硬币排列数学

markfang2050

kastin 发表于 2019-5-19 19:25
(*3x3每行每列1个，共有6种，也等于每行每列2个*)
Coefficient[SymmetricPolynomial[1, {a, b, c}]^3 // E ...

你是对的

markfang2050

MATLAB程序修改。
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mathe

(2n) x (2n)的网格里面选择$2n^2$格放置硬币使得每行每列都正好有一半的格子有硬币的不同方案有多少种？
其中通过行交换，列交换，旋转，翻转能够相互转换的都看成同一种

kastin

mathe 发表于 2019-5-20 08:33
(2n) x (2n)的网格里面选择$2n^2$格放置硬币使得每行每列都正好有一半的格子有硬币的不同方案有多少种？
...

如果不限制变换途径（包括变换的先后顺序和次数）的话，应该只有一种吧，因为任何一种可行方案都可以通过上述变换得到新的方案（包括与自身相同）。

我觉得可以直接问 `2n\times2n` 方格放硬币使得每行每列恰有 `n` 个的不同方案，以及问考虑经过有限次旋转和翻转后重合的被视为同一方案的情况下，结果是多少。

mathe

查看n=3时3*3子矩阵包含最多硬币数目可以知道不唯一。如9楼的前两个方案是不同的

不知道n=3时不等价的是不是就如图4种

王守恩

mathe 发表于 2019-5-21 12:14
查看n=3时3*3子矩阵包含最多硬币数目可以知道不唯一。如9楼的前两个方案是不同的

不知道n=3时不等价的是 ...

我建议：大家约定一下
每行用一个二进制的数来表示。
譬如6*6，6行用6个二进制的数来表示，
第1行是6个数中最小的一个
第6行是6个数中最大的一个
反正后面的不能比前面的大
6*6可以有20个数。
×××000=07
××0×00=11
××00×0=13
××000×=14
×0××00=19
×0×0×0=21
×0×00×=22
×00××0=25
×00×0×=26
×000××=28
0×××00=35
0××0×0=37
0××00×=38
0×0××0=41
0×0×0×=42
0×00××=44
00×××0=49
00××0×=50
00×0××=52
000×××=56

hujunhua

mathe 发表于 2019-5-20 08:33
(2n) x (2n)的网格里面选择$2n^2$格放置硬币使得每行每列都正好有一半的格子有硬币的不同方案有多少种？
...

或许能导致一个新数列，否则计算出前面若干项后在数列网站可以查到资料。

那些在初等变换下的矩阵不变量或许对于分类和计数有一定的作用。

mathe

结果在 https://oeis.org/A058527
但是等价类竟然没有人提供

王守恩

mathe 发表于 2019-5-21 21:07
结果在 https://oeis.org/A058527
但是等价类竟然没有人提供

题目太难了，不妨先放一放，用下面的题找找感觉：
n x n 网格里放置硬币，使得每行每列都正好有2个硬币，不同方案有多少种？
其中通过行交换，列交换，旋转，翻转能够相互转换的都看成同一种
每行用一个条码(二进制数)来表示。
第1行(a1)与最后1行(b1)是互补的1对
a1的条码是最小的
b1的条码是最大的
如果把b1的条码倒过来看，不能比a1小
同理a2,b2，a3,b3，a4,b4，...