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数学研发论坛»论坛 › 【数学研究】 › 小题大作 › 这道初中还是高中几何题有简单解法吗？ ...
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楼主: mathematica

[提问] 这道初中还是高中几何题有简单解法吗？

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dlpg070
发表于 2020-5-25 16:45:32 | 显示全部楼层
本帖最后由 dlpg070 于 2020-5-25 16:54 编辑
dlpg070 发表于 2020-5-23 16:43
你的公式正确,给出验证代码和计算结果
输出:
最小值 FE=7.07107 CE=5. CF=5.


我的回复真么没有显示,重发

EF最小值计算公式证明参考图:
矩形最小值_8_11.png
公式:
在 CE=CF=a+b-Sqrt(2*a*b)时
EF最小值=Sqrt[2]*(a+b-Sqrt(2*a*b))

证明中利用三角公式演算求极值,与坐标无关
考虑到对称性和边界条件,只讨论 0<a<=1/2*b
显然:
角EAD+角FAB=45度

Tan[角EAD]= (a-CE)/b
Tan[角FAB]= (b-CF)/a
所以
ArcTan[(a-CE)/b] + ArcTan[(b-CF)/a] = 45 *Pi/180



下面是计算机辅助证明的代码:
  1. (* ArcTan[(a-CE)/b]+ArcTan[(b-CF)/a]]= Pi/4
  2. 求解 EF最小值的符号表达式
  3. *)
  4. Clear["Global`*"]
  5. aa=(a-CE/b);
  6. bb=(b-CF)/a;
  7. tt=TrigExpand[ Tan[(Pi/4- ArcTan[(a-CE)/b])]]//FullSimplify;
  8. CF=b-a* tt;(*CF的符号表达式 CF[CE] *)
  9. Print["CF= ",CF]
  10. EF2=CE^2+CF^2// FullSimplify;
  11. sol=Solve[D[EF2,CE]==0 ,{CE}];
  12. CEmin=CE/.sol[[1]];(*第一个解是最小值 *)
  13. CE=CEmin;
  14. CFmin=CF //FullSimplify;
  15. CF=CFmin;
  16. EFmin=Sqrt[EF2];
  17. Print["最小值 \nFE=",EFmin,", \nCE=",CEmin,", \nCF=",CFmin]
  18. Print["=== end ==="]

  20. CF= b-(a (-a+b+CE))/(a+b-CE)
  21. 最小值
  22. FE=Sqrt[2] Sqrt[(a-Sqrt[2] Sqrt[a] Sqrt[b]+b)^2],
  23. CE=a-Sqrt[2] Sqrt[a] Sqrt[b]+b,
  24. CF=a-Sqrt[2] Sqrt[a] Sqrt[b]+b
  25. === end ===
复制代码





证明最小值参考图

证明最小值参考图
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dlpg070
发表于 2020-5-26 16:06:05 | 显示全部楼层
本帖最后由 dlpg070 于 2020-5-26 16:08 编辑
王守恩 发表于 2020-5-24 07:55
继续猜想！接12楼。

记：\(\D\tan^{-1}\bigg(\frac{AB-CE(45-k)^\circ}{AD}\bigg)+\tan^{-1}\bigg(\fr ...


