求四面体体积的最大值

王守恩

有见过这种说法的朋友！请给个链接。
没见过这种说法的朋友！请举个反例。
题目是这样：给定6条都是整数棱的四面体，记6条棱的长度：3<a1≤a2≤a3≤a4≤a5≤a6
6条棱对应的位置：右边的5=n1,2=n2,左边的5=n3,右边的3=n4,4=n5,左边的3=n6
则：当n1=a1,n2=a2,n3=a3,n4=a4,n5=a5,n6=a6时该四面体的体积是最大的。

mathematica

我只懂三个字，穷举法，然后用行列式计算体积，已知六条棱可以用行列式计算体积的！

王守恩

mathematica 发表于 2019-11-11 08:28
我只懂三个字，穷举法，然后用行列式计算体积，已知六条棱可以用行列式计算体积的！

六条不同的棱，体积可以有60个答案，把最大的找出来，有实际意义。

markfang2050

你写程序啊

王守恩

接1楼。
因为找不出反例，我来试试(这不是我的强项)，希望网友批评。
我们总可以让一个面( 3 条棱)着地(水平)，另外3条棱( 3 个面)形成高，
体积=底面积*高(系数不用管)，为了让底面积 - 高 = 尽可能大，
底面积( 3 条棱)取较小，高( 3 条棱)取较大时，体积会是最大的
补充：为了让 6 条棱形成四面体，我们约定较小 2 条棱的和＞最大的棱。
体积公式(只有一个减号)。
\(\D\sqrt{\frac{a b (c+ d + e + f) + c d (a + b + e + f) +
   e f (a + b + c +
      d ) - \big(a b (a + b ) + c d(c + d) + e f (e + f) +
   a (c e + d f) + b (c f + d e)
    \big)}{144}}\)

补充内容 (2019-11-17 18:11):
体积公式：6 条棱长度=sqrt(a),sqrt(b),sqrt(c),sqrt(d),sqrt(e),sqrt(f)。

补充内容 (2019-11-18 16:08):
体积公式中，6 条棱分为 3 组：a与b,c与d,e与f，每条棱与既不在同一个面又没有公共顶点的那一条棱(简称看不见的那条棱)是同一组。

nyy

王守恩 发表于 2019-11-17 04:55
接1楼。
因为找不出反例，我来试试(这不是我的强项)，希望网友批评。
我们总可以让一个面( 3 条棱)着地( ...

初看，以为你发现了四面体体积公式的新表达方式，再仔细看，原来没有！
还有我不明白你的意思

nyy

你给的这个四面体计算体积是
\(\frac{8 \sqrt{2}}{3}\)

参考资料，四面体体积都有现成的计算子函数
https://bbs.emath.ac.cn/forum.ph ... 8&fromuid=14149
计算四面体体积的Cayley-Menger行列式如何理解？

nyy

https://bbs.emath.ac.cn/forum.ph ... 6&fromuid=14149
如何把四面体体积公式的表达式尽可能地化简简单?

这边有现成的子函数，拿来就用！反正都是软件计算，没啥复杂的

王守恩

nyy 发表于 2023-3-1 13:53
https://bbs.emath.ac.cn/forum.ph ... 6&fromuid=14149
如何把四面体体积公式的表达 ...

谢谢nyy的关注!!! 这是直接用6条棱来表达四面体体积的公式，希望有见过这公式的朋友！给个链接。谢谢！

\(V=\sqrt{\frac{ab(c+d+e+f)+cd(a+b+e+f)+ef(a+b+c+d)-(ab(a+b)+cd(c+d)+ef(e+f)+a(ce+df)+b(cf+de))}{144}}\)

a,b,c,d,e,f 用下面的数值代入都可以得到\(\frac{8\sqrt{2}}{3}\)
a,b,c,d,e,f=4,16,9,25,9,25,
a,b,c,d,e,f=4,16,25,9,25,9,
a,b,c,d,e,f=9,25,4,16,9,25,
a,b,c,d,e,f=9,25,16,4,25,9,
a,b,c,d,e,f=9,25,9,25,4,16,
a,b,c,d,e,f=9,25,25,9,16,4,
a,b,c,d,e,f=16,4,9,25,25,9
a,b,c,d,e,f=16,4,25,9,9,25,
a,b,c,d,e,f=25,9,4,16,25,9,
a,b,c,d,e,f=25,9,16,4,9,25,
a,b,c,d,e,f=25,9,9,25,16,4,
a,b,c,d,e,f=25,9,25,9.4,16,

谢谢nyy!!! 这是链接里的公式。谢谢！我来消化消化。

V=\(\frac{\sqrt{ad(b+c+e+f-a-d)+be(a+c+d+f-b-e)+cf(a+b+d+e-c-f)-abf-bcd-cae-def)}}{12}\)

nyy

王守恩 发表于 2023-3-2 11:22
谢谢nyy的关注!!! 直接用6条棱表达四面体体积的公式，希望有见过这公式的朋友！给个链接。谢谢！

\( ...

https://bbs.emath.ac.cn/forum.ph ... 7&fromuid=14149

这个公式和你的不是一样吗？很奇怪吗？