阿里巴巴数学竞赛预选赛第二轮

mathematica

阿里巴巴的问题，这些题目都是能被解决的问题，不算问题，
数学研究靠的是努力坚持与积累，
有本事你研究哥德巴赫猜想给我看看，研究三个整数的立方和等于114给我看看，
研究黎曼猜想给我看看

dongxie

dongxie 发表于 2020-4-2 11:11
嗯嗯，我算的也是7次105。34/60/79/92/100/104/105

34/60/79/92/100/104/105，这个都是a的情况，依次往上测试。
如果是b，比如34b，那只需测33就可以了。
如果是是34c，那32/33肯定有问题的，只需测1--31。现在还剩下2个好石头。
测第8层，如果8b，只需测7就可以了。如果8c，则6/7肯定有问题，剩下的1--5，依次从低到高，5次搞定。
如果8a，后面测15/21/26/30/31（如果石头正常的话）。就是30到31比较特殊，不能直接加3，因为是最后一次测试了。

dongxie

如果可以测8次，最多可以105+（34+9）=148，底下可以多出来43层，第一次从43测，正常的话，上面7次搞定105层。

dongxie

dongxie 发表于 2020-4-2 14:35
34/60/79/92/100/104/105，这个都是a的情况，依次往上测试。
如果是b，比如34b，那只需测33就可以了。
...

怎么样回复点评？
第1次测试,第1只杯碎了，第2次测试,第2只杯碎了，第3次测试,第3只杯裂了，N= ?
当然N=0啦，题目有说明

34c、8c、1b，N=0

dongxie

应该说，测试时有2种可能，34c/8c/1b或34c/8c/1c。这两种情况都是N=0
实际情况有3种可能，分别是1b2b3c/1b2c/1c，但我们没法探究了，因为没有石头了，题目到此为止了，也不需探究了。

毒酒滴冻鸭

有关第一题，这是我在智力题吧写的详细解释及证明（原思路及结果为吧友【我靠923】首先发表）：



首先是题设，就是有某一型号的杯子，已肯定最高可以从第N层摔下来完好无缺（情况a），而从第N+1和N+2层摔下来则只会破裂（情况b），从第N+3或更高的楼层摔下来则会粉碎（情况c）。咱们现在有三个这样的杯子，要求用最少的次数【保证】测试出N的数值。（每次测试后如果杯子还是完好无缺则可以继续使用，否则如裂了或碎了就只能丢弃不能再用。）

现在咱们用函数【F(x,m)】代表用x个杯子测试m次最多能在多少层楼的范围内保证测出N值。

如果咱只有一个杯子，那就只好老老实实地从第一层开始一层一层向上逐层测试，否则假如跳了一层，然后出现情况b（裂了），那就不可能判断被跳过了的下层是a还是b，从而不知N值是下层还是再下层了。所以如果有10层楼的话就要测10次才能【保证】测出N值（因为N可能就是这么倒霉的正好是10），100层楼就要测100次。因此可以总结出【F(1,m)=m】这个结果。



假如现在有两个杯子，那就可以跳层了，因为摔坏了一个的话还有一个备胎（但是使用最后备胎的时候就只能老老实实的一层一层测试了）。

【F(2,m)】该怎么分析计算呢？首先咱假设一开首在第k层开始测试：

情况a：假如杯子完好无缺，那么可以肯定在第k-1层或更低的楼层也都会是情况a的，那些楼层就完全不用再理会了。现在咱用了一次测试，手头还剩两个杯子，所以从第k+1层继续往上测，最多还可以再测出【F(2,m-1)】层的结果（也就是最高可以测到第【k+F(2,m-1)】层是否有可能是N值）。

情况b：假如杯子裂了，那么就很好办了。现在N值只能是k-1或k-2，接下来只要用第二个杯子在第k-1层测试，结果不出情况a或情况b。情况a的话那N就是k-1，情况b的话那N就是k-2。

情况c：假如杯子碎了，那么可以肯定在第k+1层或更高的楼层也都会是情况c的，那些楼层就完全不用再理会了。同时在第k-1和k-2层也肯定不会出现情况a，那么还需要检测的范围就缩窄至【1至k-3】，总共有【k-3】层。现在咱用了一次测试，手头还剩一个杯子，所以从第一层开始老老实实逐层往上测，最多可以测出【F(1,m-1)】层的结果。