角EAF=60度  EF最小值 符号表达式解
应王守恩要求发布,供参考,不如数值解实用

  1. CF= b-a (-Sqrt[3]+(4 b)/(a+Sqrt[3] b-CE))
  2. 最小值
  3. FE=\[Sqrt]((1/8 (6 a+6 Sqrt[3] b)-1/2 \[Sqrt](a^2/4+1/2 Sqrt[3] a b+(3 b^2)/4+(4 2^(1/3) Sqrt[3] a^3 b)/(864 a^4 b^2-864 a^2 b^4+Sqrt[-6912 (Sqrt[3] a^3 b-12 a^2 b^2+Sqrt[3] a b^3)^3+(864 a^4 b^2-864 a^2 b^4)^2])^(1/3)-(48 2^(1/3) a^2 b^2)/(864 a^4 b^2-864 a^2 b^4+Sqrt[-6912 (Sqrt[3] a^3 b-12 a^2 b^2+Sqrt[3] a b^3)^3+(864 a^4 b^2-864 a^2 b^4)^2])^(1/3)+(4 2^(1/3) Sqrt[3] a b^3)/(864 a^4 b^2-864 a^2 b^4+Sqrt[-6912 (Sqrt[3] a^3 b-12 a^2 b^2+Sqrt[3] a b^3)^3+(864 a^4 b^2-864 a^2 b^4)^2])^(1/3)+(1/(3 2^(1/3)))((864 a^4 b^2-864 a^2 b^4+Sqrt[-6912 (Sqrt[3] a^3 b-12 a^2 b^2+Sqrt[3] a b^3)^3+(864 a^4 b^2-864 a^2 b^4)^2])^(1/3)))-1/2 \[Sqrt](-((25 a^2)/4)-25/2 Sqrt[3] a b-(75 b^2)/4+3/16 (-6 a-6 Sqrt[3] b)^2-(4 2^(1/3) Sqrt[3] a^3 b)/(864 a^4 b^2-864 a^2 b^4+Sqrt[-6912 (Sqrt[3] a^3 b-12 a^2 b^2+Sqrt[3] a b^3)^3+(864 a^4 b^2-864 a^2 b^4)^2])^(1/3)+(48 2^(1/3) a^2 b^2)/(864 a^4 b^2-864 a^2 b^4+Sqrt[-6912 (Sqrt[3] a^3 b-12 a^2 b^2+Sqrt[3] a b^3)^3+(864 a^4 b^2-864 a^2 b^4)^2])^(1/3)-(4 2^(1/3) Sqrt[3] a b^3)/(864 a^4 b^2-864 a^2 b^4+Sqrt[-6912 (Sqrt[3] a^3 b-12 a^2 b^2+Sqrt[3] a b^3)^3+(864 a^4 b^2-864 a^2 b^4)^2])^(1/3)-(1/(3 2^(1/3)))((864 a^4 b^2-864 a^2 b^4+Sqrt[-6912 (Sqrt[3] a^3 b-12 a^2 b^2+Sqrt[3] a b^3)^3+(864 a^4 b^2-864 a^2 b^4)^2])^(1/3))-(-4 (-2 a^3-14 Sqrt[3] a^2 b-26 a b^2-6 Sqrt[3] b^3)+1/2 (-6 a-6 Sqrt[3] b) (-(1/4) (-6 a-6 Sqrt[3] b)^2+2 (6 a^2+12 Sqrt[3] a b+18 b^2)))/(4 \[Sqrt](a^2/4+1/2 Sqrt[3] a b+(3 b^2)/4+(4 2^(1/3) Sqrt[3] a^3 b)/(864 a^4 b^2-864 a^2 b^4+\[Sqrt](-6912 (Sqrt[3] a^3 b-12 a^2 b^2+Sqrt[3] a b^3)^3+(864 a^4 b^2-864 a^2 b^4)^2))^(1/3)-(48 2^(1/3) a^2 b^2)/(864 a^4 b^2-864 a^2 b^4+\[Sqrt](-6912 (Sqrt[3] a^3 b-12 a^2 b^2+Sqrt[3] a b^3)^3+(864 a^4 b^2-864 a^2 b^4)^2))^(1/3)+(4 2^(1/3) Sqrt[3] a b^3)/(864 a^4 b^2-864 a^2 b^4+\[Sqrt](-6912 (Sqrt[3] a^3 b-12 a^2 b^2+Sqrt[3] a b^3)^3+(864 a^4 b^2-864 a^2 b^4)^2))^(1/3)+(1/(3 2^(1/3)))((864 a^4 b^2-864 a^2 b^4+\[Sqrt](-6912 (Sqrt[3] a^3 b-12 a^2 b^2+Sqrt[3] a b^3)^3+(864 a^4 b^2-864 a^2 b^4)^2))^(1/3))))))^2+(b-a (-Sqrt[3]+(4 b)/(a+Sqrt[3] b+1/8 (-6 a-6 Sqrt[3] b)+1/2 \[Sqrt](a^2/4+1/2 Sqrt[3] a b+(3 b^2)/4+(4 2^(1/3) Sqrt[3] a^3 b)/(864 a^4 b^2-864 a^2 b^4+\[Sqrt](-6912 (Sqrt[3] a^3 b-12 a^2 b^2+Sqrt[3] a b^3)^3+(864 a^4 b^2-864 a^2 b^4)^2))^(1/3)-(48 2^(1/3) a^2 b^2)/(864 a^4 b^2-864 a^2 b^4+\[Sqrt](-6912 (Sqrt[3] a^3 b-12 a^2 b^2+Sqrt[3] a b^3)^3+(864 a^4 b^2-864 a^2 b^4)^2))^(1/3)+(4 2^(1/3) Sqrt[3] a b^3)/(864 a^4 b^2-864 a^2 b^4+\[Sqrt](-6912 (Sqrt[3] a^3 b-12 a^2 b^2+Sqrt[3] a b^3)^3+(864 a^4 b^2-864 a^2 b^4)^2))^(1/3)+(1/(3 2^(1/3)))((864 a^4 b^2-864 a^2 b^4+\[Sqrt](-6912 (Sqrt[3] a^3 b-12 a^2 b^2+Sqrt[3] a b^3)^3+(864 a^4 b^2-864 a^2 b^4)^2))^(1/3)))+1/2 \[Sqrt](-((25 a^2)/4)-25/2 Sqrt[3] a b-(75 b^2)/4+3/16 (-6 a-6 Sqrt[3] b)^2-(4 2^(1/3) Sqrt[3] a^3 b)/(864 a^4 b^2-864 a^2 b^4+\[Sqrt](-6912 (Sqrt[3] a^3 b-12 a^2 b^2+Sqrt[3] a b^3)^3+(864 a^4 b^2-864 a^2 b^4)^2))^(1/3)+(48 2^(1/3) a^2 b^2)/(864 a^4 b^2-864 a^2 b^4+\[Sqrt](-6912 (Sqrt[3] a^3 b-12 a^2 b^2+Sqrt[3] a b^3)^3+(864 a^4 b^2-864 a^2 b^4)^2))^(1/3)-(4 2^(1/3) Sqrt[3] a b^3)/(864 a^4 b^2-864 a^2 b^4+\[Sqrt](-6912 (Sqrt[3] a^3 b-12 a^2 b^2+Sqrt[3] a b^3)^3+(864 a^4 b^2-864 a^2 b^4)^2))^(1/3)-(1/(3 2^(1/3)))((864 a^4 b^2-864 a^2 b^4+\[Sqrt](-6912 (Sqrt[3] a^3 b-12 a^2 b^2+Sqrt[3] a b^3)^3+(864 a^4 b^2-864 a^2 b^4)^2))^(1/3))-(-4 (-2 a^3-14 Sqrt[3] a^2 b-26 a b^2-6 Sqrt[3] b^3)+1/2 (-6 a-6 Sqrt[3] b) (-(1/4) (-6 a-6 Sqrt[3] b)^2+2 (6 a^2+12 Sqrt[3] a b+18 b^2)))/(4 \[Sqrt](a^2/4+1/2 Sqrt[3] a b+(3 b^2)/4+(4 2^(1/3) Sqrt[3] a^3 b)/(864 a^4 b^2-864 a^2 b^4+\[Sqrt](-6912 (Sqrt[3] a^3 b-12 a^2 b^2+Sqrt[3] a b^3)^3+(864 a^4 b^2-864 a^2 b^4)^2))^(1/3)-(48 2^(1/3) a^2 b^2)/(864 a^4 b^2-864 a^2 b^4+\[Sqrt](-6912 (Sqrt[3] a^3 b-12 a^2 b^2+Sqrt[3] a b^3)^3+(864 a^4 b^2-864 a^2 b^4)^2))^(1/3)+(4 2^(1/3) Sqrt[3] a b^3)/(864 a^4 b^2-864 a^2 b^4+\[Sqrt](-6912 (Sqrt[3] a^3 b-12 a^2 b^2+Sqrt[3] a b^3)^3+(864 a^4 b^2-864 a^2 b^4)^2))^(1/3)+(1/(3 2^(1/3)))((864 a^4 b^2-864 a^2 b^4+\[Sqrt](-6912 (Sqrt[3] a^3 b-12 a^2 b^2+Sqrt[3] a b^3)^3+(864 a^4 b^2-864 a^2 b^4)^2))^(1/3))))))))^2),
