一道相当困难的三重积分以及MMA代码

葡萄糖

\[ \Large\iiint\limits_{(x^2+y^2)^2+z^4\,\leqslant\,x+y+z}\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z \]
\begin{align*}
\Large{\left(\sqrt{\left(\sqrt{\color{red}5}-{\color{red}1}\right){\color{red}2}}+\arctan\left(\sqrt{\frac{\sqrt{\color{red}5}+{\color{red}1}}{\color{red}2}}\,\,\right)\,\right)\frac{\pi}{3}}
\end{align*}
对于封闭曲面\(\,\Gamma\colon(x^2+y^2)^2+z^4=x+y+z\,\,\)围成的封闭区域\(\,J\colon(x^2+y^2)^2+z^4\leqslant\,x+y+z\,\,\)
笔者利用Wolfram Mathematica 10.3的Integrate+ImplicitRegion命令还是利用Integrate+Boole命令计算封闭区域\(\,J\,\)的体积，程序都没有给出解析结果。

1. RegionJ = ImplicitRegion[(x^2 + y^2)^2 + z^4 \[LessSlantEqual] x + y + z, {x, y, z}]
   
2. Integrate[1, {x, y, z} \[Element] RegionJ]
   
3. Integrate[Boole[(x^2 + y^2)^2 + z^4 \[LessSlantEqual] x + y + z], {x, -1, 2}, {y, -1, 2}, {z, -1, 2}]

复制代码

而，利用Wolfram Mathematica 10.3的NIntegrate+ImplicitRegion命令还是利用NIntegrate+Boole命令计算封闭区域\(\,J\,\)的体积，程序给出的数值结果与解析值一致。

1. RegionJ = ImplicitRegion[(x^2 + y^2)^2 + z^4 \[LessSlantEqual] x + y + z, {x, y, z}]
   
2. NIntegrate[1, {x, y, z} \[Element] RegionJ]
   
3. NIntegrate[Boole[(x^2 + y^2)^2 + z^4 \[LessSlantEqual] x + y + z], {x, -1, 2}, {y, -1, 2}, {z, -1, 2}]

复制代码

************************************************************


另外，将斜着的封闭曲面\(\,\Gamma\colon(x^2+y^2)^2+z^4=x+y+z\,\,\)
绕向量\(\,\overset{\small\rightharpoonup}{l}(-1,1,0)\,\)逆时针旋转\(\,\arccos{\frac{1}{\sqrt{\,3\,}}}\,\)，
得到正着的封闭曲面\(\,\Sigma\colon(x+y-z)^4+4(x^2+y^2+z^2-xy+xz+yz)^2=9\sqrt{3}\,z\,\)

1. Clear["Global`*"];(*Clear all variables*)
   
2. (*z轴的单位向量为(0,0,1)，待转轴上的一个向量P是(1,1,1)，
   
3. 计算向量积得到旋转轴上的一个向量q(-1,1,0)，计算旋转角度*)
   
4. (*绕着向量q(-1,1,0)旋转ArcCos[1/Sqrt[3]],
   
5. 所求曲面上的点(a,b,c)旋转后就在斜着的曲面上*)
   
6. out = RotationMatrix[ArcCos[1/Sqrt[3]], {-1, 1, 0}].{a, b, c}
   
7. (*化简出来的点在方程上,逐项替换,c轴就是z轴*)
   
8. xyz = (x^2 + y^2)^2 + z^4 == x + y + z /. Thread[{x, y, z} -> out]
   
