初中几何题,等边三角形求角度

mathematica

在等边三角形内有一点O
OA=3
OB=4
OC=5
求∠AOB的角度,答案是150度,
注意是初中几何竞赛题.

mathematica

\[\begin{array}{c}
a\to \sqrt{25-12 \sqrt{3}} \\
a\to \sqrt{25+12 \sqrt{3}} \\
\end{array}\]
利用四面体体积等于零,求出边长a
http://mathworld.wolfram.com/Cayley-MengerDeterminant.html
利用体积公式

1. Clear["Global`*"];
   
2. vol={{0,1,1,1,1},
   
3. {1,0,3^2,4^2,5^2},
   
4. {1,3^2,0,a^2,a^2},
   
5. {1,4^2,a^2,0,a^2},
   
6. {1,5^2,a^2,a^2,0}
   
7. }
   
8. Grid@ToRadicals@Solve[Det[vol]==0&&a>0,{a}]
   
9. N[%,20]
   

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求解结果
\[\begin{array}{c}
a\to \sqrt{25-12 \sqrt{3}} \\
a\to \sqrt{25+12 \sqrt{3}} \\
\end{array}\]
\[
\begin{array}{c}
a\to 2.0531415706603070185 \\
a\to 6.7664325675223075796 \\
\end{array}
\]

\[
\left(
\begin{array}{ccccc}
0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 0 & 9 & 16 & 25 \\
1 & 9 & 0 & a^2 & a^2 \\
1 & 16 & a^2 & 0 & a^2 \\
1 & 25 & a^2 & a^2 & 0 \\
\end{array}
\right)
\]

\[-2 a^2 \left(a^4-50 a^2+193\right)\]

补充内容 (2019-2-19 10:44):
假设OA OB OC分别长x y z等边三角形边长是a,那么满足方程\(a^6-a^4 \left(x^2+y^2+z^2\right)+a^2 \left(x^4-x^2 y^2-x^2 z^2+y^4-y^2 z^2+z^4\right)\)

mathematica

谁有不用行列式的求解办法?

mathe

图形绕一个顶点旋转60度，题目已经提醒了，勾三股四弦五

hujunhua

mathematica 发表于 2019-2-18 09:31
谁有不用行列式的求解办法?

将 O 绕A正向旋转60度至O1，绕B负向旋转60度至O2。
360-60-90-60=150

mathematica

mathe 发表于 2019-2-18 11:05
图形绕一个顶点旋转60度，题目已经提醒了，勾三股四弦五

1. Clear["Global`*"];
   
2. (*余弦定理*)
   
3. cos[a_,b_,c_]:=(a^2+b^2-c^2)/(2*a*b)
   
4. (*先用余弦定理求出每个角,三个角相加等于360度*)
   
5. Reduce[
   
6.     Cos[x]==cos[3,4,a]&&
   
7.     Cos[y]==cos[3,5,a]&&
   
8.     Cos[z]==cos[4,5,a]&&
   
9.     Pi>x>0&&
   
10.     Pi>y>0&&
    
11.     Pi>z>0&&
    
12.     a>0&&
    
13.     x+y+z==2*Pi,
    
14.     {x,y,z,a}
    
15. ]
    

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列方程思想是多么地自然!
方程思想万岁!
\(x=\frac{5 \pi }{6}\land y=2 \tan ^{-1}\left(\frac{1}{11} \left(5 \sqrt{3}+8\right)\right)\land z=\frac{7 \pi }{6}-2 \tan ^{-1}\left(\frac{1}{11} \left(5 \sqrt{3}+8\right)\right)\land a=\sqrt{12 \sqrt{3}+25}\)
余弦值分别是
\[
y=\frac{1}{10} \left(3-4 \sqrt{3}\right)
z=\frac{1}{10} \left(4-3 \sqrt{3}\right)
\]

hujunhua

假设O在三角形外部,那外部的点怎么搞出来?

mathe

你可以自己模仿下看看，方法都已经给出了，后面的都不难了。
图都是hujunhua给的，他比我更耐心
这个问题实际上和几天前另外一个问题很类似 https://bbs.emath.ac.cn/thread-15750-1-1.html
使用几何方法也很容易判断出有两个解

wayne

太可乐了。蛤蛤蛤
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BTW,  惊奇的发现，两位老大的作图风格 几乎完全一样，同样的颜色和线条...

mathematica

mathe 发表于 2019-2-18 11:05
图形绕一个顶点旋转60度，题目已经提醒了，勾三股四弦五

借用你的凑答案的思路,我也来一张图