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[投票] 求证:\(\D\prod_{n=A}^{\infty}\frac{n^3-1}{n^3+1}=\frac{A^2-A}{A^2-A+1}\)

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发表于 2019-4-27 13:16:18 | 显示全部楼层 |阅读模式

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本帖最后由 王守恩 于 2019-4-27 13:42 编辑

求证:\(\D\prod_{n=A}^{\infty}\frac{n^3-1}{n^3+1}=\frac{A^2-A}{A^2-A+1}\)

\(\D\prod_{n=A}^{N}\frac{n-1}{n+1}=\frac{A-1}{A+1}\cdot\frac{A}{A+2}\cdot\frac{A+1}{A+3}\cdot...\cdot\frac{N-3}{N-1}\cdot\frac{N-2}{N}\cdot\frac{N-1}{N+1}=\frac{(A-1)\cdot A}{N\cdot(N+1)}=\frac{A^2-A }{N^2+N}\)

\(\D\prod_{n=A}^{N}\frac{n^2+n+1}{n^2-n+1}=\prod_{n=A}^{N}\frac{n^2+n+1}{(n-1)^2+(n-1)+1}=\frac{N^2+N+1}{(A-1)^2+(A-1)+1}=\frac{N^2+N+1}{A^2-A+1}\)

\(\D\prod_{n=A}^{\infty}\frac{n^3-1}{n^3+1}=\prod_{n=A}^{\infty}\frac{(n-1)\cdot(n^2+n+1)}{(n+1)\cdot(n^2-n+1)}=\frac{(A^2-A)\cdot (N^2+N+1)}{(N^2+N)\cdot (A^2-A+1)}=\frac{A^2-A}{A^2-A+1}\)
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2019-4-28 13:29:27 | 显示全部楼层
如何来证明:无穷乘积会是这么漂亮的数字。

\(\D\prod_{n=2}^{\infty}\frac{(n-1)^1\ (n+1)}{(n-0)^2}=\frac{1}{2\ !}\)
\(\D\prod_{n=3}^{\infty}\frac{(n-2)^2\ (n+1)}{(n-1)^3}=\frac{1}{3\ !}\)
\(\D\prod_{n=3}^{\infty}\frac{(n-2)^3\ (n+2)}{(n-1)^4}=\frac{1}{4\ !}\)
\(\D\prod_{n=4}^{\infty}\frac{(n-3)^4\ (n+2)}{(n-2)^5}=\frac{1}{5\ !}\)
\(\D\prod_{n=4}^{\infty}\frac{(n-3)^5\ (n+3)}{(n-2)^6}=\frac{1}{6\ !}\)
\(\D\prod_{n=5}^{\infty}\frac{(n-4)^6\ (n+3)}{(n-3)^7}=\frac{1}{7\ !}\)
\(\D\prod_{n=5}^{\infty}\frac{(n-4)^7\ (n+4)}{(n-3)^8}=\frac{1}{8\ !}\)
\(\D\prod_{n=6}^{\infty}\frac{(n-5)^8\ (n+4)}{(n-4)^9}=\frac{1}{9\ !}\)
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 楼主| 发表于 2019-4-28 17:31:02 | 显示全部楼层
本帖最后由 王守恩 于 2019-4-28 18:46 编辑
王守恩 发表于 2019-4-28 13:29
如何来证明:无穷乘积会是这么漂亮的数字。

\(\D\prod_{n=2}^{\infty}\frac{(n-1)^1\ (n+1)}{(n-0)^2}=\ ...


如何来证明:无穷乘积会是这么漂亮的数字。!我找到方法了!!!
一般地,可以是这样的算法,2楼只是一个特殊的例子。
请有软件的网友帮忙找一找,看能不能找出反例来!谢谢!
注意:左边是不太好算,而右边就很容易算了。
连乘不可怕,无穷连乘也不可怕,关键是把她想清楚!
我们还是可以继续往前走的!

\(\D\prod_{n=B}^{\infty}\frac{(n+C)^A\ (n+C+A+1)}{(n+C+1)^{A+1}}=\frac{(B+C)!\ (B+C)^A}{(B+C+A)!}\)



点评

在A B C 取值保证阶乘有定义条件下 公式成立  发表于 2019-4-28 21:52
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发表于 2019-4-29 08:30:10 | 显示全部楼层
用mathematica证明 1# 3个公式都正确.显然对数学家此证明不难,但是我不会
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发表于 2019-4-29 08:48:17 | 显示全部楼层
本帖最后由 dlpg070 于 2019-4-29 09:02 编辑
王守恩 发表于 2019-4-28 17:31
如何来证明:无穷乘积会是这么漂亮的数字。!我找到方法了!!!
一般地,可以是这样的算法,2楼只是 ...


