数学研发论坛

 找回密码
 欢迎注册
123
返回列表 发新帖
楼主: 王守恩

[投票] 求证:\(\D\prod_{n=A}^{\infty}\frac{n^3-1}{n^3+1}=\frac{A^2-A}{A^2-A+1}\)

[复制链接]
 楼主| 发表于 2019-5-3 06:09:26 | 显示全部楼层
dlpg070 发表于 2019-5-2 14:29
回复18#问题
说明:
1 利用公式右侧计算

回归   ‘0 ‘ 点!

             \(\D\prod_{n=1}^{\infty}\frac{(n-1)(n+1)}{(n+0)(n-0)}=\frac{0}{1}\)
             \(\D\prod_{n=2}^{\infty}\frac{(n-1)(n+1)}{(n+0)(n-0)}=\frac{1}{2}\)
             \(\D\prod_{n=3}^{\infty}\frac{(n-1)(n+1)}{(n+0)(n-0)}=\frac{2}{3}\)
             \(\D\prod_{n=4}^{\infty}\frac{(n-1)(n+1)}{(n+0)(n-0)}=\frac{3}{4}\)
             \(\D\prod_{n=5}^{\infty}\frac{(n-1)(n+1)}{(n+0)(n-0)}=\frac{4}{5}\)
             \(\D\prod_{n=6}^{\infty}\frac{(n-1)(n+1)}{(n+0)(n-0)}=\frac{5}{6}\)
             \(\D\prod_{n=7}^{\infty}\frac{(n-1)(n+1)}{(n+0)(n-0)}=\frac{6}{7}\)
             \(\D\prod_{n=8}^{\infty}\frac{(n-1)(n+1)}{(n+0)(n-0)}=\frac{7}{8}\)
             \(\D\prod_{n=9}^{\infty}\frac{(n-1)(n+1)}{(n+0)(n-0)}=\frac{8}{9}\)
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2019-5-3 07:15:39 | 显示全部楼层
hujunhua 发表于 2019-4-30 15:11
`\D\prod_{n=A}^{\infty}\frac{n^3-1}{n^3+1}=\frac{A^2-A}{A^2-A+1}`

分解因子,链消不就完了么?


求助。右边应该怎么填,有点烧脑子。

\(\D\prod_{n=B}^{\infty}\frac{\bigg((n-\mu_{1})^{\mu_{2}}+\mu_{3}\bigg)\ \bigg((n+\nu_{1})^{\nu_{2}}+\nu_{3}\bigg)}{\bigg((n+\mu_{1})^{\mu_{2}}+\mu_{3}\bigg)\ \bigg((n-\nu_{1})^{\nu_{2}}+\nu_{3}\bigg)}=?\)

在这里:\(B\geqslant\mu_{1}\geqslant\nu_{1}\ \ \ \ \mu_{1}\cdot\mu_{2}=\nu_{1}\cdot\nu_{2}\ \ \ \ \mu_{3},\nu_{3}\)
可以是负数。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2019-5-3 21:41:38 | 显示全部楼层
本帖最后由 dlpg070 于 2019-5-3 22:50 编辑

22#公式太漂亮了不知如何链消得到右边表达式,证明留给专家,我来算几个数
看来人脑遇到了挑战,公式会相当复杂,电脑可以大显身手了
先以简单特例计算,查找一下规律,助兴!!!
计算条件:

\[B=100,\mu_{1}=3,\mu_{2}=2,\nu_{1}=2,\nu_{2} =3, \ \mu_{3}=1,\nu_{3}=-1\]
计算点 50 个:
n= {100, 300, 500, 700, 900, 1100, 1300, 1500, 1700, 1900, 2100, 2300, \
2500, 2700, 2900, 3100, 3300, 3500, 3700, 3900, 4100, 4300, 4500, \
4700, 4900, 5100, 5300, 5500, 5700, 5900, 6100, 6300, 6500, 6700, \
6900, 7100, 7300, 7500, 7700, 7900, 8100, 8300, 8500, 8700, 8900, \
9100, 9300, 9500, 9700, 9900}
关键数据:

22#(0,0) 极限值=0.99899016

22#(1,-1)极限值=0.99960029

16#(0,0)极限值 =0.99901005786853195123


下面是图形,显示向下快速到达极限
wse22.gif

22#演示曲线

22#演示曲线
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2019-5-4 04:12:28 | 显示全部楼层
定义一个函数阶乘:\[
f(n)!=f(1)f(2)\cdots f(n)
\]易得\[
\prod_{n=m}^{\infty}\frac{f_1(n+a_1)\cdot f_2(n+a_2)}{f_1(n+b_1)\cdot f_2(n+b_2)}=\frac{f_1(m+b_1-1)!\cdot f_2(m+b_2-1)!}{f_1(m+a_1-1)!\cdot f_2(m+a_2-1)!}
\]\(f_1,f_2\)可以更多至 \(f_k\)。这种公式搞一两个特例就有了,重复罗列一大堆有什么意思?打住吧!

评分

参与人数 1威望 +2 金币 +2 贡献 +2 经验 +2 鲜花 +2 收起 理由
王守恩 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 谢谢大师提醒!

查看全部评分

毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2019-5-4 11:42:15 | 显示全部楼层
本帖最后由 dlpg070 于 2019-5-4 14:28 编辑
王守恩 发表于 2019-5-2 17:32
谢谢hujunhua ! 链消!绝妙的方法!i!
通过链消,消去无限。无限,连乘也就不可怕了,
亲爱的朋友! ...


纪念五四运动100周年,
\[\prod _{n=B+1}^{\infty } \frac{(n-5)^{2019-1919} (n+4)^{\frac{1}{4} (2019-1919) 5}}{(n+5)^{2019-1919} (n-4)^{\frac{1}{4} (2019-1919) 5}}=((B+5) (B-4))^{100} \left(\frac{1}{(B+4) (B+3) (B+2) (B+1) B (B-1) (B-2) (B-3)}\right)^{25}\]
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
您需要登录后才可以回帖 登录 | 欢迎注册

本版积分规则

小黑屋|手机版|数学研发网 ( 苏ICP备07505100号 )

GMT+8, 2019-8-20 04:14 , Processed in 0.051867 second(s), 21 queries .

Powered by Discuz! X3.4

© 2001-2017 Comsenz Inc.

快速回复 返回顶部 返回列表