9. xyz = FullSimplify@xyz

复制代码

其中，封闭曲面\(\,\Gamma\,\)旋转的代码参考该贴：https://bbs.emath.ac.cn/thread-15672-1-1.html

************************************************************

对于封闭曲面\(\,\Sigma\colon(x+y-z)^4+4(x^2+y^2+z^2-xy+xz+yz)^2=9\sqrt{3}\,z\,\)围成的封闭区域
\(\,K\colon(x+y-z)^4+4(x^2+y^2+z^2-xy+xz+yz)^2\leqslant9\sqrt{3}\,z\,\)
由于Wolfram Mathematica 10.3无法解出隐式区域，于是
笔者利用Wolfram Mathematica 10.3的Integrate+ImplicitRegion命令以及Integrate+Boole命令计算封闭区域\(\,K\,\)的体积，程序依旧没有给出解析结果。

1. RegionK = ImplicitRegion[(x + y - z)^4 + 4 (x^2 + y^2 + z^2 - x*y + x*z + y*z)^2 \[LessSlantEqual] 9 Sqrt[3] z, {x, y, z}]
   
2. Integrate[1, {x, y, z} \[Element] RegionK]
   
3. Integrate[Boole[(x + y - z)^4 + 4 (x^2 + y^2 + z^2 - x*y + x*z + y*z)^2 \[LessSlantEqual] 9 Sqrt[3] z], {x, -1, 2}, {y, -1, 2}, {z, -1, 2}]

复制代码

更令人诧异的是，利用Wolfram Mathematica 10.3的NIntegrate+ImplicitRegion命令以及NIntegrate+Boole命令计算封闭区域\(\,K\,\)的体积，程序给出错误的数值结果。

1. RegionK = ImplicitRegion[(x + y - z)^4 + 4 (x^2 + y^2 + z^2 - x*y + x*z + y*z)^2 \[LessSlantEqual] 9 Sqrt[3] z, {x, y, z}]
   
2. NIntegrate[1, {x, y, z} \[Element] RegionK]
   
3. NIntegrate[Boole[(x + y - z)^4 + 4 (x^2 + y^2 + z^2 - x*y + x*z + y*z)^2 \[LessSlantEqual] 9 Sqrt[3] z], {x, -1, 2}, {y, -1, 2}, {z, -1, 2}]

复制代码

[AoPS]The volume of the solid enclosed by surface
https://artofproblemsolving.com/community/c7h1835622

mathematica

解析解不行，那就数值解

mathematica

写了这么多代码，你应该把代码的允许结果也贴出来，
然后别人看了结果后，再决定是否看你的，
没结果，准备让别人运行代码后再看对你帖子是否感兴趣？

wayne

旋转后的曲面好像算的不太对【不应该还是ArcCos[1/Sqrt[3]]】。所以才得出错误的数值结果。
参考https://bbs.emath.ac.cn/thread-15842-3-1.html 的29楼代码。

1. from={0,0,1};to={1,1,1};
   
2. f=Function[{x,y,z},(x^2+y^2)^2+z^4-(x+y+z)];
   
3. t=FullSimplify[f@@(RotationTransform[VectorAngle[from,to],Cross[from,to]][{x,y,z}])]

复制代码

===
另外，再怎么旋转，都应该不会比当前的表达式 更简洁的吧

葡萄糖

wayne 发表于 2019-5-23 13:31
旋转后的曲面好像算的不太对【不应该还是ArcCos[1/Sqrt[3]]】。所以才得出错误的数值结果。
参考https://bbs.emath.ac.cn/thread-15842-3-1.html 的29楼代码。 ...

嘻嘻，你算的也是对的！这两个结果是等价的！
不信你看看这两个：

1. (x + y - z)^4 + 4 (x^2 + y^2 + z^2 - x*y + x*z + y*z)^2 - 9 Sqrt[3] z // Expand
   
2. 
   
3.    (5 x^4 - 4 x^3 y + 18 x^2 y^2 - 4 x y^3 + 5 y^4 - 9 Sqrt[3] z +
   
4.    4 (x + y) (x^2 - 4 x y + y^2) z + 6 (3 x^2 + 2 x y + 3 y^2) z^2 +
   
5.    4 (x + y) z^3 + 5 z^4) // Expand

复制代码