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[提问] 初中几何题求三角形的高

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发表于 2019-8-11 10:09:46 | 显示全部楼层 |阅读模式

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已知三角形ABC中
AD=2
DB=3
∠ACB=45°,
求三角形ABC的面积,
如果用高中的办法,当然很容易求解,
但是用初中的办法如何求解呢?
QQ截图20190811100709.png
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2019-8-11 13:15:16 | 显示全部楼层

\(三角形ABC的面积=(2+3)*h/2=\sqrt{(h^2+2^2)}*\sqrt{(h^2+3^2)}*\sin45°/2\)
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发表于 2019-8-11 13:21:35 来自手机 | 显示全部楼层
这题还是用三角函数好,意义明确。

平几方法可以过B引射线BE使得角ABE为45°,而且CE垂直BE,于是三角形BCE相似ACD,在利用图中两个等腰直角三角形直接可以算出AD
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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发表于 2019-8-12 07:09:30 | 显示全部楼层
BE+3=CE+2⇒CE=BE+1⇒勾三股四玄五
690BA4C5-1510-416C-86BA-0D6BE1559157.jpeg
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发表于 2019-8-12 17:28:48 来自手机 | 显示全部楼层
应该是$(x-2)^2+(x-3)^2=5^2$
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发表于 2019-8-12 22:07:56 | 显示全部楼层
mathe 发表于 2019-8-12 17:28
应该是$(x-2)^2+(x-3)^2=5^2$

24BB55FB-8943-42DD-9019-5D9F73D56E11.jpeg

点评

@mathematica, GeoGebra(iPad版)  发表于 2019-8-13 16:00
图用什么软件画的?  发表于 2019-8-13 15:22
配图不错!  发表于 2019-8-13 15:15
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发表于 2019-8-13 06:15:45 | 显示全部楼层
mathe 发表于 2019-8-11 13:21
这题还是用三角函数好,意义明确。

平几方法可以过B引射线BE使得角ABE为45°,而且CE垂直BE,于是三角形B ...

\(\D\arctan\left(\frac{2}{x}\right)+\arctan\left(\frac{3}{x}\right)=45°\)

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@gxqcn 9#也是通用方法🥢  发表于 2019-8-14 13:15
不过,却是一种通用性解法,45°可以替换成其它任意角度都可以得解  发表于 2019-8-14 07:42
初中时没学反三角函数  发表于 2019-8-13 13:43
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 楼主| 发表于 2019-8-13 15:19:22 | 显示全部楼层
王守恩 发表于 2019-8-13 06:15
\(\D\arctan\left(\frac{2}{x}\right)+\arctan\left(\frac{3}{x}\right)=45°\)

FindRoot[ArcTan[2/x] + ArcTan[3/x] - Pi/4, {x, 2},  WorkingPrecision -> 100]
求解结果
{x -> 6.00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000\
0000000000000000000000000000000000000}
数值解万岁!mathematica万岁!

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hahaha...  发表于 2019-8-15 07:43
你这个mathematica真笨,我的可以直接用符号计算得到结果。  发表于 2019-8-14 02:45
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发表于 2019-8-13 17:12:31 | 显示全部楼层
△AEC≌△CFB⇒CE/AE=BF/CF⇒CE·CF=AE·BF
`(h-2)(h-3)=2\sqrt2·3\sqrt2`
D4046EC2-7A08-474F-A348-2A8ACCFFB15F.jpeg

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@mathe 触屏拖不动  发表于 2019-9-2 03:52
这办法也很不错,不亏是浙江大学毕业的  发表于 2019-8-15 10:34
可以用鼠标拖动  发表于 2019-8-15 08:22
GeoGebra貌似不能移动标签的位置。  发表于 2019-8-13 21:00
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发表于 2019-8-15 08:24:19 | 显示全部楼层
我也在想通用的方法的,这个太需要创造力了. 所幸 顺着条件的充分必要性往下捋,发现了一种方法,纯粹的初中方法.

Screenshot from 2019-08-15 08-23-27.png
题目的条件刚好仅能确定$ABC$外接圆的半径, 接下来我们只需要算出$AB$所在的高$CD$,如下:

做外接圆.   三角形$ABC$的外接圆半径$R = AG=CG = \frac{AB}{2sinC}$
$DE = 1/2(DB- DA)$
$CH^2  = CG^2-HG^2 = R^2 - 1/4(DB- DA)^2$
所以面积$S = 1/2AB*CD = 1/2AB*(CH+HD) = 1/2AB*(CH+ 1/2AB*cosC)$

点评

没有用到面积, 是要计算面积  发表于 2019-8-15 14:04
最后一步,无需用到面积的。\(CD=CH+HD=CH+GE=CH+AE*\cos\angle AGE\),而\(AE=\dfrac{1}{2}AB, \angle AGE =\dfrac{1}{2}\angle AGB=\angle ACB \)  发表于 2019-8-15 10:18
没怎么看懂  发表于 2019-8-15 08:26
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