这道初中还是高中几何题有简单解法吗？

mathematica

在抖音上看到的，
不知道是初中题目还是高中题目，
在矩形ABCD中，∠EAF=45°，求EF的最小值。
我想知道最简单的方法有多简单
AB=2
AD=4

hujunhua

最小值刚好在边界上，即D,E重合时。

取AB=8, AD=9较有设计感, 最值就不在边界上了。

mathematica

hujunhua 发表于 2020-5-21 10:36
最小值刚好在边界上，即D,E重合时。

取AB=8, AD=9较有设计感, 最值就不在边界上了。

1. (*这道初中还是高中几何题有简单解法吗？
   
2. https://bbs.emath.ac.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=17286&fromuid=865
   
3. (出处: 数学研发论坛)*)
   
4. Clear["Global`*"];
   
5. (*a=2;b=4;*)
   
6. (*假设AB=a，AD=b，BF=x，DE=y*)
   
7. (*根据正切和相加等于45度正切，用x表示y*)
   
8. ans=Flatten@Solve[{(x/a+y/b)/(1-x/a*y/b)==1},{y}]
   
9. (*求解出距离的平方的表达式*)
   
10. EF2=(b-x)^2+(a-y)^2/.ans//FullSimplify
    
11. (*求解出导数的零点*)
    
12. aaa=Solve[D[EF2,x]==0,{x}]//FullSimplify
    
13. (*计算两边的长度，看是否构成等腰直角三角形*)
    
14. ({b-x,a-y}/.ans)/.aaa//FullSimplify
    

复制代码

求解出来结果
\[\left\{\left\{x\to -\sqrt{2} \sqrt{a} \sqrt{b}-a\right\},\left\{x\to \sqrt{2} \sqrt{a} \sqrt{b}-a\right\},\left\{x\to \frac{1}{2} \left(-\sqrt{a^2-6 a b+b^2}-a+b\right)\right\},\left\{x\to \frac{1}{2} \left(\sqrt{a^2-6 a b+b^2}-a+b\right)\right\}\right\}\]

\[
\begin{array}{cc}
\sqrt{2} \sqrt{a} \sqrt{b}+a+b & \sqrt{2} \sqrt{a} \sqrt{b}+a+b \\
-\sqrt{2} \sqrt{a} \sqrt{b}+a+b & -\sqrt{2} \sqrt{a} \sqrt{b}+a+b \\
\frac{1}{2} \left(\sqrt{a^2-6 a b+b^2}+a+b\right) & \frac{1}{2} \left(-\sqrt{a^2-6 a b+b^2}+a+b\right) \\
\frac{1}{2} \left(-\sqrt{a^2-6 a b+b^2}+a+b\right) & \frac{1}{2} \left(\sqrt{a^2-6 a b+b^2}+a+b\right) \\
\end{array}
\]

mathematica

hujunhua 发表于 2020-5-21 10:36
最小值刚好在边界上，即D,E重合时。

取AB=8, AD=9较有设计感, 最值就不在边界上了。

有没有办法证明CEF必然是等腰直角三角形

mathematica

hujunhua 发表于 2020-5-21 10:36
最小值刚好在边界上，即D,E重合时。

取AB=8, AD=9较有设计感, 最值就不在边界上了。

@黑星阿酷：取EF中点G，连接CG.
易知：EF=2CG
所以求出CG最小值就好了，点到线垂直最短，中线与垂线重合，△FCE为等腰直角三角形，不难看出，F在BC中点，E与D重叠时，满足条件，答案：2√2

这是某个人的回复，但是我没看明白为什么是等腰直角三角形最短，你能看明白吗？
我在三楼已经证明了确实是等腰直角三角形

dlpg070

hujunhua 发表于 2020-5-21 10:36
最小值刚好在边界上，即D,E重合时。

取AB=8, AD=9较有设计感, 最值就不在边界上了。

AB=2 AD=4 画出几何图形,全清楚了 AP=PD 角APD=90度
AB=8 AD=9 只能编码求解 AE顺时针转约20度得最小值

hujunhua

如果CE<CF，则可作等腰三角形CEG，易知在钝角三角形FGE中，钝角所对的边EF >EG.
故EF取得最小时必然与EG重合。

更显明的分析如下：
AFGE四点共圆，圆心在EG的中垂线，即角C的平分线上，EF是1/4圆弧所含的弦。最小弦对应于最小圆。
过A并与BC和CD都相交的圆中，显然同时与两边相切者最小。

hujunhua

为了作出保持角EAF=45度的动线段EF，一个比较简明的方法是在角 C 的平分线上取动点O为圆心，作过A的圆，然后取交点E,F。
显然`EF=\sqrt2OA`, EF最小对应于OA最小。
那么取A到那个角平分线的垂直距离不是最小吗？
问题是不一定取得到，得保持圆与边不相离。

王守恩

dlpg070 发表于 2020-5-21 16:38
AB=2 AD=4 画出几何图形,全清楚了 AP=PD 角APD=90度
AB=8 AD=9 只能编码求解 AE顺时针转约20度得最小 ...

是这样吗？心里没底，请您找几个反例。

已知AB<AD<2AB，EF有最小值：

\(\D CE=CF=AB+AD-\sqrt{2AB*AD}\)

dlpg070

[size=2]王守恩 发表于 2020-5-22 04:58
是这样吗？心里没底，请您找几个反例。

已知AB

回复王守恩,
编码计算已完成,利用 NMinimize 编码,很简单,很快
已采用多种方法验算,你再验算一下,有些数很可疑,仅供参考,
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5个计算实例