求四面体体积的最大值

nyy

https://citeseerx.ist.psu.edu/vi ... p=rep1&type=pdf

这儿给出了另外一种不同的表达式


https://bbs.emath.ac.cn/forum.ph ... 0&fromuid=14149

这儿也有一种表达式

不妨记同一顶点引出的三条棱棱长的平方分别为a，b，c，它们的对棱棱长的平方分别为d，e，f，则四面体的体积V满足：
V=
sqrt[ad(b+c+e+f-a-d)+be(a+c+d+f-b-e)+cf(a+b+d+e-c-f)-abf-bcd-cae-def)]/12

王守恩

谢谢nyy!!!  宝贵的资料！ 回归主帖：

已知一个四面体的六条棱长为 a≤b≤c≤d≤e≤f ，求此四面体体积的最大值。

有现成的资料可以参考吗？谢谢！

nyy

王守恩 发表于 2023-3-2 15:23
谢谢nyy!!!  宝贵的资料！ 回归主帖：

已知一个四面体的六条棱长为 a≤b≤c≤d≤e≤f ，求此四面体体积 ...

没有！只有穷举法！

nyy

三角形里面有
$0=1-2cosAcosBcosC-((cosA)^2+(cosB)^2+(cosC)^2)$这个恒等式
四面体体积计算公式里面有
$1+2cosAcosBcosC-((cosA)^2+(cosB)^2+(cosC)^2)$这项
具体见：
https://bbs.emath.ac.cn/forum.ph ... 0&fromuid=14149

nyy

你这个问题，没啥意思呀，因为全排列，得到720种情况，然后求所有720种情况体积，然后取最大值，丝毫没有任何技术含量，难道你从来没想过这个问题吗？

王守恩

谢谢 nyy！怪我没把题目交代清楚,  重新来过。

我们把四面体看作三角形ABC(P是内部一点),

\(BC=\sqrt{a},CA=\sqrt{b},AB=\sqrt{c},PA=\sqrt{A},PB=\sqrt{B},PC=\sqrt{C}\)

问题 1,  已知6条棱，求四面体体积。公式如下：

\(\sqrt{\frac{aA(b+B+c+C)+bB(a+A+c+C)+cC(a+A+b+B)-(aA(a+A)+bB(b+B)+cC(c+C)+a(bc+BC)+A(bC+Bc))}{144}}\)

问题 2,  已知6条棱，求四面体体积的最大值。

公式不变，6条棱按a≤b≤c≤A≤B≤C排列。譬如：

6条棱=5, 6, 7, 8, 9, 10,  a=25,b=36,c=49,A=64,B=81,C=100,

Table[Table[Table[Table[Table[Table[Solve[{V == Sqrt[(a*A (b + B + c + C) + b*B (a + A + c + C) + c*C (a + A + b + B)
- (a*A (a + A) + b*B (b + B) + c*C (c + C) + a (b*c + B*C) + A (b*C + B*c)))/144]}, {V}], {a, 25, 25}], {b, 36, 36}], {c, 49, 49}], {A, 64, 64}], {B, 81, 81}], {C, 100, 100}]

{{{{{{{{V -> 16 Sqrt[5]}}}}}}}}

问题 3,  已知6条棱，求四面体体积的最小值。

公式不变，6 条棱按 a≥b≥c≥A≥B≥C 排列。譬如：

6条棱=5, 6, 7, 8, 9, 10,  a=100,b=81,c=64,A=49,B=36,C=25,

Table[Table[Table[Table[Table[Table[Solve[{V == Sqrt[(a*A (b + B + c + C) + b*B (a + A + c + C) + c*C (a + A + b + B)
- (a*A (a + A) + b*B (b + B) + c*C (c + C) + a (b*c + B*C) + A (b*C + B*c)))/144]}, {V}], {a, 100, 100}], {b, 81, 81}], {c, 64, 64}], {A, 49, 49}], {B, 36, 36}], {C, 25, 25}]

{{{{{{{{V -> (7 Sqrt[215])/4}}}}}}}}

nyy

王守恩 发表于 2023-3-3 14:09
谢谢 nyy！怪我没把题目交代清楚,  重新来过。

我们把四面体看作三角形ABC(P是内部一点),

你的代码实在是太丑了！丑不可看！

nyy

王守恩 发表于 2023-3-3 14:09
谢谢 nyy！怪我没把题目交代清楚,  重新来过。

我们把四面体看作三角形ABC(P是内部一点),

最小体积
{5, 6, 8, 9, 7, 10}
5、9对棱
6、7对棱
8、10对棱
5、6、8有公共顶点，
体积最小值是
$\frac{\sqrt{36791}}{12}$
数值
15.9842

体积最大值排列
{{5, 6, 8, 10, 9, 7}, {5, 7, 9, 10, 8, 6}, {5, 8, 6, 10, 7, 9}, {5, 9,
   7, 10, 6, 8}, {6, 5, 8, 9, 10, 7}, {6, 7, 10, 9, 8, 5}, {6, 8, 5,
  9, 7, 10}, {6, 10, 7, 9, 5, 8}, {7, 5, 9, 8, 10, 6}, {7, 6, 10, 8,
  9, 5}, {7, 9, 5, 8, 6, 10}, {7, 10, 6, 8, 5, 9}, {8, 5, 6, 7, 10,
  9}, {8, 6, 5, 7, 9, 10}, {8, 9, 10, 7, 6, 5}, {8, 10, 9, 7, 5,
  6}, {9, 5, 7, 6, 10, 8}, {9, 7, 5, 6, 8, 10}, {9, 8, 10, 6, 7,
  5}, {9, 10, 8, 6, 5, 7}, {10, 6, 7, 5, 9, 8}, {10, 7, 6, 5, 8,
  9}, {10, 8, 9, 5, 7, 6}, {10, 9, 8, 5, 6, 7}}

最大体积$4 \sqrt{95}$
数值化得到38.987177379235855627

你算的最大体积最小体积全部不对

王守恩

nyy 发表于 2023-3-6 10:43
最小体积
{5, 6, 8, 9, 7, 10}
5、9对棱

1，是的，最大体积,最小体积全部不对。2，我还是想找一找规律。3，体积数值应该有30个？

nyy

王守恩 发表于 2023-3-6 15:02
1，是的，最大体积,最小体积全部不对。2，我还是想找一找规律。3，体积数值应该有30个？

没啥规律，直接穷举法，你真累！