初中几何题,等边三角形求角度

mathematica

mathematica 发表于 2019-2-18 09:22
\[\begin{array}{c}
a\to \sqrt{25-12 \sqrt{3}} \\
a\to \sqrt{25+12 \sqrt{3}} \\

假设OA OB OC分别长x y z等边三角形边长是a,
那么满足方程
\(a^6-a^4 \left(x^2+y^2+z^2\right)+a^2 \left(x^4-x^2 y^2-x^2 z^2+y^4-y^2 z^2+z^4\right)=0\)
上面那个补充错误了,但是也编辑不了了,
方程有两个正根,一个在三角形内部,一个在外部

这个方程的判别式也很有趣
\(\left(x^2+y^2+z^2\right)^2-4 \left(x^4-x^2 y^2-x^2 z^2+y^4-y^2 z^2+z^4\right)=3 (-x+y+z) (x+y-z) (x-y+z) (x+y+z)\)
看到这个判别式,我就想到海伦公式!没想到在这个地方再次遇到海伦公式了!
数学真奇妙!

由于判别式需要>=0,然后x y z本身也要能构成一个三角形,否则的话,题目就解不出来了!

mathe

利用Apollonius圆可以用几何方法解释O点有两种选择（图中P,Q两点）

manthanein

https://bbs.emath.ac.cn/thread-15750-1-1.html 这问题我不是问过吗？
话说楼主这题目忒简单了，连余弦定理都用不着，我初中时也考了好几次了·。

王守恩

mathematica 发表于 2019-2-19 10:22
借用你的凑答案的思路,我也来一张图

由a’=3，b'=4，c'=5 组成另1个三角形 A'B'C'
我们有
∠AOB=90+60=90-60
∠BOC=37+60=60-37
∠COA=53+60=60-53

联想：
由a’=a'，b'=b'，c'=c' 组成另1个三角形 A'B'C'
我们是否可以有？
∠AOB=∠C'+60=|∠C' - 60 |
∠BOC=∠A'+60=|∠A' - 60 |
∠COA=∠B'+60=|∠B' - 60 |

再联想：
由a’=a'，b'=b'，c'=c' 组成另1个三角形 A'B'C'
我们是否可以有？
∠AOB=∠C'+∠C=|∠C'-∠C |
∠BOC=∠A'+∠A=|∠A'-∠A |
∠COA=∠B'+∠B=|∠B'-∠B |

mathematica

mathe 发表于 2019-2-19 11:45
利用Apollonius圆可以用几何方法解释O点有两种选择（图中P,Q两点）

有一个有趣的结论!
如果OA+OB=OC
那么∠AOB=120°
这个情况下,只有一个点,两个点重合了!并且这个点只能在三角形的外面!
你用几何画板是不是画出来的是两个点?

mathematica

mathe 发表于 2019-2-19 11:45
利用Apollonius圆可以用几何方法解释O点有两种选择（图中P,Q两点）

当两个点重合时,
OA+OB=OC,那么O点在等边三角形ABC的外接圆上,

mathematica

mathe 发表于 2019-2-18 11:05
图形绕一个顶点旋转60度，题目已经提醒了，勾三股四弦五

如果不是求角度,而是求边长,你有什么好办法吗?

zyhlcj

mathematica 发表于 2019-2-22 11:54
如果不是求角度,而是求边长,你有什么好办法吗?

角度求出来了，边长也就不难求了

mathematica

zyhlcj 发表于 2019-2-23 16:12
角度求出来了，边长也就不难求了

1. Clear["Global`*"];
   
2. (*计算余弦值子函数,利用三边计算余弦值*)
   
3. cs[a_,b_,c_]:=(a^2+b^2-c^2)/(2*a*b)
   
4. ans=Solve[
   
5.     {
   
6.         (*计算两个角的余弦值*)
   
7.         c1==cs[x,5,4],
   
8.         c2==cs[x,5,3],
   
9.         (*同一个角的余弦值\正弦值的平方和等于1*)
   
