三角形面积最大的驻点条件

dlpg070

dlpg070 发表于 2020-3-28 15:31
例3 θ=45 b=6,c=7 amax= 15.7003
改变θ值 θ减小,amax增加
png45_15.7003_6_7.png

mathematica 34#计算结果的图形
P点在三角形外

dlpg070

dlpg070 发表于 2020-3-30 17:17
mathematica 34#计算结果的图形
P点在三角形外

例4 mathematica 在40# 给出计算BAC的代码,思路与我的一样,设P在BC边上 ,但有bug,结果角度差0.077度  a值11.9809 <12
所以
BAC= 57.0041 a=12  b= 6 c= 7 P仍然在三角形外部
我改进后
BAC= 56.9276 a=12 b= 6 c= 7   P在BC边上 ,显然 三角形面积比前例大
结论:BAC'<56.9276,可以确保 a=12 b= 6 c= 7   P在三角形内部

计算结果对比:
BAC= 57.0041 b= 6 c= 7 amax= 11.9809 smax= 77.8082    mathematica
BAC= 56.9276 b= 6 c= 7 amax= 12.     smax= 77.9323       dlpg070

m40改进_12_6_7.png

mathematica

dlpg070 发表于 2020-4-2 18:08
例4 mathematica 在40# 给出计算BAC的代码,思路与我的一样,设P在BC边上 ,但有bug,结果角度差0.077度  a ...

请问你为什么不说自己算错了，要说我算错了呢？？？？？？？？？
我是两种办法算，最后是一样的。

dlpg070

mathematica 发表于 2020-4-3 08:47
请问你为什么不说自己算错了，要说我算错了呢？？？？？？？？？
我是两种办法算，最后是一样的。

我作为业余爱好者自己定了一条规矩,不在"难题征解"发帖,只发点评
这里是开心茶馆,如果你愿意,我可以和你讨论
指出你的bug,只需修改2个字符

我在这里讨论P点的原因之一是响应你原题 12#的要求:
"有个小漏洞，p点有可能在三角形ABC外面，如何排除这个情况？"
我现在给出一个P在三角形外的实例,怎么成了烂题?
你是我学习mathematica 的老师,不要欺负学生吆

mathematica

dlpg070 发表于 2020-4-3 11:03
我作为业余爱好者自己定了一条规矩,不在"难题征解"发帖,只发点评
这里是开心茶馆,如果你愿意,我可以和你 ...

1. Clear["Global`*"];
   
2. (*PB=6，PC=7，以P为原点建立直角坐标系，A(x,y),B(-6,0) C(7,0)*)
   
3. (*计算两条直线的斜率*)
   
4. k1=(y-0)/(x-7)
   
5. k2=(y-0)/(x-(-6))
   
6. (*根据两条直线的斜率，反算两条斜线的夹角，得到目标函数*)
   
7. ang=ArcTan[(k1-k2)/(1+k1*k2)]*180/Pi//FullSimplify
   
8. Maximize[
   
9.     {ang,
   
10.     (*PA=12,A点是圆轨迹，约数条件*)
    
11.     x^2+y^2==12^2
    
12.     },{x,y}
    
13. ]//FullSimplify
    
14. (*数值化*)
    
15. N[%,100]
    

复制代码

思路都写在注释里面，很简单，没有bug，我计算的时候，就假设BPC在一条直线上，计算出来的结果
肯定不可能是P在三角形ABC外面！
肯定是你软件的bug。
计算结果
\[\left\{\frac{180 \tan ^{-1}\left(\frac{26}{\sqrt{285}}\right)}{\pi },\left\{x\to \frac{24}{17},y\to \frac{12 \sqrt{285}}{17}\right\}\right\}\]
数值化的结果是：
{57.00411452642046574839408312076702936540411913563253500794847861956109903977399704166414394272228313,
{x->1.411764705882352941176470588235294117647058823529411764705882352941176470588235294117647058823529412,
y->11.91666565844762271749427487730972469801068975832342631951750851383477375315139404228065198192260624}}
第一个就是角度

角度的精确值是$\tan ^{-1}\left(\frac{26}{\sqrt{285}}\right)$

https://bbs.emath.ac.cn/forum.ph ... 806&fromuid=865
https://bbs.emath.ac.cn/forum.ph ... 807&fromuid=865
https://bbs.emath.ac.cn/forum.ph ... 819&fromuid=865

dlpg070

mathematica 发表于 2020-4-3 11:08
思路都写在注释里面，很简单，没有bug，我计算的时候，就假设BPC在一条直线上，计算出来的结果
肯定 ...

