初中几何题,等边三角形求角度

mathematica

mathematica 发表于 2020-4-23 09:22
解析几何的办法直接上,硬解方程!

求解结果:

1. Clear["Global`*"];
   
2. (*利用解析几何的办法,假设正三角形边长是a,三个点的坐标*)
   
3. {x1,y1}={Cos[60Degree]*a,Sin[60Degree]*a}
   
4. {x2,y2}={0,0}
   
5. {x3,y3}={a,0}
   
6. ans=FullSimplify@Solve[
   
7.     {
   
8. (*两点距离公式,得到三条距离约束条件*)
   
9.         (x-x1)^2+(y-y1)^2==3^2,
   
10.         (x-x2)^2+(y-y2)^2==4^2,
    
11.         (x-x3)^2+(y-y3)^2==5^2
    
12.     },{x,y,a}
    
13. ];
    
14. Grid[ans]
    
15. N[%,10]
    

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求解结果
\[\begin{array}{ccc}
x\to -2 \sqrt{\frac{1}{193} \left(211-84 \sqrt{3}\right)} & y\to 2 \sqrt{\frac{3}{193} \left(28 \sqrt{3}+187\right)} & a\to \sqrt{25-12 \sqrt{3}} \\
x\to 2 \sqrt{\frac{1}{193} \left(211-84 \sqrt{3}\right)} & y\to -2 \sqrt{\frac{3}{193} \left(28 \sqrt{3}+187\right)} & a\to -\sqrt{25-12 \sqrt{3}} \\
x\to -2 \sqrt{\frac{1}{193} \left(84 \sqrt{3}+211\right)} & y\to -2 \sqrt{\frac{1}{193} \left(561-84 \sqrt{3}\right)} & a\to -\sqrt{12 \sqrt{3}+25} \\
x\to 2 \sqrt{\frac{1}{193} \left(84 \sqrt{3}+211\right)} & y\to 2 \sqrt{\frac{1}{193} \left(561-84 \sqrt{3}\right)} & a\to \sqrt{12 \sqrt{3}+25} \\
\end{array}\]


数值化
\[\begin{array}{ccc}
x\to -1.165192347 & y\to 3.826529341 & a\to 2.053141571 \\
x\to 1.165192347 & y\to -3.826529341 & a\to -2.053141571 \\
x\to -2.718168645 & y\to -2.934545828 & a\to -6.766432568 \\
x\to 2.718168645 & y\to 2.934545828 & a\to 6.766432568 \\
\end{array}\]

mathematica

1. Clear["Global`*"];
   
2. (*计算余弦值子函数,利用三边计算余弦值*)
   
3. cs[a_,b_,c_]:=(a^2+b^2-c^2)/(2*a*b)
   
4. (*两个角相加等于60度*)
   
5. ans=Solve[ArcCos[cs[a,5,4]]+ArcCos[cs[a,5,3]]==Pi/3,{a}]//FullSimplify
   

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求解结果
\[\left\{\left\{a\to \sqrt{25-12 \sqrt{3}}\right\},\left\{a\to \sqrt{12 \sqrt{3}+25}\right\}\right\}\]

数值化
{{a -> 2.0531415706603070185}, {a -> 6.7664325675223075796}}

dlpg070

mathe 发表于 2019-2-18 11:05
图形绕一个顶点旋转60度，题目已经提醒了，勾三股四弦五

图解 模仿mathe hujunhua 的图解
OA=3 OB=4 OC=5条件下 有2个解
第一个解:O点在三角形外部 对应图解文件:图解pic1-3-4-5-20200422.png
第二个解:O点在三角形内部              图解pic2-3-4-5-20200422.png


原来的方法的O1外:mathe    4# O点绕B逆时针旋转60度得O1
                 hujunhua 7# O点绕A顺时针旋转60度得O1
                                 
统一方法得到O2 : O点绕A顺时针旋转60度得O2

下面给出用O2 求解2个解的过程:
在△ABC中°
∠AOO2=90°;∠O2OB=60°;

o2:第一个解:

∠AOB=∠AOO2 - ∠O2OB= 30°;
a=Sqrt[OA^2+OB^2-2*OA*OB*Cos[30]]=Sqrt[25-12 Sqrt[3]] =2.05314
\(\sqrt{25-12 \sqrt{3}}\)

o2 第二个解:
∠AOB=∠AOO2 + ∠O2OB= 150°;
a=Sqrt[OA^2+OB^2-2*OA*OB*Cos[150]]=Sqrt[25+12 Sqrt[3]] =6.76643
\(\sqrt{12 \sqrt{3}+25}\)

图形文件
图解pic1-3-4-5-20200422.png
图解pic2-3-4-5-20200422.png

dlpg070

dlpg070 发表于 2020-4-25 12:23
图解 模仿mathe hujunhua 的图解
OA=3 OB=4 OC=5条件下 有2个解
第一个解:O点在三角形外部 对应图解 ...

羡慕几何画板的强大功能,试着用mathematica画图,感觉一样好,随心所欲

王守恩

dlpg070 发表于 2020-4-25 12:23
图解 模仿mathe hujunhua 的图解
OA=3 OB=4 OC=5条件下 有2个解
第一个解:O点在三角形外部 对应图解 ...

第1个解：\(\D\cos^{-1}(\frac{3^2+4^2-a^2}{2*3*4})=\cos^{-1}(\frac{4^2+5^2-a^2}{2*4*5})+\cos^{-1}(\frac{5^2+3^2-a^2}{2*5*3})\)

第2个解：\(\D\cos^{-1}(\frac{3^2+4^2-a^2}{2*3*4})+\cos^{-1}(\frac{4^2+5^2-a^2}{2*4*5})+\cos^{-1}(\frac{5^2+3^2-a^2}{2*5*3})=2\pi\)

dlpg070

王守恩 发表于 2020-4-26 12:46
第1个解：\(\D\cos^{-1}(\frac{3^2+4^2-a^2}{2*3*4})=\cos^{-1}(\frac{4^2+5^2-a^2}{2*4*5})+\cos^{-1} ...

第一个解 ∠AOB=30 度  边长   \(\sqrt{25-12 \sqrt{3}}\)
第二个解 ∠AOB=150 度 边长  \(\sqrt{12 \sqrt{3}+25}\)
通常先求出角度,后求出边长

王守恩

dlpg070 发表于 2020-4-26 11:14
羡慕几何画板的强大功能,试着用mathematica画图,感觉一样好,随心所欲

25楼完全是靠23楼的图凑出来的。
假设 OA OB OC 分别长x y z，等边三角形边长是 a,
当这 4 个数是3，5，7，8 时，
x y z=5 7 8， a=3,
x y z=3 7 8， a=5,
x y z=3 5 8， a=7,
x y z=3 5 7， a=8,
都有解么？(O 可以在三角形内，O 也可以在三角形外)
我凑不出来了，请您画画看？谢谢！

dlpg070

王守恩 发表于 2020-4-27 15:45
25楼完全是靠23楼的图凑出来的。
假设 OA OB OC 分别长x y z，等边三角形边长是 a,
当这 4 个数是3， ...

代码只改2个数字,结果就出来了
再次说明 题目给定 3 5 7 ,a=8不是题目的条件,而是计算的结果
这里有2个解
第1个: AOB=180=(120+60) a=8
第2个 :AOB= 60 =(120-60) a=sqrt[19]= 4.3589

作图方法和以前完全一样,
只是直角三角形换成一个角为120度得普通三角形
O点绕B逆时针旋转60度得O1
O点绕A顺时针旋转60度得O2
图片:

dlpg070

dlpg070 发表于 2020-4-27 16:23
代码只改2个数字,结果就出来了
再次说明 题目给定 3 5 7 ,a=8不是题目的条件,而是计算的结果
这里有2 ...

