求证：\(\D\prod_{n=A}^{\infty}\frac{n^3-1}{n^3+1}=\frac{A^2-A}{A^2-A+1}\)

王守恩

dlpg070 发表于 2019-4-30 11:19
第一问 :12/7
第二问:不知使用哪个公式的B=3,C=-1,无法作答

第二问：看看这 12/7 是怎么来的，找找规律！
第三问：试试把这些 2 都换下来。
第四问：改一改指数！

目的：化复杂为简单！！化无限为有限！！！

hujunhua

`\D\prod_{n=A}^{\infty}\frac{n^3-1}{n^3+1}=\frac{A^2-A}{A^2-A+1}`

分解因子，链消不就完了么？

王守恩

dlpg070 发表于 2019-4-30 11:19
第一问 :12/7
第二问:不知使用哪个公式的B=3,C=-1,无法作答(说明:原题已经修改,改后答案与第一问 :12/ ...

化复杂为简单！化无限为有限！！！

第一问 ：\(\D\prod_{n=3}^{\infty}\frac{(n-2)(n^2+2n-1)}{(n+2)(n^2-2n-1)}=\frac{12}{7}\)

第二问 ：\(\D\prod_{n=B}^{\infty}\frac{(n-2)(n^2+2n+C)}{(n+2)(n^2-2n+C)}=\frac{(B+1)!}{(B-3)!\ (B^2-2B-C)(B^2+C-1)}\)

第三问：试试把第一问这些系数 2 都换下来。

第四问 ：试试改一改第一问的指数 1,2

王守恩

dlpg070 发表于 2019-4-29 08:30
用mathematica证明 1# 3个公式都正确.显然对数学家此证明不难,但是我不会

电脑能出来答案吗？人脑是可以的！

\(\D\prod_{n=999}^{\infty}\frac{(n-888)^{333}(n+666)^{444}}{(n+888)^{333}(n-666)^{444}}=\ ?\)

王守恩

王守恩 发表于 2019-4-30 20:19
电脑能出来答案吗？人脑是可以的！

\(\D\prod_{n=999}^{\infty}\frac{(n-888)^{333}(n+666)^{444}}{ ...

电脑能出来答案吗？人脑是可以的！

\(\D\prod_{n=999}^{\infty}\frac{(n-888)^{333}\ (n+666)^{444}}{(n+888)^{333}\ (n-666)^{444}}=\frac{(1886!)^{333}\ (332!)^{444}}{(110!)^{333}\ (1664!)^{444}}\)

王守恩

hujunhua 发表于 2019-4-30 15:11
`\D\prod_{n=A}^{\infty}\frac{n^3-1}{n^3+1}=\frac{A^2-A}{A^2-A+1}`

分解因子，链消不就完了么？

谢谢hujunhua ！链消！精灵的词！切中要害！
通过 链消，消去 复杂；通过 链消，消去 无限。
给出最基础的公式，由此展开可以有无穷的变化。

\(\D\prod_{n=(B+1)}^{\infty}\frac{\big(n-\mu_{1}\big)^{\mu_{2}}\ \big(n+\nu_{1}\big)^{\nu_{2}}}{\big(n+\mu_{1}\big)^{\mu_{2}}\ \big(n-\nu_{1}\big)^{\nu_{2}}}=\frac{\big((B+\mu_{1})!\big)^{\mu_{2}}\ \big((B-\nu_{1})!\big)^{\nu_{2}}}{\big((B-\mu_{1})!\big)^{\mu_{2}}\ \big((B+\nu_{1})!\big)^{\nu_{2}}}\)

在这里：  \(B\geqslant\mu_{1}\geqslant\nu_{1}\ \ \ \ \ \mu_{1}\cdot\mu_{2}=\nu_{1}\cdot\nu_{2}\)

dlpg070

王守恩 发表于 2019-5-1 10:27
电脑能出来答案吗？人脑是可以的！

\(\D\prod_{n=999}^{\infty}\frac{(n-888)^{333}\ (n+666)^{444}}{ ...

这个极限太小了,我误作为0
15#公式正确
公式的极限值                      5.817970910---*10^-25766
我验算到100000000  计算值  5.817990694---*10^-25766 小数点后第5位稍大

王守恩

王守恩 发表于 2019-4-30 20:19
电脑能出来答案吗？人脑是可以的！

\(\D\prod_{n=999}^{\infty}\frac{(n-888)^{333}(n+666)^{444}}{ ...