从情况c，得出【k-3 = F(1,m-1)】，即【k = F(1,m-1)+3】；再从情况a，可知能保证测出N值的最高层数为【k+F(2,m-1)】。代入k值，得出最高层数为【F(1,m-1)+3+F(2,m-1)】。

因此，咱可以总结出【F(2,m) = F(1,m-1)+3+F(2,m-1)】这个结果。



【F(3,m)】又如何呢？咱可以惊奇地发现，原来跟【F(2,m)】的分析计算基本上是一模一样的！那么就不需要像复读机般重复一遍了（虽然复制黏贴也就几秒钟的功夫），直接得出这个结果：

【F(3,m) = F(2,m-1)+3+F(3,m-1)】

然后，咱可以列出下面这个表（注意F(2,1)和F(3,1)都是1，因为只能测一次）：

1. f(1,m) f(2,m) f(3,m)
   
2. ------ ------ ------
   
3.    1      1      1
   
4.    2      5      5
   
5.    3     10     13
   
6.    4     16     26
   
7.    5     23     45
   
8.    6     31     71
   
9.    7     40    105
   
10.    8     50    148
    
11.    9     61    201
    
12.   10     73    265
    
13.   11     86    341
    
14.   12    100    430

复制代码

回到原题目，可知用三个杯子的话，测七次只能从【第1至105层】中保证测出N值，120层的话是不够的；测八次则可以从【第1至148层】中保证测出N值，对付120层就绰绰有余了。

所以原题的答案就是【A. 8】。

毒酒滴冻鸭

最后还有一个小尾巴，就是【F(2,m)】和【F(3,m)】的通解多项式要怎么算出来的呢？这里也一并演算一下好了。。。

首先确定F(1,1)=F(2,1)=F(3,1)=1、F(1,m)=m

已知F(2,m+1) = F(1,m) + 3 + F(2,m) = F(2,m) + m + 3
现在设定F(2,m) = P * m^2 + Q * m + R
则F(2,m+1) = P * (m+1)^2 + Q * (m+1) + R = P * (m^2 + 2m + 1) + Q * (m+1) + R
= (P * m^2 + Q * m + R) + P * (2m + 1) + Q = F(2,m) + (2P) * m + (P+Q)
对比系数得：2P = 1、P+Q = 3
则P = 1/2、Q = 5/2。又F(2,1)=1，所以P+Q+R = 1，则R = -2。
因此【F(2,m) = 1/2 * m^2 + 5/2 * m - 2 = (m^2 + 5m - 4)/2】

已知F(3,m+1) = F(2,m) + 3 + F(3,m) = F(3,m) + (m^2 + 5m)/2 + 1
现在设定F(3,m) = S * m^3 + T * m^2 + U * m + V
则F(3,m+1) = S * (m+1)^3 + T * (m+1)^2 + U * (m+1) + V
= S * (m^3 + 3m^2 + 3m + 1) + T * (m^2 + 2m + 1) + U * (m+1) + V
= (S * m^3 + T * m^2 + U * m + V) + S * (3m^2 + 3m + 1) + T * (2m + 1) + U
= F(3,m) + (3S) * m^2 + (3S+2T) * m + (S+T+U)
对比系数得：3S = 1/2、3S+2T = 5/2、S+T+U = 1
则S = 1/6、T = 1、U = -1/6。又F(3,1)=1，所以S+T+U+V = 1，则V = 0。
因此【F(3,m) = 1/6 * m^3 + 1 * m^2 - 1/6 * m = m(m^2 + 6m - 1)/6】