王守恩要求画的图形都画出了
总结如下:
1 OA = 5; OB = 7; OC = 8;(*a=3, 2解 ok *)
2 OA = 3; OB = 7; OC = 8;(*a=5, 2解 ok *)
3 OA = 3; OB = 5; OC = 8;(*a=7, 1解 ok *)
4 OA = 3; OB = 5; OC = 7;(*a=8,  2解 ok *)
关于是否有解的讨论:
1 只要OA,OB,OC能构成三角形,就一定有解,而且有2个解
2 如果OA,OB,OC中任意一个等于其它2个的和,则有且只有1个解
3 其它情形无解. 例如  OA = 3; OB = 5; OC = 9 无解

28#给出了第4问的图形
其它画图方法类似,不再重复
这里只给出第3问的图形
因为第3问有些特殊,只有一个解
OA = 3; OB = 5; OC = 8;即 OA+OB=OC

mathematica

dlpg070 发表于 2020-4-28 09:44
王守恩要求画的图形都画出了
总结如下:
1 OA = 5; OB = 7; OC = 8;(*a=3, 2解 ok *)

利用面积也能做出来

1. (*初中几何题,等边三角形求角度*)
   
2. (*https://bbs.emath.ac.cn/thread-15753-1-1.html*)
   
3. Clear["Global`*"];(*mathematica11.2,win7(64bit)Clear all variables*)
   
4. (*海伦公式*)
   
5. heron[a_,b_,c_]:=Module[{p=(a+b+c)/2},Sqrt[p*(p-a)*(p-b)*(p-c)]]
   
6. (*做面积差*)
   
7. mj=heron[a,a,a]-x1*heron[3,4,a]-x2*heron[3,5,a]-x3*heron[4,5,a]
   
8. (*x1 x 2x3可以是正负1*)
   
9. ans=Solve[mj==0&&x1^2==1&&x2^2==1&&x3^2==1&&a>=0,{a,x1,x2,x3}]//FullSimplify;
   
10. aaa=Grid@ans
    
11. bbb=N@aaa
    

复制代码

求解结果
\[\begin{array}{llll}
a\to 0 & \text{x1}\to -1 & \text{x2}\to 1 & \text{x3}\to -1 \\
a\to 0 & \text{x1}\to 1 & \text{x2}\to -1 & \text{x3}\to 1 \\
a\to \sqrt{25-12 \sqrt{3}} & \text{x1}\to -1 & \text{x2}\to 1 & \text{x3}\to 1 \\
a\to \sqrt{12 \sqrt{3}+25} & \text{x1}\to 1 & \text{x2}\to 1 & \text{x3}\to 1 \\
a\to \text{Root}\left[3 \text{$\#$1}^8-150 \text{$\#$1}^6+2500 \text{$\#$1}^4-16850 \text{$\#$1}^2+51361\&,3\right] & \text{x1}\to 1 & \text{x2}\to -1 & \text{x3}\to 1 \\
a\to \text{Root}\left[3 \text{$\#$1}^8-150 \text{$\#$1}^6+2500 \text{$\#$1}^4-16850 \text{$\#$1}^2+51361\&,4\right] & \text{x1}\to -1 & \text{x2}\to 1 & \text{x3}\to 1 \\
\end{array}\]

数值化
\[\begin{array}{llll}
a\to 0. & \text{x1}\to -1. & \text{x2}\to 1. & \text{x3}\to -1. \\
a\to 0. & \text{x1}\to 1. & \text{x2}\to -1. & \text{x3}\to 1. \\
a\to 2.05314 & \text{x1}\to -1. & \text{x2}\to 1. & \text{x3}\to 1. \\
a\to 6.76643 & \text{x1}\to 1. & \text{x2}\to 1. & \text{x3}\to 1. \\
a\to 4.16543 & \text{x1}\to 1. & \text{x2}\to -1. & \text{x3}\to 1. \\
a\to 4.78192 & \text{x1}\to -1. & \text{x2}\to 1. & \text{x3}\to 1. \\
\end{array}\]