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[提问] 初中几何题,等边三角形求角度

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发表于 2019-2-18 09:17:00 | 显示全部楼层 |阅读模式

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本帖最后由 mathematica 于 2019-2-18 09:27 编辑

在等边三角形内有一点O
OA=3
OB=4
OC=5
求∠AOB的角度,答案是150度,
注意是初中几何竞赛题.
QQ截图20190218092723.png
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2019-2-18 09:22:08 | 显示全部楼层
本帖最后由 mathematica 于 2019-2-18 13:32 编辑

\[\begin{array}{c}
a\to \sqrt{25-12 \sqrt{3}} \\
a\to \sqrt{25+12 \sqrt{3}} \\
\end{array}\]
利用四面体体积等于零,求出边长a
http://mathworld.wolfram.com/Cayley-MengerDeterminant.html
利用体积公式
  1. Clear["Global`*"];
  2. vol={{0,1,1,1,1},
  3. {1,0,3^2,4^2,5^2},
  4. {1,3^2,0,a^2,a^2},
  5. {1,4^2,a^2,0,a^2},
  6. {1,5^2,a^2,a^2,0}
  7. }
  8. Grid@ToRadicals@Solve[Det[vol]==0&&a>0,{a}]
  9. N[%,20]
复制代码

求解结果
\[\begin{array}{c}
a\to \sqrt{25-12 \sqrt{3}} \\
a\to \sqrt{25+12 \sqrt{3}} \\
\end{array}\]
\[
\begin{array}{c}
a\to 2.0531415706603070185 \\
a\to 6.7664325675223075796 \\
\end{array}
\]

\[
\left(
\begin{array}{ccccc}
0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 0 & 9 & 16 & 25 \\
1 & 9 & 0 & a^2 & a^2 \\
1 & 16 & a^2 & 0 & a^2 \\
1 & 25 & a^2 & a^2 & 0 \\
\end{array}
\right)
\]

\[-2 a^2 \left(a^4-50 a^2+193\right)\]

补充内容 (2019-2-19 10:44):
假设OA OB OC分别长x y z等边三角形边长是a,那么满足方程\(a^6-a^4 \left(x^2+y^2+z^2\right)+a^2 \left(x^4-x^2 y^2-x^2 z^2+y^4-y^2 z^2+z^4\right)\)

点评

有两个解,一个是三角形内部,一个是三角形外部!  发表于 2019-2-18 10:18
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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 楼主| 发表于 2019-2-18 09:31:09 | 显示全部楼层
谁有不用行列式的求解办法?
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2019-2-18 11:05:24 | 显示全部楼层
图形绕一个顶点旋转60度,题目已经提醒了,勾三股四弦五
345-60.png

点评

mathe凑答案的本事不错,哈哈哈哈哈哈,太可乐了  发表于 2019-2-18 17:19
能用一种不同于hujunhua的办法把那个30度也凑出来吗?  发表于 2019-2-18 15:22
我发现你凑答案的本事不错!  发表于 2019-2-18 15:21
假设O在三角形外部,那外部的点怎么搞出来?  发表于 2019-2-18 12:12
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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发表于 2019-2-18 11:08:03 | 显示全部楼层
mathematica 发表于 2019-2-18 09:31
谁有不用行列式的求解办法?


345-60.png
将 O 绕A正向旋转60度至O1,绕B负向旋转60度至O2。
360-60-90-60=150

点评

如果不是求角度,而是求边长,你有什么好办法吗?  发表于 2019-2-22 11:54
假设O在三角形外部,那外部的点怎么搞出来?  发表于 2019-2-18 12:12
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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 楼主| 发表于 2019-2-18 13:11:42 | 显示全部楼层
本帖最后由 mathematica 于 2019-2-18 13:20 编辑
mathe 发表于 2019-2-18 11:05
图形绕一个顶点旋转60度,题目已经提醒了,勾三股四弦五

  1. Clear["Global`*"];
  2. (*余弦定理*)
  3. cos[a_,b_,c_]:=(a^2+b^2-c^2)/(2*a*b)
  4. (*先用余弦定理求出每个角,三个角相加等于360度*)
  5. Reduce[
  6.     Cos[x]==cos[3,4,a]&&
  7.     Cos[y]==cos[3,5,a]&&
  8.     Cos[z]==cos[4,5,a]&&
  9.     Pi>x>0&&
  10.     Pi>y>0&&
  11.     Pi>z>0&&
  12.     a>0&&
  13.     x+y+z==2*Pi,
  14.     {x,y,z,a}
  15. ]
复制代码


列方程思想是多么地自然!
方程思想万岁!
\(x=\frac{5 \pi }{6}\land y=2 \tan ^{-1}\left(\frac{1}{11} \left(5 \sqrt{3}+8\right)\right)\land z=\frac{7 \pi }{6}-2 \tan ^{-1}\left(\frac{1}{11} \left(5 \sqrt{3}+8\right)\right)\land a=\sqrt{12 \sqrt{3}+25}\)
余弦值分别是
\[
y=\frac{1}{10} \left(3-4 \sqrt{3}\right)
z=\frac{1}{10} \left(4-3 \sqrt{3}\right)
\]

点评

不知道为什么Reduce比Solve函数牛逼!看来不是一个人写的代码  发表于 2019-2-18 15:20
mathematica万岁!  发表于 2019-2-18 13:20
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发表于 2019-2-18 14:51:46 | 显示全部楼层
假设O在三角形外部,那外部的点怎么搞出来?
345-60.png

点评

借用你的思维,我也凑了一个答案,不过我觉得凑答案很没意思,我喜欢有思路的数学.就像上面的两种代数的办法,容易想到  发表于 2019-2-19 10:31
除了旋转,你还有别的办法解决吗?  发表于 2019-2-18 15:19
你的图怎么搞出来的?  发表于 2019-2-18 15:18
我觉得代数的办法牛逼!连三角形外的点也能发现!我看懂了,是绕着A点顺时针旋转60度,OO'=3  发表于 2019-2-18 15:18
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发表于 2019-2-18 16:56:30 | 显示全部楼层
你可以自己模仿下看看,方法都已经给出了,后面的都不难了。
图都是hujunhua给的,他比我更耐心
这个问题实际上和几天前另外一个问题很类似 https://bbs.emath.ac.cn/thread-15750-1-1.html
使用几何方法也很容易判断出有两个解
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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发表于 2019-2-18 17:22:56 | 显示全部楼层
太可乐了。蛤蛤蛤
====
BTW,  惊奇的发现,两位老大的作图风格 几乎完全一样,同样的颜色和线条...

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没看到^_^  发表于 2019-2-18 20:53
因为图不是我做的呀  发表于 2019-2-18 20:03
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 楼主| 发表于 2019-2-19 10:22:24 | 显示全部楼层
本帖最后由 mathematica 于 2019-2-19 10:29 编辑
mathe 发表于 2019-2-18 11:05
图形绕一个顶点旋转60度,题目已经提醒了,勾三股四弦五


借用你的凑答案的思路,我也来一张图
QQ截图20190219102103.png
QQ截图20190219102819.png
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