其实一直算下去，【F(4,m)】、【F(5,m)】……等等也是可以算出来的，这里不做了……

王守恩

第一题：答案是 8，8 次可以测试到 148 层 。
第000层编码0，N=000=1(b)+2(b)+3(b)
第001层编码3，N=001=1(b)+2(b)+3(a)+4(b)
第002层编码4，N=002=1(b)+2(b)+3(a)+4(a)+5(b)
第003层编码5，N=003=1(b)+2(b)+3(a)+4(a)+5(a)+6(b)
第004层编码6，N=004=1(b)+2(b)+3(a)+4(a)+5(a)+6(a)+7(b)
第005层编码7，N=005=1(b)+2(b)+3(a)+4(a)+5(a)+6(a)+7(a)+8(b)
第006层编码8，N=006=1(b)+2(b)+3(a)+4(a)+5(a)+6(a)+7(a)+8(a)
第007层编码0，
第008层编码0，
第009层编码2，N=009=1(b)+2(a)+3(b)+4(b)
第010层编码4，N=010=1(b)+2(a)+3(b)+4(a)+5(b)
第011层编码5，N=011=1(b)+2(a)+3(b)+4(a)+5(a)+6(b)
第012层编码6，N=012=1(b)+2(a)+3(b)+4(a)+5(a)+6(a)+7(b)
第013层编码7，N=013=1(b)+2(a)+3(b)+4(a)+5(a)+6(a)+7(a)+8(b)
第014层编码8，N=014=1(b)+2(a)+3(b)+4(a)+5(a)+6(a)+7(a)+8(a)
第015层编码0，
第016层编码0，
第017层编码3，N=017=1(b)+2(a)+3(a)+4(b)+5(b)
第018层编码5，N=018=1(b)+2(a)+3(a)+4(b)+5(a)+6(b)
第019层编码6，N=019=1(b)+2(a)+3(a)+4(b)+5(a)+6(a)+7(b)
第020层编码7，N=020=1(b)+2(a)+3(a)+4(b)+5(a)+6(a)+7(a)+8(b)
第021层编码8，N=021=1(b)+2(a)+3(a)+4(b)+5(a)+6(a)+7(a)+8(a)
第022层编码0，
第023层编码0，
第024层编码4，N=024=1(b)+2(a)+3(a)+4(a)+5(b)+6(b)
第025层编码6，N=025=1(b)+2(a)+3(a)+4(a)+5(b)+6(a)+7(b)
第026层编码7，N=026=1(b)+2(a)+3(a)+4(a)+5(b)+6(a)+7(a)+8(b)
第027层编码8，N=027=1(b)+2(a)+3(a)+4(a)+5(b)+6(a)+7(a)+8(a)
第028层编码0，
第029层编码0，
第030层编码5，N=030=1(b)+2(a)+3(a)+4(a)+5(a)+6(b)+7(b)
第031层编码7，N=031=1(b)+2(a)+3(a)+4(a)+5(a)+6(b)+7(a)+8(b)
第032层编码8，N=032=1(b)+2(a)+3(a)+4(a)+5(a)+6(b)+7(a)+8(a)
第033层编码0，
第034层编码0，
第035层编码6，N=035=1(b)+2(a)+3(a)+4(a)+5(a)+6(a)+7(b)+8(b)
第036层编码8，N=036=1(b)+2(a)+3(a)+4(a)+5(a)+6(a)+7(b)+8(a)
第037层编码0，
第038层编码0，
第039层编码7，N=039=1(b)+2(a)+3(a)+4(a)+5(a)+6(a)+7(a)+8(b)
第040层编码8，N=040=1(b)+2(a)+3(a)+4(a)+5(a)+6(a)+7(a)+8(a)
第041层编码0，
第042层编码0，
第043层编码1，N=043=1(a)+2(b)+3(b)+4(b)
第044层编码4，N=044=1(a)+2(b)+3(b)+4(a)+5(b)
第045层编码5，N=045=1(a)+2(b)+3(b)+4(a)+5(a)+6(b)
第046层编码6，N=046=1(a)+2(b)+3(b)+4(a)+5(a)+6(a)+7(b)
第047层编码7，N=047=1(a)+2(b)+3(b)+4(a)+5(a)+6(a)+7(a)+8(b)
第048层编码8，N=048=1(a)+2(b)+3(b)+4(a)+5(a)+6(a)+7(a)+8(a)
第049层编码0，
第050层编码0，