  4. CE=1/8 (6 a+6 Sqrt[3] b)-1/2 \[Sqrt](a^2/4+1/2 Sqrt[3] a b+(3 b^2)/4+(4 2^(1/3) Sqrt[3] a^3 b)/(864 a^4 b^2-864 a^2 b^4+Sqrt[-6912 (Sqrt[3] a^3 b-12 a^2 b^2+Sqrt[3] a b^3)^3+(864 a^4 b^2-864 a^2 b^4)^2])^(1/3)-(48 2^(1/3) a^2 b^2)/(864 a^4 b^2-864 a^2 b^4+Sqrt[-6912 (Sqrt[3] a^3 b-12 a^2 b^2+Sqrt[3] a b^3)^3+(864 a^4 b^2-864 a^2 b^4)^2])^(1/3)+(4 2^(1/3) Sqrt[3] a b^3)/(864 a^4 b^2-864 a^2 b^4+Sqrt[-6912 (Sqrt[3] a^3 b-12 a^2 b^2+Sqrt[3] a b^3)^3+(864 a^4 b^2-864 a^2 b^4)^2])^(1/3)+(1/(3 2^(1/3)))((864 a^4 b^2-864 a^2 b^4+Sqrt[-6912 (Sqrt[3] a^3 b-12 a^2 b^2+Sqrt[3] a b^3)^3+(864 a^4 b^2-864 a^2 b^4)^2])^(1/3)))-1/2 \[Sqrt](-((25 a^2)/4)-25/2 Sqrt[3] a b-(75 b^2)/4+3/16 (-6 a-6 Sqrt[3] b)^2-(4 2^(1/3) Sqrt[3] a^3 b)/(864 a^4 b^2-864 a^2 b^4+Sqrt[-6912 (Sqrt[3] a^3 b-12 a^2 b^2+Sqrt[3] a b^3)^3+(864 a^4 b^2-864 a^2 b^4)^2])^(1/3)+(48 2^(1/3) a^2 b^2)/(864 a^4 b^2-864 a^2 b^4+Sqrt[-6912 (Sqrt[3] a^3 b-12 a^2 b^2+Sqrt[3] a b^3)^3+(864 a^4 b^2-864 a^2 b^4)^2])^(1/3)-(4 2^(1/3) Sqrt[3] a b^3)/(864 a^4 b^2-864 a^2 b^4+Sqrt[-6912 (Sqrt[3] a^3 b-12 a^2 b^2+Sqrt[3] a b^3)^3+(864 a^4 b^2-864 a^2 b^4)^2])^(1/3)-(1/(3 2^(1/3)))((864 a^4 b^2-864 a^2 b^4+Sqrt[-6912 (Sqrt[3] a^3 b-12 a^2 b^2+Sqrt[3] a b^3)^3+(864 a^4 b^2-864 a^2 b^4)^2])^(1/3))-(-4 (-2 a^3-14 Sqrt[3] a^2 b-26 a b^2-6 Sqrt[3] b^3)+1/2 (-6 a-6 Sqrt[3] b) (-(1/4) (-6 a-6 Sqrt[3] b)^2+2 (6 a^2+12 Sqrt[3] a b+18 b^2)))/(4 \[Sqrt](a^2/4+1/2 Sqrt[3] a b+(3 b^2)/4+(4 2^(1/3) Sqrt[3] a^3 b)/(864 a^4 b^2-864 a^2 b^4+Sqrt[-6912 (Sqrt[3] a^3 b-12 a^2 b^2+Sqrt[3] a b^3)^3+(864 a^4 b^2-864 a^2 b^4)^2])^(1/3)-(48 2^(1/3) a^2 b^2)/(864 a^4 b^2-864 a^2 b^4+Sqrt[-6912 (Sqrt[3] a^3 b-12 a^2 b^2+Sqrt[3] a b^3)^3+(864 a^4 b^2-864 a^2 b^4)^2])^(1/3)+(4 2^(1/3) Sqrt[3] a b^3)/(864 a^4 b^2-864 a^2 b^4+Sqrt[-6912 (Sqrt[3] a^3 b-12 a^2 b^2+Sqrt[3] a b^3)^3+(864 a^4 b^2-864 a^2 b^4)^2])^(1/3)+(1/(3 2^(1/3)))((864 a^4 b^2-864 a^2 b^4+Sqrt[-6912 (Sqrt[3] a^3 b-12 a^2 b^2+Sqrt[3] a b^3)^3+(864 a^4 b^2-864 a^2 b^4)^2])^(1/3))))),
