三角形面积最大的驻点条件

dlpg070

三角形面积最大值

P是一个固定的锐角∠BAC内的一个动点，B、C是角两边上的动点，保持PA, PB, PC长度不变。
1、以PA=10，PB=6，PC=7为例，求△ABC的最大面积。
2、求证： ∠PBA=∠PCA 时，△ABC的面积最大。

注：2是王守恩的猜想, 已经特例验证。是人教版高中  问题的深入思索

lsr314

令x=∠ABP，y=∠ACP，t=∠BAP,w,u,v分别为PA,PB,PC，问题转化为：
已知$sinx=w/u sint$，$siny=w/v sin(A-t)$,
求$(sin(t+x)sin(A-t+y))/(sint sin(A-t))$的最大值。

lsr314

这是《命题人讲座_圆》托勒密定理一个例题

dlpg070

dlpg070 发表于 2020-3-24 16:17
改变角BAC=45

用chyanog的代码,对于∠BAC=60,可以证明 ∠PBA=∠PCA 时  S最大
见参考图 png60_10_6_7.png

结果:给出 ∠PCA,∠PBA的精确值,且相等
{Sqrt[3] (23+5 Sqrt[13]),{b->Sqrt[1/127 (11573+2660 Sqrt[13])],c->4 Sqrt[2/127 (371+75 Sqrt[13])],a->Sqrt[1/127 (11761+2520 Sqrt[13])]}}
S=Sqrt[3] (23+5 Sqrt[13])
∠PCA= (180 ArcCos[1/14 Sqrt[127/(11573+2660 Sqrt[13])] (-51+1/127 (11573+2660 Sqrt[13]))])/\[Pi]
∠PBA= (180 ArcCos[1/48 Sqrt[127/(2 (371+75 Sqrt[13]))] (-64+32/127 (371+75 Sqrt[13]))])/\[Pi]

∠PCA-∠PBA=  0.*10^-1098  

但是还有问题:
对于∠BAC不是60,cos[BAC]是无理数, chyanog的代码好像长时间不停
需要把Maximize 改为 NMaximize 只能近似得 ∠PBA=∠PCA 时  S最大
可以继续使用Maximize 吗?

王守恩

lsr314 发表于 2020-3-25 11:52
这是《命题人讲座_圆》托勒密定理一个例题

谢谢 lsr314！ 借用 5 楼解主帖。
作四边形 APCD (利用三角形ABC)，AD 平行 BP
AB=DP，∠ABP=∠ADP， AP=10，AD=7，PC=6
S△ABC=AB*AC*sin60°/2=四边形面积=DP*AC*sin60°/2
我们有：当 ∠ADP = ∠ACP 时，四边形有最大面积。

dlpg070

dlpg070 发表于 2020-3-24 16:17
改变角BAC=45

△ABC面积最大值存在的条件
《命题人讲座_圆》例8 如图7.9
已经证明 ∠PCA= ∠PDA
因为 ∠PDA= ∠PBA
所以 证明了 ∠PCA = ∠PBA  

现在讨论问题的第二部分,△ABC面积最大值存在的条件
推导出简单的关于PA,PB,PC的判别公式

设∠XAY=∠BAC=θ,PAa,PB=b,PC=c,
参见 png60_11.269_6_7.png(θ=60)
a,b,c的比例决定最大值是否存在,
我们讨论∠BAC固定为任意锐角,给定b,c情况下,a的可能取值
P点通常在三角形内部,
极限情形是P在BC边上,即P,F点重合

显然  a<=b && a<=c P必然在△ABC内部,面积有最大值
a取最大可能值时,P,F重合,P在BC边上,
此时 因为 ∠PCA= ∠PBA  ,△ABC是等腰三角形
∠PCA= ∠PBA= (180-θ)/2