谢谢dlpg070！后面这2个 ？ 您能填吗？

\(\D\prod_{n=9}^{\infty}\frac{(n-8)^{3}(n+6)^{4}}{(n+8)^{3}(n-6)^{4}}=\frac{(16!)^{3}(2!)^{4}}{(0!)^{3}(14!)^{4}}=\frac{160}{63063}\)
\(\D\prod_{n=9}^{\infty}\frac{(n+8)^{3}(n-6)^{4}}{(n-8)^{3}(n+6)^{4}}=\frac{(0!)^{3}(14!)^{4}}{(16!)^{3}(2!)^{4}}=\frac{63063}{160}\)
\(\D\prod_{n=99}^{\infty}\frac{(n-88)^{33}(n+66)^{44}}{(n+88)^{33}(n-66)^{44}}=\frac{(186!)^{33}(32!)^{44}}{(10!)^{33}(164!)^{44}}=2.94573186496502767242234793162888*10^{-258}\)
\(\D\prod_{n=99}^{\infty}\frac{(n+88)^{33}(n-66)^{44}}{(n-88)^{33}(n+66)^{44}}=\frac{(10!)^{33}(164!)^{44}}{(186!)^{33}(32!)^{44}}=3.39474210770324882676728183372296*10^{257}\)
\(\D\prod_{n=999}^{\infty}\frac{(n-888)^{333}(n+666)^{444}}{(n+888)^{333}(n-666)^{444}}=\frac{(1886!)^{333}(332!)^{444}}{(110!)^{333}(1664!)^{444}}=5.81797090961515503554792814*10^{-25766}\)
\(\D\prod_{n=999}^{\infty}\frac{(n+888)^{333}(n-666)^{444}}{(n-888)^{333}(n+666)^{444}}=\frac{(110!)^{333}(1664!)^{444}}{(1886!)^{333}(332!)^{444}}=1.71881230679124799218132588*10^{25765}\)
\(\D\prod_{n=9999}^{\infty}\frac{(n-8888)^{3333}(n+6666)^{4444}}{(n+8888)^{3333}(n-6666)^{4444}}=\frac{(18886!)^{3333}(3332!)^{4444}}{(1110!)^{3333}(16664!)^{4444}}=4.7291298915138928875*10^{-2576681}\)
\(\D\prod_{n=9999}^{\infty}\frac{(n+8888)^{3333}(n-6666)^{4444}}{(n-8888)^{3333}(n+6666)^{4444}}=\frac{(1110!)^{3333}(16664!)^{4444}}{(18886!)^{3333}(3332!)^{4444}}=2.1145538882203956356*10^{2576680}\)
\(\D\prod_{n=99999}^{\infty}\frac{(n-88888)^{33333}(n+66666)^{44444}}{(n+88888)^{33333}(n-66666)^{44444}}=\frac{(188886!)^{33333}(33332!)^{44444}}{(11110!)^{33333}(166664!)^{44444}}=?\)
\(\D\prod_{n=99999}^{\infty}\frac{(n+88888)^{33333}(n-66666)^{44444}}{(n-88888)^{33333}(n+66666)^{44444}}=\frac{(11110!)^{33333}(166664!)^{44444}}{(188886!)^{33333}(33332!)^{44444}}=?\)

dlpg070

王守恩 发表于 2019-5-2 08:39
谢谢dlpg070！后面这2个 ？ 您能填吗？

\(\D\prod_{n=9}^{\infty}\frac{(n-8)^{3}(n+6)^{4}}{(n+8)^ ...

回复18#问题
说明:
1 利用公式右侧计算
2 为增加计算的可信度,对5组条件的问题全部计算.
  初步判断前4组与楼主计算一致.
  第5组为我的独有计算,请验证.
1 =======================
a=3 b=4 c=16 d=0 g=2 h=14
a1=0.0025371453942882514311
a2=394.14375000000000000

2 =======================
a=33 b=44 c=186 d=10 g=32 h=164
a1=2.9457318649650276724*10^-258
a2=3.3947421077032488268*10^257

3 =======================
a=333 b=444 c=1886 d=110 g=332 h=1664
a1=5.8179709096151550355*10^-25766
a2=1.7188123067912479922*10^25765

4 =======================
a=3333 b=4444 c=18886 d=1110 g=3332 h=16664
a1=4.7291298915138928876*10^-2576681
a2=2.1145538882203956357*10^2576680

5 =======================
a=33333 b=44444 c=188886 d=11110 g=33332 h=166664
a1=1.4772565885013425664*10^-257669636
a2=6.7693047218999841062*10^257669635

\[\D\prod_{n=99999}^{\infty}\frac{(n-88888)^{33333}(n+66666)^{44444}}{(n+88888)^{33333}(n-66666)^{44444}}=\frac{(188886!)^{33333}(33332!)^{44444}}{(11110!)^{33333}(166664!)^{44444}}=1.4772565885013425664*10^{-257669636}\]
\[\D\prod_{n=99999}^{\infty}\frac{(n+88888)^{33333}(n-66666)^{44444}}{(n-88888)^{33333}(n+66666)^{44444}}=\frac{(11110!)^{33333}(166664!)^{44444}}{(188886!)^{33333}(33332!)^{44444}}=6.7693047218999841062*10^{257669635}\]

王守恩

hujunhua 发表于 2019-4-30 15:11
`\D\prod_{n=A}^{\infty}\frac{n^3-1}{n^3+1}=\frac{A^2-A}{A^2-A+1}`

分解因子，链消不就完了么？

谢谢hujunhua ！ 链消！绝妙的方法！i！
通过链消，消去无限。无限,连乘也就不可怕了，
亲爱的朋友！看着这漂亮的算式，请您拿笔也来几串！


\(\D\prod_{n=B}^{\infty}\frac{(n-2)(n+3)}{(n-1)(n+2)}=\frac{B-2}{B+2}\)

譬如：

\(\D\prod_{n=3}^{\infty}\frac{(n-2)(n+3)}{(n-1)(n+2)}=\frac{1}{5}\)
\(\D\prod_{n=4}^{\infty}\frac{(n-2)(n+3)}{(n-1)(n+2)}=\frac{2}{6}\)
\(\D\prod_{n=5}^{\infty}\frac{(n-2)(n+3)}{(n-1)(n+2)}=\frac{3}{7}\)
\(\D\prod_{n=6}^{\infty}\frac{(n-2)(n+3)}{(n-1)(n+2)}=\frac{4}{8}\)
\(\D\prod_{n=7}^{\infty}\frac{(n-2)(n+3)}{(n-1)(n+2)}=\frac{5}{9}\)
\(\D\prod_{n=8}^{\infty}\frac{(n-2)(n+3)}{(n-1)(n+2)}=\frac{6}{10}\)
\(\D\prod_{n=9}^{\infty}\frac{(n-2)(n+3)}{(n-1)(n+2)}=\frac{7}{11}\)