  5. CF=b-a (-Sqrt[3]+(4 b)/(a+Sqrt[3] b+1/8 (-6 a-6 Sqrt[3] b)+1/2 \[Sqrt](a^2/4+1/2 Sqrt[3] a b+(3 b^2)/4+(4 2^(1/3) Sqrt[3] a^3 b)/(864 a^4 b^2-864 a^2 b^4+Sqrt[-6912 (Sqrt[3] a^3 b-12 a^2 b^2+Sqrt[3] a b^3)^3+(864 a^4 b^2-864 a^2 b^4)^2])^(1/3)-(48 2^(1/3) a^2 b^2)/(864 a^4 b^2-864 a^2 b^4+Sqrt[-6912 (Sqrt[3] a^3 b-12 a^2 b^2+Sqrt[3] a b^3)^3+(864 a^4 b^2-864 a^2 b^4)^2])^(1/3)+(4 2^(1/3) Sqrt[3] a b^3)/(864 a^4 b^2-864 a^2 b^4+Sqrt[-6912 (Sqrt[3] a^3 b-12 a^2 b^2+Sqrt[3] a b^3)^3+(864 a^4 b^2-864 a^2 b^4)^2])^(1/3)+(1/(3 2^(1/3)))((864 a^4 b^2-864 a^2 b^4+Sqrt[-6912 (Sqrt[3] a^3 b-12 a^2 b^2+Sqrt[3] a b^3)^3+(864 a^4 b^2-864 a^2 b^4)^2])^(1/3)))+1/2 \[Sqrt](-((25 a^2)/4)-25/2 Sqrt[3] a b-(75 b^2)/4+3/16 (-6 a-6 Sqrt[3] b)^2-(4 2^(1/3) Sqrt[3] a^3 b)/(864 a^4 b^2-864 a^2 b^4+Sqrt[-6912 (Sqrt[3] a^3 b-12 a^2 b^2+Sqrt[3] a b^3)^3+(864 a^4 b^2-864 a^2 b^4)^2])^(1/3)+(48 2^(1/3) a^2 b^2)/(864 a^4 b^2-864 a^2 b^4+Sqrt[-6912 (Sqrt[3] a^3 b-12 a^2 b^2+Sqrt[3] a b^3)^3+(864 a^4 b^2-864 a^2 b^4)^2])^(1/3)-(4 2^(1/3) Sqrt[3] a b^3)/(864 a^4 b^2-864 a^2 b^4+Sqrt[-6912 (Sqrt[3] a^3 b-12 a^2 b^2+Sqrt[3] a b^3)^3+(864 a^4 b^2-864 a^2 b^4)^2])^(1/3)-(1/(3 2^(1/3)))((864 a^4 b^2-864 a^2 b^4+Sqrt[-6912 (Sqrt[3] a^3 b-12 a^2 b^2+Sqrt[3] a b^3)^3+(864 a^4 b^2-864 a^2 b^4)^2])^(1/3))-(-4 (-2 a^3-14 Sqrt[3] a^2 b-26 a b^2-6 Sqrt[3] b^3)+1/2 (-6 a-6 Sqrt[3] b) (-(1/4) (-6 a-6 Sqrt[3] b)^2+2 (6 a^2+12 Sqrt[3] a b+18 b^2)))/(4 \[Sqrt](a^2/4+1/2 Sqrt[3] a b+(3 b^2)/4+(4 2^(1/3) Sqrt[3] a^3 b)/(864 a^4 b^2-864 a^2 b^4+\[Sqrt](-6912 (Sqrt[3] a^3 b-12 a^2 b^2+Sqrt[3] a b^3)^3+(864 a^4 b^2-864 a^2 b^4)^2))^(1/3)-(48 2^(1/3) a^2 b^2)/(864 a^4 b^2-864 a^2 b^4+\[Sqrt](-6912 (Sqrt[3] a^3 b-12 a^2 b^2+Sqrt[3] a b^3)^3+(864 a^4 b^2-864 a^2 b^4)^2))^(1/3)+(4 2^(1/3) Sqrt[3] a b^3)/(864 a^4 b^2-864 a^2 b^4+\[Sqrt](-6912 (Sqrt[3] a^3 b-12 a^2 b^2+Sqrt[3] a b^3)^3+(864 a^4 b^2-864 a^2 b^4)^2))^(1/3)+(1/(3 2^(1/3)))((864 a^4 b^2-864 a^2 b^4+\[Sqrt](-6912 (Sqrt[3] a^3 b-12 a^2 b^2+Sqrt[3] a b^3)^3+(864 a^4 b^2-864 a^2 b^4)^2))^(1/3)))))))
  6. === end ===
复制代码
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毋私小惠而伤大体　　毋借公论以快私情
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王守恩
发表于 2020-5-26 20:14:17 | 显示全部楼层
本帖最后由 王守恩 于 2020-5-26 20:15 编辑
dlpg070 发表于 2020-5-26 16:06
角EAF=60度  EF最小值 符号表达式解
应王守恩要求发布,供参考,不如数值解实用


