求证：\(\D\prod_{n=A}^{\infty}\frac{n^3-1}{n^3+1}=\frac{A^2-A}{A^2-A+1}\)

王守恩

dlpg070 发表于 2019-5-2 14:29
回复18#问题
说明:
1 利用公式右侧计算

回归   ‘0 ‘ 点！

             \(\D\prod_{n=1}^{\infty}\frac{(n-1)(n+1)}{(n+0)(n-0)}=\frac{0}{1}\)
             \(\D\prod_{n=2}^{\infty}\frac{(n-1)(n+1)}{(n+0)(n-0)}=\frac{1}{2}\)
             \(\D\prod_{n=3}^{\infty}\frac{(n-1)(n+1)}{(n+0)(n-0)}=\frac{2}{3}\)
             \(\D\prod_{n=4}^{\infty}\frac{(n-1)(n+1)}{(n+0)(n-0)}=\frac{3}{4}\)
             \(\D\prod_{n=5}^{\infty}\frac{(n-1)(n+1)}{(n+0)(n-0)}=\frac{4}{5}\)
             \(\D\prod_{n=6}^{\infty}\frac{(n-1)(n+1)}{(n+0)(n-0)}=\frac{5}{6}\)
             \(\D\prod_{n=7}^{\infty}\frac{(n-1)(n+1)}{(n+0)(n-0)}=\frac{6}{7}\)
             \(\D\prod_{n=8}^{\infty}\frac{(n-1)(n+1)}{(n+0)(n-0)}=\frac{7}{8}\)
             \(\D\prod_{n=9}^{\infty}\frac{(n-1)(n+1)}{(n+0)(n-0)}=\frac{8}{9}\)

王守恩

hujunhua 发表于 2019-4-30 15:11
`\D\prod_{n=A}^{\infty}\frac{n^3-1}{n^3+1}=\frac{A^2-A}{A^2-A+1}`

分解因子，链消不就完了么？

求助。右边应该怎么填，有点烧脑子。

\(\D\prod_{n=B}^{\infty}\frac{\bigg((n-\mu_{1})^{\mu_{2}}+\mu_{3}\bigg)\ \bigg((n+\nu_{1})^{\nu_{2}}+\nu_{3}\bigg)}{\bigg((n+\mu_{1})^{\mu_{2}}+\mu_{3}\bigg)\ \bigg((n-\nu_{1})^{\nu_{2}}+\nu_{3}\bigg)}=？\)

在这里：\(B\geqslant\mu_{1}\geqslant\nu_{1}\ \ \ \ \mu_{1}\cdot\mu_{2}=\nu_{1}\cdot\nu_{2}\ \ \ \ \mu_{3},\nu_{3}\)可以是负数。

dlpg070

22#公式太漂亮了不知如何链消得到右边表达式,证明留给专家,我来算几个数
看来人脑遇到了挑战,公式会相当复杂,电脑可以大显身手了
先以简单特例计算,查找一下规律,助兴!!!
计算条件:

\[B=100,\mu_{1}=3,\mu_{2}=2,\nu_{1}=2,\nu_{2} =3, \ \mu_{3}=1,\nu_{3}=-1\]
计算点 50 个:
n= {100, 300, 500, 700, 900, 1100, 1300, 1500, 1700, 1900, 2100, 2300, \
2500, 2700, 2900, 3100, 3300, 3500, 3700, 3900, 4100, 4300, 4500, \
4700, 4900, 5100, 5300, 5500, 5700, 5900, 6100, 6300, 6500, 6700, \
6900, 7100, 7300, 7500, 7700, 7900, 8100, 8300, 8500, 8700, 8900, \
9100, 9300, 9500, 9700, 9900}
关键数据:

22#(0,0) 极限值=0.99899016

22#(1,-1)极限值=0.99960029

16#(0,0)极限值 =0.99901005786853195123


下面是图形,显示向下快速到达极限
wse22.gif

hujunhua

定义一个函数阶乘：\[
f(n)!=f(1)f(2)\cdots f(n)
\]易得\[
\prod_{n=m}^{\infty}\frac{f_1(n+a_1)\cdot f_2(n+a_2)}{f_1(n+b_1)\cdot f_2(n+b_2)}=\frac{f_1(m+b_1-1)!\cdot f_2(m+b_2-1)!}{f_1(m+a_1-1)!\cdot f_2(m+a_2-1)!}
\]\(f_1,f_2\)可以更多至 \(f_k\)。这种公式搞一两个特例就有了，重复罗列一大堆有什么意思？打住吧！

dlpg070

王守恩 发表于 2019-5-2 17:32
谢谢hujunhua ！ 链消！绝妙的方法！i！
通过链消，消去无限。无限,连乘也就不可怕了，
亲爱的朋友！ ...

纪念五四运动100周年,
\[\prod _{n=B+1}^{\infty } \frac{(n-5)^{2019-1919} (n+4)^{\frac{1}{4} (2019-1919) 5}}{(n+5)^{2019-1919} (n-4)^{\frac{1}{4} (2019-1919) 5}}=((B+5) (B-4))^{100} \left(\frac{1}{(B+4) (B+3) (B+2) (B+1) B (B-1) (B-2) (B-3)}\right)^{25}\]