27 14:20
得到一个更一般的结论：已知二次面 $S$，其方程为 $ax^2+by^2+cz^2=1$，$l_1$、$l_2$、$l_3$ 是 $S$ 的切线，$l_1$、$l_2$、$l_3$ 两两互相垂直且相交于点 $P$，那么 $P$ 的轨迹方程方程是 $a(b+c)x^2+b(a+c)y^2+c(a+b)z^2=a+b+c$。解法稍后整理，大家可以验证下。

偶然翻到

《解析几何题类分析》冷世俊，周尚启主编 P474 例题671

陈九章

从椭圆的一个有趣问题引发联想，请大家赐教！

陈九章

葡萄糖

陈九章 发表于 2020-6-5 10:26
从椭圆的一个有趣问题引发联想，请大家赐教！
由空间直角坐标系原点O发出的三条互相垂直的射线与椭球交于A,B,C三点，
(1)求原点O到平面ABC的垂足H轨迹，该轨迹是球面吗？

第一个问题所求的曲面是球面，若球面半径记为\(r\)，则有
\[\dfrac{1}{r^2}=\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}\]

1. [quote][size=2][url=forum.php?mod=redirect&goto=findpost&pid=84743&ptid=15600][color=#999999]陈九章 发表于 2020-6-5 10:26[/color][/url][/size]
   
2. 从椭圆的一个有趣问题引发联想，请大家赐教！
   
3. 由空间直角坐标系原点O发出的三条互相垂直的射线与椭球交于A,B,C三点，
   
4. (1)求原点O到平面ABC的垂足H轨迹，该轨迹是球面吗？
   
5. [/quote]

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