第051层编码3，N=051=1(a)+2(b)+3(a)+4(b)+5(b)
第052层编码5，N=052=1(a)+2(b)+3(a)+4(b)+5(a)+6(b)
第053层编码6，N=053=1(a)+2(b)+3(a)+4(b)+5(a)+6(a)+7(b)
第054层编码7，N=054=1(a)+2(b)+3(a)+4(b)+5(a)+6(a)+7(a)+8(b)
第055层编码8，N=055=1(a)+2(b)+3(a)+4(b)+5(a)+6(a)+7(a)+8(a)
第056层编码0，
第057层编码0，
第058层编码4，N=058=1(a)+2(b)+3(a)+4(a)+5(b)+6(b)
第059层编码6，N=059=1(a)+2(b)+3(a)+4(a)+5(b)+6(a)+7(b)
第060层编码7，N=060=1(a)+2(b)+3(a)+4(a)+5(b)+6(a)+7(a)+8(b)
第061层编码8，N=061=1(a)+2(b)+3(a)+4(a)+5(b)+6(a)+7(a)+8(a)
第062层编码0，
第063层编码0，
第064层编码5，N=064=1(a)+2(b)+3(a)+4(a)+5(a)+6(b)+7(b)
第065层编码7，N=065=1(a)+2(b)+3(a)+4(a)+5(a)+6(b)+7(a)+8(b)
第066层编码8，N=066=1(a)+2(b)+3(a)+4(a)+5(a)+6(b)+7(a)+8(a)
第067层编码0，
第068层编码0，
第069层编码6，N=069=1(a)+2(b)+3(a)+4(a)+5(a)+6(a)+7(b)+8(b)
第070层编码8，N=070=1(a)+2(b)+3(a)+4(a)+5(a)+6(a)+7(b)+8(a)
第071层编码0，
第072层编码0，
第073层编码7，N=072=1(a)+2(b)+3(a)+4(a)+5(a)+6(a)+7(a)+8(b)
第074层编码8，N=074=1(a)+2(b)+3(a)+4(a)+5(a)+6(a)+7(a)+8(a)
第075层编码0，
第076层编码0，
第077层编码2，N=077=1(a)+2(a)+3(b)+4(b)+5(b)
第078层编码5，N=078=1(a)+2(a)+3(b)+4(b)+5(a)+6(b)
第079层编码6，N=089=1(a)+2(a)+3(b)+4(b)+5(a)+6(a)+7(b)
第080层编码7，N=080=1(a)+2(a)+3(b)+4(b)+5(a)+6(a)+7(a)+8(b)
第081层编码8，N=081=1(a)+2(a)+3(b)+4(b)+5(a)+6(a)+7(a)+8(a)
第082层编码0，
第083层编码0，
第084层编码4，N=084=1(a)+2(a)+3(b)+4(a)+5(b)+6(b)
第085层编码6，N=085=1(a)+2(a)+3(b)+4(a)+5(b)+6(a)+7(b)
第086层编码7，N=086=1(a)+2(a)+3(b)+4(a)+5(b)+6(a)+7(a)+8(b)
第087层编码8，N=087=1(a)+2(a)+3(b)+4(a)+5(b)+6(a)+7(a)+8(a)
第088层编码0，
第089层编码0，
第090层编码5，N=090=1(a)+2(a)+3(b)+4(a)+5(a)+6(b)+7(b)
第091层编码7，N=091=1(a)+2(a)+3(b)+4(a)+5(a)+6(b)+7(a)+8(b)
第092层编码8，N=092=1(a)+2(a)+3(b)+4(a)+5(a)+6(b)+7(a)+8(a)
第093层编码0，
第094层编码0，
第095层编码6，N=095=1(a)+2(a)+3(b)+4(a)+5(a)+6(a)+7(b)+8(b)
第096层编码8，N=096=1(a)+2(a)+3(b)+4(a)+5(a)+6(a)+7(b)+8(a)
第097层编码0，
第098层编码0，
第099层编码7，N=099=1(a)+2(a)+3(b)+4(a)+5(a)+6(a)+7(a)+8(b)
第100层编码8，N=100=1(a)+2(a)+3(b)+4(a)+5(a)+6(a)+7(a)+8(a)
第101层编码0，
第102层编码0，
第103层编码3，N=103=1(a)+2(a)+3(a)+4(b)+5(b)+6(b)
第104层编码6，N=104=1(a)+2(a)+3(a)+4(b)+5(b)+6(a)+7(b)