记 AB=AC=x
根据余弦定理,得到

a的判定公式:
x=Sqrt[(b+c)^2/(2-2 Cos[\[Theta] Degree])]
amax=Sqrt[x^2+c^2-2 x c Cos[(180-\[Theta])/2 Degree]]
smax= 1/2 x x Sin[(\[Theta]) Degree]
即:
对于给定的 b,c
a的取值范围(P在三角形内部,存在最大面积)
0< a < amax

例1 θ=60 b=6,c=7 amax=Sqrt[127]= 11.269

如果人教版高中的题目修改如下
在△ABC中，∠BAC=60°。P在△ABC内。PA=14，PB=6，PC=7 求△ABC的最大面积
因 a=14>amax,判断 此题无解,
如果不预先判断,盲目引用已知求解公式,或得到错误解,或长期运行不停
png60_11.269_6_7.png

dlpg070

dlpg070 发表于 2020-3-28 15:19
△ABC面积最大值存在的条件
《命题人讲座_圆》例8 如图7.9
已经证明 ∠PCA= ∠PDA

例2 θ=60 b=6,c=2 amax= 7.211
改变 b,c值
png60_7.211_6_2.png

dlpg070

dlpg070 发表于 2020-3-28 15:26
例2 θ=60 b=6,c=2 amax= 7.211
改变 b,c值
png60_7.211_6_2.png

例3 θ=45 b=6,c=7 amax= 15.7003
改变θ值 θ减小,amax增加
png45_15.7003_6_7.png

dlpg070

原贴:
求助一道三角题的证明
见参考图 png60_10_6_7.png
P为△ABC内一动点(以A为原点PA为半径做圆弧转动)，∠BAC是锐角,固定不变，PA,PB,PC固定不变,例如A=10，PB=7，PC=6，△ABC的面积= S
        请证明 ∠PBA=∠PCA 时  S最大,记为Smax,
        求Smax并讨论存在最大值的条件。
这是王守恩的猜想,已经验证无误,求助理论证明   
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2020-03-29被好心的管理员改标题和编辑内容
提高了标题的档次,但我业余爱好者看不明白了

三角形面积最大的驻点条件
P是一个固定的锐角∠BAC内的一个动点，B、C是角两边上的动点，保持PA, PB, PC长度不变。
1、以PA=10，PB=6，PC=7为例，求△ABC的最大面积。
2、求证： ∠PBA=∠PCA 时，△ABC的面积最大。

注：2是王守恩的猜想, 已经特例验证。是人教版高中  问题的深入思索
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王守恩

dlpg070 发表于 2020-3-29 09:21
原贴:
求助一道三角题的证明
见参考图 png60_10_6_7.png

题目：P 在△ABC 内，∠BAC=60°，PA=10，PB=7，PC=6， 求△ABC 的最大面积 S。
记 10 对应的角 ∠PBA=∠PCA=x
\(\arcsin\frac{&#8289;7\sin&#8289;(x)}{&#8289;10}+\arcsin\frac{&#8289;&#8289;6\sin&#8289;&#8289;(x)}{10}=60^\circ\)
可得 x=50.216988
\(b=\sqrt{10^2&#8722;(6\sin&#8289;&#8289;(x))^2}+6\cos&#8289;&#8289;(x)\)
\(c=\sqrt{10^2&#8722;(7\sin&#8289;&#8289;(x))^2}+7\cos&#8289;&#8289;(x)\)
\(\D S=\frac{1}{2}b&#8727;c&#8727;\sin&#8289;(60^\circ)\)=71.0622
\(\D S=\frac{1}{2}\bigg(10^2\cos(60^\circ)+7*6+10\sqrt{7^2+6^2+2*7*6*\cos(60^\circ)-(10\sin(60^\circ))^2}\bigg)\sin(60^\circ)\)
第 2 个 S 是 3 楼的最大面积公式，这 2 个 S 可有办法把他们互通起来？谢谢大家！
当然，60°,10,7,6 可以换任意常数值