10.         c1^2+s1^2==1,
    
11.         c2^2+s2^2==1,
    
12.         (*和差化积公式*)
    
13.         Cos[60Degree]==c1*c2-s1*s2
    
14.     },{x,c1,c2,s1,s2}
    
15. ]//FullSimplify
    

复制代码

思路很简单,都放在注释里面了!
利用解方程的思想求解问题
\[\left\{\left\{x\to -\sqrt{25-12 \sqrt{3}},\text{c1}\to -\frac{1}{5} \sqrt{\frac{1}{193} \left(2581-336 \sqrt{3}\right)},\text{c2}\to -\frac{1}{10} \sqrt{\frac{1}{193} \left(756 \sqrt{3}+17401\right)},\text{s1}\to \frac{1}{5} (-2) \sqrt{\frac{3}{193} \left(28 \sqrt{3}+187\right)},\text{s2}\to \frac{1}{10} (-3) \sqrt{\frac{1}{193} \left(211-84 \sqrt{3}\right)}\right\},\left\{x\to -\sqrt{25-12 \sqrt{3}},\text{c1}\to -\frac{1}{5} \sqrt{\frac{1}{193} \left(2581-336 \sqrt{3}\right)},\text{c2}\to -\frac{1}{10} \sqrt{\frac{1}{193} \left(756 \sqrt{3}+17401\right)},\text{s1}\to \frac{2}{5} \sqrt{\frac{3}{193} \left(28 \sqrt{3}+187\right)},\text{s2}\to \frac{3}{10} \sqrt{\frac{1}{193} \left(211-84 \sqrt{3}\right)}\right\},\left\{x\to \sqrt{25-12 \sqrt{3}},\text{c1}\to \frac{1}{5} \sqrt{\frac{1}{193} \left(2581-336 \sqrt{3}\right)},\text{c2}\to \frac{1}{10} \sqrt{\frac{1}{193} \left(756 \sqrt{3}+17401\right)},\text{s1}\to \frac{1}{5} (-2) \sqrt{\frac{3}{193} \left(28 \sqrt{3}+187\right)},\text{s2}\to \frac{1}{10} (-3) \sqrt{\frac{1}{193} \left(211-84 \sqrt{3}\right)}\right\},\left\{x\to \sqrt{25-12 \sqrt{3}},\text{c1}\to \frac{1}{5} \sqrt{\frac{1}{193} \left(2581-336 \sqrt{3}\right)},\text{c2}\to \frac{1}{10} \sqrt{\frac{1}{193} \left(756 \sqrt{3}+17401\right)},\text{s1}\to \frac{2}{5} \sqrt{\frac{3}{193} \left(28 \sqrt{3}+187\right)},\text{s2}\to \frac{3}{10} \sqrt{\frac{1}{193} \left(211-84 \sqrt{3}\right)}\right\},\left\{x\to -\sqrt{12 \sqrt{3}+25},\text{c1}\to -\frac{1}{5} \sqrt{\frac{1}{193} \left(336 \sqrt{3}+2581\right)},\text{c2}\to -\frac{1}{10} \sqrt{\frac{1}{193} \left(17401-756 \sqrt{3}\right)},\text{s1}\to \frac{1}{5} (-2) \sqrt{\frac{1}{193} \left(561-84 \sqrt{3}\right)},\text{s2}\to \frac{1}{10} (-3) \sqrt{\frac{1}{193} \left(84 \sqrt{3}+211\right)}\right\},\left\{x\to -\sqrt{12 \sqrt{3}+25},\text{c1}\to -\frac{1}{5} \sqrt{\frac{1}{193} \left(336 \sqrt{3}+2581\right)},\text{c2}\to -\frac{1}{10} \sqrt{\frac{1}{193} \left(17401-756 \sqrt{3}\right)},\text{s1}\to \frac{2}{5} \sqrt{\frac{1}{193} \left(561-84 \sqrt{3}\right)},\text{s2}\to \frac{3}{10} \sqrt{\frac{1}{193} \left(84 \sqrt{3}+211\right)}\right\},\left\{x\to \sqrt{12 \sqrt{3}+25},\text{c1}\to \frac{1}{5} \sqrt{\frac{1}{193} \left(336 \sqrt{3}+2581\right)},\text{c2}\to \frac{1}{10} \sqrt{\frac{1}{193} \left(17401-756 \sqrt{3}\right)},\text{s1}\to \frac{1}{5} (-2) \sqrt{\frac{1}{193} \left(561-84 \sqrt{3}\right)},\text{s2}\to \frac{1}{10} (-3) \sqrt{\frac{1}{193} \left(84 \sqrt{3}+211\right)}\right\},\left\{x\to \sqrt{12 \sqrt{3}+25},\text{c1}\to \frac{1}{5} \sqrt{\frac{1}{193} \left(336 \sqrt{3}+2581\right)},\text{c2}\to \frac{1}{10} \sqrt{\frac{1}{193} \left(17401-756 \sqrt{3}\right)},\text{s1}\to \frac{2}{5} \sqrt{\frac{1}{193} \left(561-84 \sqrt{3}\right)},\text{s2}\to \frac{3}{10} \sqrt{\frac{1}{193} \left(84 \sqrt{3}+211\right)}\right\}\right\}\]