3# 公式的几个计算实例 ,结果对应2#公式

1  (A = 2, B = 3, C = -2 )  左=1/3!        对应2#第2公式
2  (A = 3, B = 3, C = -2 )  左=1/4!        对应2#第3公式
3  (A = 4, B = 3, C = 2 )  左=625/3024  2#没有对应项

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 楼主| 发表于 2019-4-29 13:00:06 | 显示全部楼层
dlpg070 发表于 2019-4-29 08:30
用mathematica证明 1# 3个公式都正确.显然对数学家此证明不难,但是我不会

继续往前走!找一找中间的算式有什么规律!

\(\D\prod_{n=B}^{\infty}\frac{(n+C)^2(n+C+3)}{(n+C+1)^3}=\frac{(B+C)!\ (B+C)^2}{(B+C+2)!}\)
\(\D\prod_{n=B}^{\infty}\frac{(n+C)^3+1}{(n+C)^3-1}=\frac{(B+C-2)!\ (1+(B+C)^3)}{(B+C+1)!}\)
\(\D\prod_{n=B}^{\infty}\frac{(n+C)^3(n+C+4)}{(n+C+1)^4}=\frac{(B+C)!\ (B+C)^3}{(B+C+3)!}\)
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 楼主| 发表于 2019-4-30 08:46:28 | 显示全部楼层
本帖最后由 王守恩 于 2019-4-30 08:49 编辑
dlpg070 发表于 2019-4-29 08:30
用mathematica证明 1# 3个公式都正确.显然对数学家此证明不难,但是我不会


化无限为有限!!!  您会了吗?

求证:\(\D\prod_{n=B}^{\infty}\frac{(n-2)(n+1)^2}{(n+2)(n-1)^2}=\frac{(B-2)(B+1)}{B\ (B-1)}\)

证:\(\D\prod_{n=B}^{\infty}\frac{(n-2)(n+1)^2}{(n+2)(n-1)^2}=\prod_{n=B}^{\infty}\frac{n-2}{n+2}\cdot\frac{(n+1)^2}{(n-1)^2}\)

\(\D=\frac{(B-2)(B-1)\cdot B\cdot(B+1)}{(n-1)\cdot n\cdot(n+1)(n+2)}\cdot\frac{n^2(n+1)^2}{(B-1)^2\cdot B^2}\)

\(\D=\frac{(B-2)(B+1)}{B\ (B-1)}\)

点评

谢谢,明白了 1# ,7#的证明, 证明中用lim N->∞ 则更规范,(根据洛必达法则消掉分子分母中的N)  发表于 2019-4-30 14:36
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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发表于 2019-4-30 09:00:04 | 显示全部楼层
不知为何不能点评或回复7#
7#公式正确
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2019-4-30 10:10:35 | 显示全部楼层
本帖最后由 王守恩 于 2019-4-30 10:29 编辑
dlpg070 发表于 2019-4-30 09:00
不知为何不能点评或回复7#
7#公式正确


化无限为有限!!!
做题目:  您能把 ? 填上去吗?  当 B = 3,C = -1,您还会填吗?

求证:\(\D\prod_{n=3}^{\infty}\frac{(n-2)(n^2+2n-1)}{(n+2)(n^2-2n-1)}=\ ?\)

求证:\(\D\prod_{n=B}^{\infty}\frac{(n-2)(n^2+2n+C)}{(n+2)(n^2-2n+C)}=\ ?\)

点评

第二个问题当B=3,C=-1和第一个问题相同  发表于 2019-4-30 14:55
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发表于 2019-4-30 11:19:17 | 显示全部楼层
本帖最后由 dlpg070 于 2019-4-30 14:59 编辑
王守恩 发表于 2019-4-30 10:10
化无限为有限!!!
做题目:  您能把 ? 填上去吗?  当 B = 3,C = -1,您还会填吗?


第一问 :12/7
第二问:不知使用哪个公式的B=3,C=-1,无法作答(说明:原题已经修改,改后答案与第一问 :12/7相同)
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