角EAF=60度  EF最小值  符号表达式解
换个公式(不用三角函数)，符号表达式解还是会这样吓人吗？
已知：\(\D(AB)^2+(BF)^2+(AD)^2+(DE)^2-\sqrt{\bigg((AB)^2+(BF)^2\bigg)\bigg((AD)^2+(DE)^2\bigg)}=(EC)^2+(CF)^2\)
  求：\(\D\sqrt{(EC)^2+(CF)^2}\)   的最小值
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mathematica
 楼主| 发表于 2020-5-27 08:18:52 | 显示全部楼层
王守恩 发表于 2020-5-26 20:14
角EAF=60度  EF最小值  符号表达式解
换个公式(不用三角函数)，符号表达式解还是会这样吓人吗？
已知 ...

弄个具体的吧，符号太难了！
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dlpg070
发表于 2020-5-27 08:59:46 | 显示全部楼层
本帖最后由 dlpg070 于 2020-5-27 09:17 编辑
王守恩 发表于 2020-5-26 20:14
角EAF=60度  EF最小值  符号表达式解
换个公式(不用三角函数)，符号表达式解还是会这样吓人吗？
已知 ...


利用你的等式(实际是余弦定理)也许会简单点,但仍很复杂
关键是最小值求不出来,你的那些关系式怎知是否正确?
初步分析,问题相当复杂,一般情况下 你12#猜想不成立
不如用具体数值例子来验证或反证
以原题的a=2 b=4 为例

角EAF=60度 最小值 EF 及 CE CF  记为 EF(60),CE(60,CF(60)
角EAF=30度 最小值 EF 及 CE CF  记为 EF(30),CE(30,CF(30)
比较 CE(30)/CF(30) == CE(60)/CF(60)
你我和感兴趣的一起算一算,期待结果 !
我的结果将分 60 30  分别贴出
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王守恩
发表于 2020-5-27 09:53:07 | 显示全部楼层
本帖最后由 王守恩 于 2020-5-27 10:25 编辑
dlpg070 发表于 2020-5-27 08:59
利用你的等式(实际是余弦定理)也许会简单点,但仍很复杂
关键是最小值求不出来,你的那些关系式怎知是否 ...


利用 Minimize 可以少立一个方程，可惜 Minimize 与 NMinimize 差别蛮大的，
数值解规律不好找，我就是想搞个通项出来(跟45°一样)

点评

王守恩
谢谢！  发表于 2020-5-27 16:44
dlpg070
已经把通项贴给你了,实在没法用,我认为不会有45度那样的简单公式 数值解快得多,不能证明,但可以验证或反证,希望有高手能帮到你  发表于 2020-5-27 13:06
毋因群疑而阻独见　　毋任己意而废人言
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mathematica
 楼主| 发表于 2020-7-22 15:12:18 | 显示全部楼层
有一个模型叫做探照灯模型，用相似三角形的办法，等角等高找等腰，然后取最小值吧
毋因群疑而阻独见　　毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体　　毋借公论以快私情
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许言
发表于 2020-9-10 09:05:08 | 显示全部楼层
mathematica 发表于 2020-5-21 11:55
有没有办法证明CEF必然是等腰直角三角形

对于直角三角形CEF，有EF2=CE2+CF2>=2CE*CF,等号在CE=CF取得，易证可取得

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