mathematica

mathematica 发表于 2020-4-21 09:17
思路很简单,都放在注释里面了!
利用解方程的思想求解问题
\[\left\{\left\{x\to -\sqrt{25-12 \sqr ...

解析几何的办法直接上,硬解方程!

1. Clear["Global`*"];
   
2. (*利用解析几何的办法,假设正三角形边长是a,三个点的坐标*)
   
3. {x1,y1}={Cos[60Degree]*a,Sin[60Degree]*a}
   
4. {x2,y2}={0,0}
   
5. {x3,y3}={a,0}
   
6. ans=FullSimplify@Solve[
   
7.     {
   
8. (*两点距离公式,得到三条距离约束条件*)
   
9.         (x-x1)^2+(y-y1)^2==4^2,
   
10.         (x-x2)^2+(y-y2)^2==3^2,
    
11.         (x-x3)^2+(y-y3)^2==5^2
    
12.     },{x,y,a}
    
13. ]
    
14. Grid[ans]
    

复制代码

求解结果:
\[\begin{array}{ccc}
x\to \frac{1}{2} (-3) \sqrt{\frac{1}{193} \left(561-84 \sqrt{3}\right)} & y\to \frac{1}{2} (-3) \sqrt{\frac{1}{193} \left(84 \sqrt{3}+211\right)} & a\to -\sqrt{12 \sqrt{3}+25} \\
x\to \frac{3}{2} \sqrt{\frac{1}{193} \left(561-84 \sqrt{3}\right)} & y\to \frac{3}{2} \sqrt{\frac{1}{193} \left(84 \sqrt{3}+211\right)} & a\to \sqrt{12 \sqrt{3}+25} \\
x\to \frac{1}{2} (-3) \sqrt{\frac{3}{193} \left(28 \sqrt{3}+187\right)} & y\to \frac{3}{2} \sqrt{\frac{1}{193} \left(211-84 \sqrt{3}\right)} & a\to \sqrt{25-12 \sqrt{3}} \\
x\to \frac{3}{2} \sqrt{\frac{3}{193} \left(28 \sqrt{3}+187\right)} & y\to \frac{1}{2} (-3) \sqrt{\frac{1}{193} \left(211-84 \sqrt{3}\right)} & a\to -\sqrt{25-12 \sqrt{3}} \\
\end{array}\]

数值化
\[\begin{array}{ccc}
x\to -2.20091 & y\to -2.03863 & a\to -6.76643 \\
x\to 2.20091 & y\to 2.03863 & a\to 6.76643 \\
x\to -2.8699 & y\to 0.873894 & a\to 2.05314 \\
x\to 2.8699 & y\to -0.873894 & a\to -2.05314 \\
\end{array}\]