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[求助] 三角形面积最大的驻点条件

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三角形面积最大值

三角形面积最大值

P是一个固定的锐角∠BAC内的一个动点,B、C是角两边上的动点,保持PA, PB, PC长度不变。
1、以PA=10,PB=6,PC=7为例,求△ABC的最大面积。
2、求证: ∠PBA=∠PCA 时,△ABC的面积最大。

注:2是王守恩的猜想, 已经特例验证。是人教版高中  问题的深入思索
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发表于 5 天前 | 显示全部楼层
令x=∠ABP,y=∠ACP,t=∠BAP,w,u,v分别为PA,PB,PC,问题转化为:
已知$sinx=w/u sint$,$siny=w/v sin(A-t)$,
求$(sin(t+x)sin(A-t+y))/(sint sin(A-t))$的最大值。

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公式很好,但我只能实现数值 x=y,  发表于 4 天前
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发表于 4 天前 | 显示全部楼层
这是《命题人讲座_圆》托勒密定理一个例题
1.jpg
2.jpg

点评

太漂亮了,例题7.9和我设计的问题几乎一模一样,,谢谢  发表于 4 天前

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王守恩 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 两个面积公式,答案是一致的!

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 楼主| 发表于 3 天前 | 显示全部楼层

用chyanog的代码,对于∠BAC=60,可以证明 ∠PBA=∠PCA 时  S最大
见参考图 png60_10_6_7.png

结果:给出 ∠PCA,∠PBA的精确值,且相等
{Sqrt[3] (23+5 Sqrt[13]),{b->Sqrt[1/127 (11573+2660 Sqrt[13])],c->4 Sqrt[2/127 (371+75 Sqrt[13])],a->Sqrt[1/127 (11761+2520 Sqrt[13])]}}
S=Sqrt[3] (23+5 Sqrt[13])
∠PCA= (180 ArcCos[1/14 Sqrt[127/(11573+2660 Sqrt[13])] (-51+1/127 (11573+2660 Sqrt[13]))])/\[Pi]
∠PBA= (180 ArcCos[1/48 Sqrt[127/(2 (371+75 Sqrt[13]))] (-64+32/127 (371+75 Sqrt[13]))])/\[Pi]

∠PCA-∠PBA=  0.*10^-1098  

但是还有问题:
对于∠BAC不是60,cos[BAC]是无理数, chyanog的代码好像长时间不停
需要把Maximize 改为 NMaximize 只能近似得 ∠PBA=∠PCA 时  S最大
可以继续使用Maximize 吗?

png60_10_6_7.png
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发表于 3 天前 | 显示全部楼层
本帖最后由 王守恩 于 2020-3-27 06:10 编辑
lsr314 发表于 2020-3-25 11:52
这是《命题人讲座_圆》托勒密定理一个例题


谢谢 lsr314! 借用 5 楼解主帖。
作四边形 APCD (利用三角形ABC),AD 平行 BP
AB=DP,∠ABP=∠ADP, AP=10,AD=7,PC=6
S△ABC=AB*AC*sin60°/2=四边形面积=DP*AC*sin60°/2
我们有:当 ∠ADP = ∠ACP 时,四边形有最大面积。
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 楼主| 发表于 昨天 15:19 | 显示全部楼层

△ABC面积最大值存在的条件
《命题人讲座_圆》例8 如图7.9
已经证明 ∠PCA= ∠PDA
因为 ∠PDA= ∠PBA
所以 证明了 ∠PCA = ∠PBA  

现在讨论问题的第二部分,△ABC面积最大值存在的条件
推导出简单的关于PA,PB,PC的判别公式

设∠XAY=∠BAC=θ,PAa,PB=b,PC=c,
参见 png60_11.269_6_7.png(θ=60)
a,b,c的比例决定最大值是否存在,
我们讨论∠BAC固定为任意锐角,给定b,c情况下,a的可能取值
P点通常在三角形内部,
极限情形是P在BC边上,即P,F点重合

显然  a<=b && a<=c P必然在△ABC内部,面积有最大值
a取最大可能值时,P,F重合,P在BC边上,
此时 因为 ∠PCA= ∠PBA  ,△ABC是等腰三角形
∠PCA= ∠PBA= (180-θ)/2

记 AB=AC=x
根据余弦定理,得到

a的判定公式:
x=Sqrt[(b+c)^2/(2-2 Cos[\[Theta] Degree])]
amax=Sqrt[x^2+c^2-2 x c Cos[(180-\[Theta])/2 Degree]]
smax= 1/2 x x Sin[(\[Theta]) Degree]
即:
对于给定的 b,c
a的取值范围(P在三角形内部,存在最大面积)
0< a < amax

例1 θ=60 b=6,c=7 amax=Sqrt[127]= 11.269

如果人教版高中的题目修改如下
在△ABC中,∠BAC=60°。P在△ABC内。PA=14,PB=6,PC=7 求△ABC的最大面积
因 a=14>amax,判断 此题无解,
如果不预先判断,盲目引用已知求解公式,或得到错误解,或长期运行不停
png60_11.269_6_7.png

abc的取值

abc的取值

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方法 1:arctan(7/10)+arctan(6/10) < ∠BAC 时无最大面积。方法 2:去掉条件60°,可得到最大面积。  发表于 昨天 19:20
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 楼主| 发表于 昨天 15:26 | 显示全部楼层
dlpg070 发表于 2020-3-28 15:19
△ABC面积最大值存在的条件
《命题人讲座_圆》例8 如图7.9
已经证明 ∠PCA= ∠PDA

例2 θ=60 b=6,c=2 amax= 7.211
改变 b,c值
png60_7.211_6_2.png
png60_7.211_6_2.png
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 楼主| 发表于 昨天 15:31 | 显示全部楼层
dlpg070 发表于 2020-3-28 15:26
例2 θ=60 b=6,c=2 amax= 7.211
改变 b,c值
png60_7.211_6_2.png

例3 θ=45 b=6,c=7 amax= 15.7003
改变θ值 θ减小,amax增加
png45_15.7003_6_7.png
png45_15.7003_6_7.png
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