按你的代码得 BAC= 57.0041没错
P点在BC边上时 ,三角形面积= 77.8082 不是最大
P点在BC边上时, a= 11.9809  != 12 错了
亦可以验算一下 a=? 是11.9809 还是 12
也可以利用求解公式 原题 4# 9# 10# 16# 等计算一下最大面积 是否>77.8082
验算一下立刻知道谁的bug

mathematica

dlpg070 发表于 2020-4-3 11:32
按你的代码得 BAC= 57.0041没错
P点在BC边上时 ,三角形面积= 77.8082 不是最大
P点在BC边上时, a= 11.9 ...

我用那个计算，是为了反驳你，
当你要求点在三角形内部的时候，并且要求PA=12 PB=6，PC=7的时候，
你的最大的角BAC，是小于60度的，是为了告诉你，你的条件不兼容！！！！！
懂不懂我的意思？
你啥学历程度？
会用mathematica吗？

mathematica

dlpg070 发表于 2020-4-3 11:32
按你的代码得 BAC= 57.0041没错
P点在BC边上时 ,三角形面积= 77.8082 不是最大
P点在BC边上时, a= 11.9 ...

你水平太低了，不要理我了！不要再在我的回答上点评了！

1. (*计算P点在BC上时最大值时的对应的角BAC*)
   
2. Clear["Global`*"];
   
3. (*计算余弦值子函数,利用三边计算余弦值*)
   
4. cs[a_,b_,c_]:=(a^2+b^2-c^2)/(2*a*b)
   
5. ans=Solve[{
   
6. (*角APB与角APC的余弦值的和是零*)
   
7. cs[12,6,c]+cs[12,7,b]==0&&
   
8. (*https://bbs.emath.ac.cn/forum.php?mod=redirect&goto=findpost&ptid=17200&pid=83683&fromuid=865
   
9. 角ADP等于角ACP(因为四点共圆),其实可以推出此时AB=AC,用余弦值计算并不太好*)
   
10. cs[6,c,12]==cs[b,7,12]
    
11. },{b,c}
    
12. ]//FullSimplify
    
13. (*模仿Wayne的代码，求解角BAC的值*)
    
14. ArcCos[cs[#1,#2,6+7]]*180/Pi&@@@({b,c}/.ans)
    
15. N[%,20]
    

复制代码

求解结果
\[\left\{\{b\to -19,c\to 6\},\{b\to -5,c\to 18\},\{b\to 5,c\to -18\},\{b\to 19,c\to -6\},\left\{b\to -\sqrt{186},c\to -\sqrt{186}\right\},\left\{b\to \sqrt{186},c\to \sqrt{186}\right\}\right\}\]
求解的角度
\[\left\{180,180,180,180,\frac{180 \cos ^{-1}\left(\frac{203}{372}\right)}{\pi },\frac{180 \cos ^{-1}\left(\frac{203}{372}\right)}{\pi }\right\}\]
数值化
{180.00000000000000000,180.00000000000000000,180.00000000000000000,180.00000000000000000,
56.927561350057540452,
56.927561350057540452}
对应的角度（弧度制）是$\cos ^{-1}\left(\frac{203}{372}\right)$

dlpg070

mathematica 发表于 2020-4-3 14:02
你水平太低了，不要理我了！不要再在我的回答上点评了！

求解结果

你的水平太高了,终于得到和我一样的正确答案
不再坚持你的错误了,老师,再见
如果发现错误,我还会提醒你,不会置之不理

dlpg070

dlpg070 发表于 2020-4-2 18:08
例4 mathematica 在40# 给出计算BAC的代码,思路与我的一样,设P在BC边上 ,但有bug,结果角度差0.077度  a ...

我的低水平代码,善于发现bug,与某人代码仅差2字符
多么好的代码,半途而废太可惜
我苦口婆心提醒多少次,直至半小时前,一直不肯认真验算一下

图形已经贴出,下面是代码

1. (* 求临界角度,改进某源码,修改 2 字符 *)
   
2. Clear["Global`*"];
   
3. PA=12;PB=6;PC=7;
   
4. (*定义余弦定理--- 对边的平方*)
   
5. fun[a_,b_,x_]:=a^2+b^2-2*a*b*Cos[x]
   
6. out=NMaximize[{(m+n)*180/Pi,(*两次余弦定理*)c^2==fun[6,12,x]&&b^2==fun[7,12,y]&&(*两次正弦定理*)Sin[m]/6==Sin[m+x]/12&&Sin[n]/7==Sin[n+y]/12&&(*确保PA在BC的同一侧*)x+y>=Pi&&(*变量都是正的*)b>0&&c==b&&x>0&&y>0&&m>0&&n>0&&
   
7. m<Pi/2&&n<Pi/2},{m,n,x,y,b,c}]
   
8. Print["BAC=",out[[1]],"度"]
   
9. 
   

复制代码

输出:
{56.9276,{m->0.455108,n->0.538465,x->1.61248,y->1.52912,b->13.6382,c->13.6382}}
BAC=56.9276度