第105层编码7，N=105=1(a)+2(a)+3(a)+4(b)+5(b)+6(a)+7(a)+8(b)
第106层编码8，N=106=1(a)+2(a)+3(a)+4(b)+5(b)+6(a)+7(a)+8(a)
第107层编码0
第108层编码0，
第109层编码5，N=109=1(a)+2(a)+3(a)+4(b)+5(a)+6(b)+7(b)
第110层编码7，N=110=1(a)+2(a)+3(a)+4(b)+5(a)+6(b)+7(a)+8(b)
第111层编码8，N=111=1(a)+2(a)+3(a)+4(b)+5(a)+6(b)+7(a)+8(a)
第112层编码0，
第113层编码0
第114层编码6，N=114=1(a)+2(a)+3(a)+4(b)+5(a)+6(a)+7(b)+8(b)
第115层编码8，N=115=1(a)+2(a)+3(a)+4(b)+5(a)+6(a)+7(b)+8(a)
第116层编码0，
第117层编码0，
第118层编码7，N=118=1(a)+2(a)+3(a)+4(b)+5(a)+6(a)+7(a)+8(b)
第119层编码8，N=119=1(a)+2(a)+3(a)+4(b)+5(a)+6(a)+7(a)+8(a)
第120层编码0，
第121层编码0，
第122层编码4，N=122=1(a)+2(a)+3(a)+4(a)+5(b)+6(b)+7(b)
第123层编码7，N=123=1(a)+2(a)+3(a)+4(a)+5(b)+6(b)+7(a)+8(b)
第124层编码8，N=124=1(a)+2(a)+3(a)+4(a)+5(b)+6(b)+7(a)+8(a)
第125层编码0
第126层编码0，
第127层编码6，N=127=1(a)+2(a)+3(a)+4(a)+5(b)+6(a)+7(b)+8(b)
第128层编码8，N=128=1(a)+2(a)+3(a)+4(a)+5(b)+6(a)+7(b)+8(a)
第129层编码0，
第130层编码0，
第131层编码7，N=131=1(a)+2(a)+3(a)+4(a)+5(b)+6(a)+7(a)+8(b)
第132层编码8，N=132=1(a)+2(a)+3(a)+4(a)+5(b)+6(a)+7(a)+8(a)
第133层编码0，
第134层编码0，
第135层编码5，N=135=1(a)+2(a)+3(a)+4(a)+5(a)+6(b)+7(b)+8(b)
第136层编码8，N=136=1(a)+2(a)+3(a)+4(a)+5(a)+6(b)+7(b)+8(a)
第137层编码0
第138层编码0，
第139层编码7，N=139=1(a)+2(a)+3(a)+4(a)+5(a)+6(b)+7(a)+8(b)
第140层编码8，N=140=1(a)+2(a)+3(a)+4(a)+5(a)+6(b)+7(a)+8(a)
第141层编码0
第142层编码0，
第143层编码6，N=143=1(a)+2(a)+3(a)+4(a)+5(a)+6(a)+7(b)+8(b)
第144层编码8，N=144=1(a)+2(a)+3(a)+4(a)+5(a)+6(a)+7(b)+8(a)
第145层编码0，
第146层编码0，
第147层编码7，N=147=1(a)+2(a)+3(a)+4(a)+5(a)+6(a)+7(a)+8(b)
第148层编码8，N=148=1(a)+2(a)+3(a)+4(a)+5(a)+6(a)+7(a)+8(a)
前面的编码是(a)：后面的编码是紧挨着的高层编码，
前面的编码是(b)：后面的编码是紧挨着的低层编码，
譬如：N=86=1(a)+2(a)+3(b)+4(a)+5(b)+6(a)+7(a)+8(b)
1表示43层，2表示77层，3表示103层，4表示84层，5表示90层，6表示85层，7表示86层，8表示87层
此题与《扔鸡蛋问题》有相通的地方，把这些编码是 0 的去掉，答案就一样了。
进一步简化：用“0'与"1"表示二进制自然数，每个数最多使用3个"1"，第120个数是几位数？

mathe

第3题第一问不符合数学直觉，怎么觉得是错题。题目意味着将f=1代入，要求积分结果和变量x无关，太神奇了。

mathe

原来和exp的周期$2\pi i$有关系，
\(Re(\int_{-\infty}^{\infty}\exp(-\pi (y+ix)^2)dy)\), 对x求导，可以得知导数为0，所以f(x)=1时，的确结果为常数。