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楼主: 数学星空

[讨论] 方形覆盖最大值

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发表于 2009-7-3 22:07:39 | 显示全部楼层
10# 数学星空

是的,我的证明有误,应该大于1.25,看来证明还是挺繁的
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2009-7-4 09:14:44 | 显示全部楼层
呵呵,找到一个更好的(往往最好的就是最简单的哟),可以算出下图情形最优值为:
    a(3)=(2^0.5+1)/2=1.20710678
3阶覆盖.jpg
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发表于 2009-7-5 07:54:54 | 显示全部楼层
r.gif
这种方案的结果也同上图相同,1.207...
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发表于 2009-7-5 08:01:12 | 显示全部楼层
我可以构造出
$sqrt((sqrt(5)-1)/2+1)~=1.272...$
r.gif
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发表于 2009-7-5 08:10:42 | 显示全部楼层
确实很美妙!(如果把图片添加第三个单位正方形就更完美了。)

这类问题可有好的思考模式?甚至是程序化解决?
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 楼主| 发表于 2009-7-5 10:34:56 | 显示全部楼层
mathe 的想法和技巧总是技高一筹哟,现把他的方案验证了一下,很正确..
3阶覆盖.jpg
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 楼主| 发表于 2009-7-5 12:04:11 | 显示全部楼层
我重新演算了一下mathe的答案,的确全是完全正确的..
设<OAB=a,    则 CD=2^0.5=2*[1-tg(a)-tg(45-a)*[1-tg(45-a)]]*cos(a)
设x=cos(a),则:2*x^4+2*2^0.5*x^3-3*2^0.5*x-0.5=0  得x=0.9929089947
即边长AF=1/cos(45+a)=2^0.5/(cos(a)+sin(a))=1.272019....
145.jpg
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发表于 2009-7-6 08:40:15 | 显示全部楼层
确实很美妙!(如果把图片添加第三个单位正方形就更完美了。)

这类问题可有好的思考模式?甚至是程序化解决?
gxqcn 发表于 2009-7-5 08:10


我来试试回答一下这个
其实我们几乎肯定可以得到5#或者13#其中的一个,得到那个就看感觉了。然后,可以容易的看出他们都不是最优,但从13#得到结果要快一些。
如果你第一想法是5#,该如何呢?
观察5#,为什么不是最优呢?
看上边两个正方形,就左边的那个把,设他和下面的交于A点(有两个交点,我们指的当然是下面的那个)。把这个正方形以此点为圆心转。
向哪边转?当然是向里转(别向数学星空那样非得向外转)。不要转的太多,只一点点。这样就看出问题了,上边会出现一点点的空隙。于是目标正方形可以向上稍微移动,然后将边长扩大一点。
如此下去,我们得到一个1.25的解
1.jpg
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发表于 2009-7-6 08:51:42 | 显示全部楼层
18# shshsh_0510

一开始,我以为到头了呢,可是仔细一看,还没有,因为中间那个目标还可以旋转。
然后就别怕麻烦列方程吧,最后可以解出 cos(r)=0.618 !!! 此时x=1.272...
此解即应该是mathe的那个,但我没想到图形是那么简单的!
1.jpg
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 楼主| 发表于 2009-7-6 09:48:09 | 显示全部楼层
呵呵,构造越来越复杂.... 我只构造了一个a(7)=3*2^0.5/2=2.12132...???
7阶覆盖.jpg
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