初中几何题求三角形的高

mathematica

已知三角形ABC中
AD=2
DB=3
∠ACB=45°，
求三角形ABC的面积，
如果用高中的办法，当然很容易求解，
但是用初中的办法如何求解呢？

王守恩

\(三角形ABC的面积=(2+3)*h/2=\sqrt{(h^2+2^2)}*\sqrt{(h^2+3^2)}*\sin45°/2\)

mathe

这题还是用三角函数好，意义明确。

平几方法可以过B引射线BE使得角ABE为45°，而且CE垂直BE,于是三角形BCE相似ACD,在利用图中两个等腰直角三角形直接可以算出AD

hujunhua

BE+3=CE+2⇒CE=BE+1⇒勾三股四玄五

mathe

应该是$(x-2)^2+(x-3)^2=5^2$

hujunhua

mathe 发表于 2019-8-12 17:28
应该是$(x-2)^2+(x-3)^2=5^2$

王守恩

mathe 发表于 2019-8-11 13:21
这题还是用三角函数好，意义明确。

平几方法可以过B引射线BE使得角ABE为45°，而且CE垂直BE,于是三角形B ...

\(\D\arctan\left(\frac{2}{x}\right)+\arctan\left(\frac{3}{x}\right)=45°\)

mathematica

王守恩 发表于 2019-8-13 06:15
\(\D\arctan\left(\frac{2}{x}\right)+\arctan\left(\frac{3}{x}\right)=45°\)

FindRoot[ArcTan[2/x] + ArcTan[3/x] - Pi/4, {x, 2},  WorkingPrecision -> 100]
求解结果
{x -> 6.00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000\
0000000000000000000000000000000000000}
数值解万岁！mathematica万岁！

hujunhua

△AEC≌△CFB⇒CE/AE=BF/CF⇒CE·CF=AE·BF
`(h-2)(h-3)=2\sqrt2·3\sqrt2`

wayne

我也在想通用的方法的,这个太需要创造力了. 所幸 顺着条件的充分必要性往下捋,发现了一种方法,纯粹的初中方法.


题目的条件刚好仅能确定$ABC$外接圆的半径, 接下来我们只需要算出$AB$所在的高$CD$,如下:

做外接圆.   三角形$ABC$的外接圆半径$R = AG=CG = \frac{AB}{2sinC}$
$DE = 1/2(DB- DA)$
$CH^2  = CG^2-HG^2 = R^2 - 1/4(DB- DA)^2$
所以面积$S = 1/2AB*CD = 1/2AB*(CH+HD) = 1/2AB*(CH+ 1/2AB*cosC)$